Matematik nereden geldi ? Matematiğin modern kullanım alanları
Yüklə 98,27 Kb.
|
 
Dergisi
2016 
içindekiler
Matematik MATEMATİK, insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir. Çok eskiden matematik, sayıların ve şekillerin ilmi olarak tanımlanırdı. Matematik de diğer bilim dalları gibi geçen zaman içinde büyük bir gelişme gösterdi; artık onu birkaç cümleyle tanımlamak mümkün değil. Matematik bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanattır. Matematik- çilerin büyük çoğunluğu onu bir sanat olarak icra ederler. Matematik, baş- ka bir yönüyle bir dildir.Galileo Galilei tabiat matematik dilinde yazılmıştır der. Matematik başka bir yönüyle de satranç gibi entelektüel bir oyundur. Matematik nereden geldi ? Eski Yunanca matesis kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve ben bilirim anlamına gelmektedir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen μάθημα (máthema) sözcüğünden türemiş- tir. μαθηματικός (mathematikós) öğrenmekten hoşlanan anlamına gelir. Osmanlı Türkçesinde ise Riyaziye denilmiştir.
Matematiğin modern kullanım alanları Cebirsel geometri ve teknikleri, robot ve bilgisayar oyunu modellemelerinde kullanılır. Diferansiyel denklemler ve sayısal analiz teknikleri uçak ve motor modellemelerinde, uydu yapımında ve daha genel olarak dinamik sistemlerin değişimlerinin ölçümünde kullanılır. Fraktallar, anten teknolojisinde hacmi küçük, yüzey alanı büyük antenlerin yapımında kullanılır. Ayrıca fraktal geometri, canlı- larda kılcal damarların düzeni ve kanın akışının izahında kullanılır. Kendini kopyalayabilen makinalar ve sembolik otomatlar, uzay istasyonlarından Dünyaya gönderilen dijital verinin kaybolan parçalarının yeniden inşa edilmesinde kullanılır. Fourier analizi ve teknikleri, iletişim ağlarında verinin çok uzak mesafelere gönderilebilmesi ve kaybın en az olması için kullanılır. Ayrıca, Fourier teknikleri resim, video ve dijital müziğin sıkıştırılmasında kullanılır. Hücresel otomatlar, biyolojik canlıların üremelerini ve hastalıkların yayılmalarını modellemek için kullanılır. Cebirsel topolojinin bir alt dalı olan uygulamalı homoloji, dijital verinin matematiksel topolojisini belirlemek için kullanılır. Buna en iyi örnek, uzak gezegenlerin fotoğraflarından gezegen yüzeyinin coğrafyasının belirlenmesidir. Algoritmik teknikler programlamacılıkta kullanılır. Soyut mantık, elektrik devresi ve bilgisayar dizaynında kullanılır. Çizge kuramı, veritabanının topolojik ve kombinatorik olarak incelenmesinde kullanılır. Örnek olarak, bir ülkedeki hastanelerin bulundukları yer ile aralarındaki uzaklıkların ideal olup olmadığının belirlenmesini verebiliriz. Bir başka örnek ise, internet sitelerin dağılımlarının incelenmesidir.
Çarpım tablosu ile röpörtaj Tablo olmaya nasıl karar verdiniz? Çarpma işlemlerini çok seviyordum. Ve bu işi yapmak istedim. Neden seviyordunuz? Bir sebebi yok, karşılıksız yani. Sonra, birçok çarpma işlemlerinde bulunmaya başladım ve artık aklımdan bile işlem yapar hale geldim. Ve çarpma işlemlerindeki dağınıklığı fark ettim. Sonra bütün bu işlemler arasında gizli bir bağ olduğunu gördüm. İşte, hepsini bir araya getirmek için büyük uğraş verdim. Matematik içindeki yerinizi nasıl buluyorsunuz? Önemli buluyorum tabi ki. Ne kadar önemli? Çok çok önemli. Çarpma işlemleri üzerinde oynanan büyük oyunları anlayabilmek için bana herkesin ihtiyacı var. İki ve daha çok basamaklı sayılardaki çarpma işlemlerinde yine akla ben gelirim. Bu yüzden bu kadar önemliyim. Sürekli göz önünde olmak sizi rahatsız ediyor mu? Şöhret olmadan önce daha rahat bir yaşantım vardı tabi ve şöhretin getirdiği problemlere alış- mak kolay olmadı. Ama zamanla alışıyorsun bunlara ve matematik camiasına hizmet için var olduğunu anlıyorsun. Şimdi göz önünde olmak hoşuma bile gidiyor. Sizi ezberlemek isteyen öğrencilere ne tavsiye edersiniz? Çarpma işlemlerinde sayı- lar arasındaki fark etsinler ve bir işlemle başka bir işlem arasında bağlantı kursunlar. Günlük hayatlarında uygulamaya çalışsınlar, mesela bonbon yerken, misket veya futbol oynarken sayıları kullansınlar. Bir de sürekli tekrar etsinler. Tablo olmasaydınız eğer, ne olmak isterdiniz? Abaküs olmak isterdim. “0” ın Kronolojisi M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır. M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır. M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir. M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır. M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir. M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir. M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar Sıfırın önemi Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin bulunması- dır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örne- ğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir. El –harezmi Kimdir EL-HAREZMİ Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harezmi (Farsça: خوارزمی مأم بأدأو وبأ :Arapça, khvârâzmi- Abdullāh Abū م زأومخلأمىسمم نوا Muhammad ibn Mūsā alKhwārizmī), matematik, gökbilim v e coğrafya alanlarında çalışmış bir bilim adamıdır. Fars[1] [2] veya Türk[3][4][5] olduğu düşünülmektedir. 780 yılında Herzem bölg esinin Hive şehrinde dünyaya gelmiştir. 850 yılında Bağdat'ta vefat etmiştir Bir matematikçinin şöhreti yaptığı kötü kanıtların sayısına dayanır. ST. AUGUSTYNE (354- 430) Matematik alanındaki çalış- maları cebirin temelini oluş- turmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritma de numero Indorum adıyla Latinceye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur. ESERLERİ El- Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebri ve'l Mukabele Kitab al-Muhtasar fil Hisab elHind El-Mesahat El-Harezmi’nin Matematik Çalışmaları Matematikçilerden Özlü Sözler EL-HARAZMİ’nin HAYATI Ebu Abdullah Muhammed bin El-Harezmi 780 yılında Özbekistan'ın Karizmi kentinde dünyaya gelmiştir. Horasan bölgesinde bulunan Harezm'de temel eğitimini alan Harezmi, gençliğinin ilk yıllarında Bağdat'taki ileri bilim atmosferinin varlığını öğrenir. İlmî konulara doyumsuz denilebilecek seviyedeki bir aşkla bağlı olan Harezmi ilmi konularda çalışma idealini gerçekleştirmek için Bağdat'a gelir ve yerleşir. Devrinde bilginleri himayesi ile meşhur olan Abbasi halifesi Mem'un Harezmi'deki ilim kabiliyetinden haberdar olunca onu kendisi tarafından Eski Mı- sır,Mezopotamya, Yunan ve Eski Hint medeniyetlerine ait eserlerle zenginleştirilmiş Bağdat Saray Kütüphanesi'nin idaresinde görevlendirilir.
El-Harezmi’nin Matematik Çalışmaları Eserleri El- Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebri ve'l Mukabele Kitab al-Muhtasar fil Hisab elHind El-Mesahat Matematik alanındaki çalış- maları cebirin temelini oluş- turmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritma de numero Indorum adıyla Latinceye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur Matematikçilerden Özlü Sözler Bir matematikçinin şöhreti yaptığı kötü kanıtların sayısına dayanır. ST. AUGUSTYNE (354- 430) Sağlıklı bir felsefeye sahip olabilmek için metafizikten vazgeçmeli, iyi bir matematikçi olmalısınız. HENRi LEBESGUE (1875-1941) Matematik konusunda çektiğiniz zorluklar sizi endişelendirmesin, sizi temin ederim ki benimkiler daha fazla. PLATO (M.Ö 429-347)   
Matematik ve korkularımız Korku hayatımıza yön veren, türümüzün devamlılığını sağ- layan temel duygulardan biridir. Kimi zaman insana güç ve cesaret kazandıran bu duygu kimi zaman da kişiyi zayıf ve güçsüz kılabilir. Korkular bazen deneyimleyerek bazen de genetik miras misali aktarılarak kazanılabilir. Matematik, günlük hayatımı- zın bir parçası haline gelmiş bir bilimdir. Farkında olsak da olmasak da hepimiz yaşamımızın her anında matematiğe başvururuz. Markete gidip alışveriş yaparken, otobüse binerken hatta hava durumunu tahmin ederken dahi hep matematiğin içindeyizdir. Peki, ama matematikle bu kadar iç içeyken ona karşı duyduğumuz bu korkunun temelindeki nedenler nelerdir? Herhangi bir insanı çevirip matematik hakkında ne düşündüğünü sorduğunuzda genellikle alacağınız cevap bellidir. Matematik korkutucu, anlaşılması güç, karmakarışık işlemlerin yapıldığı zor bir derstir. Bu fikirlerin oluşmasında çevrenin, ailenin, öğ- retmenin vb. etmenlerin söz konusu olduğu görü- lebilir. Matematiğin soyut yönünün ağır basması özellikle somut işlemler döneminde olan ilköğretim çağı çocuklarında matematik korkusuna yol açmaktadır. Bu noktada öğretmen kavramları somutlaştırma yoluna gitmediğinde çocukta daha sonradan değiştirilmesi çok güç olan matematik korkusunun temelleri atılmaktadır. Bu durumlarda öğrenci öğrenim yaşamı boyunca matematikten uzak durmakta, ilk deneyimin etkisiyle yola devam ederek kendisini matematikten uzak tutmaktadır. Öğretmenin sınıf ortamındaki tutumu da korkuyu tetikleyici bir etmen olarak göze çarpmaktadır. Öğ- renciler sorulara cevap verdiğinde öğretmenin cevabın yanlış olması dolayısıyla öğrenciyi azarlaması, öğrenciye kızması, arkadaşlarının öğrenciye gülmesi veya onunla dalga geçmesi gibi nedenlerden dolayı da öğ- renci matematiğe karşı korku ve olumsuz tutum kazanabilmektedir Sınavlarda çıkan matematik sorularının müfredatın üzerinde olması da öğrencilerde büyük bir korkuya neden olmaktadır.
Matematik bölümü Matematik Bölümü'nün hedefi, öğrencilerini güçlü bir matematiksel altyapıyla donatarak bugünün ve geleceğin matematikle ilişkili problemlerine çözüm üretebilecek öğrenciler yetiştirmektir. Bu hedef doğrultusunda öğretim üyeleri ve öğrencileriyle birlikte kendini geliştiren, yenileyen, bilim ve teknolojiyi yakından takip eden, teorik ve uygulamalı problemlere cevap arayan bir bölümdür.
MATEMATİĞİN TEMEL ÇALIŞMA VE İLGİ ALANLARI AŞAĞIDAKİ GİBİDİR MATEMATİĞİN TEMEL ÇALIŞMA VE İLGİ ALANLARI AŞAĞIDAKİ GİBİDİR I. Kriptografi II. Kodlama Teorisi III. Kombinatorik IV. Matris Cebiri V. Sayılar Teoris Uygulamalı matematik I. Finans Matematiği ve Stokastik Süreçler II. Matematiksel Biyoloji III. Sayısal Analiz ve Bilimsel Hesaplama IV. Lineer ve Lineer olmayan Diferensiyel Denklemler V. Bulanık Mantık ve Uygulamaları Matematik Bölümü Mezunu Ne İş Yapar ? 1-Akademisyenlik: Eğer gerçekten matematiği seviyorsanız, bitirip akademik devam etmeniz tavsiye edilir. Ama matematiği çok sevmiyorsanız doktoraya sabretmeniz çok zor. Bazı programlar 5-6 seneye kadar sürebiliyor ve uğ- raştığınız konuda tez yazmak ya da bir şeyler ortaya koymak zor olabiliyor. 2-Öğretmenlik: Matematiği doktora yapacak kadar sevmeyebilirsiniz. Âmâ 4 sene matematik okuyan bir insana artık lise matematiği çerez gibi gelir. Gözünüz kapalı yapabilirsiniz bütün soruları. Bunun verdiği özgüven size ders anlatma motivasyonu da katar. Matematik bölümü mezunları öğretmenliği severek ve zorlanmadan yapabilmekte, gerek kamuda, gerekse özel sektörde çok başarılı bir öğretmen olabilmektedirler. Hatta olimpiyat hocası olsanız çok heyecanlı bir öğretmenlik kariyeriniz olabilir. Zeki çocuklara ders anlatmak her zaman eğlencelidir. Ayrıca iyi bir üniversiteden mezun olan matematikçiler sadece özel ders anlatarak bile geçinebiliyorlar. Özel ders ço- ğu zaman sıkıcı olur ve sürekli bir geçim kaynağı olarak düşü- nülmez. Fakat kimi zamansa başvurulabilecek ciddi bir se- çenektir. 3-Piyasa bölümüyle alakalı: Çoğu banka ve özel kuruluş analist alıyor. Analistlerin de bazılarını matematikçilerden seçiyorlar. TÜBİTAK, Aselsan, TT Net, Telekom, Hazine Müsteşarlığı ve farklı ARGE bölümleri ciddi sayılarda finansal danışman alıyorlar. Ayrıca ekonomide doktora yapmak da çok meşhur.%5-10 arasında bir kitle ekonomiden devam edip özel sektöre daha rahat bir geçiş yapıyor. ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\m3ps217s\mathheart[1].jpg](24982_html_m172ac187.jpg)
Ünlü matematikçiler Ali kuşçu :
Ali Kuşçu asıl adı Ali Bin Muhammed (d. 1403, Semerkant - ö. 16 Aralık 1474, İstanbul), Türk ya da Fars gökbilimci, matematikçi vedilbilimcidir. Gökbilimci ve kelam alimi olan Ali Kuşçu, 15. yüzyıl'da Semerkant'ta doğdu. Babası Muhammed, Timur İmparatorluğu Sultanı ve astronomuUluğ Bey'in kuşçusu olduğu için, ailesi "Kuşçu" lakabıyla meşhur oldu. Küçük yaştan itibaren matematik ve astronomiye ilgi duyan Ali Kuşçu,Bursalı Kadızâde Rumî, Gıyâseddin Cemşîd ve Muînuddîn Kâşî’den matematik e astronomi dersi aldı. Daha sonra bilgisini artırmak içinKirman'a gitti. Burada Hall -ü Eşkâl-i Kamer (Ay Safhalarının Açıklanması) adlı risale ile Şerh-i Tecrîd adlı eserini yazdı. Ali Kuşçu, Semerkant ve Kirman'da eğitimini tamamladıktan sonra Uluğ Bey'e yardımcı ve rasathanesine müdür oldu. 1449'da hacca gitmek istedi. Tebriz'deAkkoyunlu hükümdarı Uzun Hasan kendisine büyük saygı gösterdi ve Osmanlı Devleti ile barış görüşmelerinde yardımını istedi. Ali Kuşçu, Uzun Hasan'ın sözcülüğünü yaptıktan sonra II. Mehmet'in davetiyle İstanbul'a geldi. Osmanlı - Akkoyunlu sınırında II. Mehmet'in (Fatih Sultan Mehmet) emriyle büyük bir törenle karşı- lanan Ali Kuçu, Ayasofya medresesine müderris oldu. Ali Kuşçu, 16 Aralık 1474 tarihinde İstanbul'da öldü.Risale fi'l Muhammediye (matematik, cebir ve hesap) adlı eseri bulunmaktadır. Cahit Arf ( 1910 - 1997 ):  
Ülkemizde matematiğin simgesi haline gelen Cahit ARF 1910 yılında Selanik'te doğdu. 1932 yılında Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği, 1933 yılında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde profesör yardımcısı (Doçent adayı) olmuştur. Doktorasını 1938 yılında Almanya'da Clölting Üniversitesi'nde tamamladı. Daha sonra İstanbul Üniversitesi'ne dönen ARF. 1943'de profesör. 1955'de Ordinaryüs Profesör oldu. 1964-1965 yılları arasında Fransa'da bulunan Prineiton'dakı Yüksek Araştırma Enstitüsü'nde konuk öğretim üyesi olarak görev yaptı. 1938 yılından beri Cahit ARF cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çok çeşitli alanlarda yaptığı çalışmalarla matematiğe temel katkılarda bulunmuş, yapısal ve kalıcı sonuçlar elde etmiştir. Bütün Türk matematikçilerine dolaylı veya dolaysız bir şekilde esin kaynağı olmuş, yaptığı uyarılar ve verdiği fikirlerle çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarını genişletmiş ve çalışmalarını yeni bir bakış açısıyla yönlendirmelerini saklamıştır. Cahit ARF'ın ilk çalışması, 1939 yılında Almanya'nın ünlü bir matematik dergisi olan Crelle Journal Dergisi'nde yayınlanmıştır. Cahit ARF çözülebilen cebirsel denklemlerin bir listesini yapmak amacıyla Göttingen'de ünlü matematikçi Hasse'nin doktora öğrencisi oldu. Hasse'nin önerisiyle özel hallerle problemini çözdü. Cahit ARF bu çalışmasıyla sayılar teorisinde çok özel bir yeri olan lokal cisimlerde dallanma teorisine çok öneli yapısal bir katkıda bulunmuştur. Burada bulduğu sonuçlardan bir bölümü dünya matematik literatüründe "Hasse-Arf teoremi" olarak geçmektedir. Bundan sonra uğraştığı problem, matematikte "kuadratik formlar" olarak bilinen konudadır. Uzayda konisel yüzey denklemleri buna basit bir örnek olarak gösterilebilir. Bu konudaki temel problem, kuadratik formların bir takım invariantlar, yani değişmezler yardımıyla sınıflandırılmasıdır. Bu sınıflandırma Witt adında ünlü bir Alman matematikçi tarafından karakteristiği ikiden farklı olan cisimler için 1937'de yapılmıştır. Karakteristik iki olunca problem çok daha zorlaşıyor ve Witt'in yöntemi uygulanamıyordu. Cahit ARF bu problemle uğraştığı ve karakteristiği iki olan cisimler üzerindeki kuadratik formları çok iyi bir biçimde sınıflandırdı. Bunların invariantlarını, yani değişmezlerini inşa etti. Bu invariantlar dünya literatüründe "Arf İnvariantlan" olarak geçmektedir. Bu çalışması 1944 yılında Crelle dergisinde yayınlandı ve Cahit ARF'ı dünyaya tanıttı. Thales (M.Ö.624 - M.Ö.547):  
Antik dönemin ünlü filozofudur. ataları Fenikelilerdir.. Son kaynaklar, M.Ö. 625 yılında Milletos'ta doğup, 545'te öldüğünü kabul eder. Yaşadığı yıllarda; geniş bir araştırma, inceleme, düşünme ve mühendislik yeteneği ile ilginç bir ticari zekası sonucu üne kavuşmuştur. Miletos Okulu' nun korucusudur. THALES zamanımıza kadar intikal eden yazılı bir eser bırakmamıştır. Düşünceleri öğrencileri yoluyla zamanımıza kadar intikal etmiştir. THALES, ARİSTO' nun (M.Ö. 384,322) eserlerine atfen, fizik ve doğal felsefenin, EUDEME' nin (Aristo'nun öğrencisi), eserlerine atfen de astronomi ve matematiğin kurucusu kabul edilir. Bu tür görüşler, konu ile ilgili yayınlarda her geçen yıl hızla yaygınlaşmıştır. Netice itibariyle de THALES' e mümtaziyet ve ebedilik vasıfları verilmiştir. Thales’in astronomide kurucu addedilmesine ve üne kavuşmasına sebep olan olaylardan birisi şudur. Atina'da M.Ö. 28 Mayıs 585 tarihinde görülebilecek Güneş tutulma olayını, tutulmanın vukuundan önce haber vermiş olmasıdır. Thales' e büyük ün kazandıran bu olay Babilleler tarafından bilinmekte idi. Burada önemli olan, tutulma olayının kendisi değil, haber verenin bu bilgiyi aldığı kaynaktır. Gerçekte: THALES' in bu bilgiyi eski Mısır ve Mezopotamya' dan elde ettiğinde bütün kaynaklar birleşmektedir. Matematikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardı. Bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümü. cisimlerin (piramitlerin) gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabını. üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi... Isaac Newton (1642 - 1727) ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\zp84j5x5\220px-godfreykneller-isaacnewton-1689[1].jpg](24982_html_4b24a8c3.jpg) ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\zp84j5x5\isaac-newton-leyes[1].jpg](24982_html_7053e1cd.jpg)
1642 yılında İngiltere'nin Woolsthrope kasabasında dünyaya gelen Newton'un en önemli buluşu, diferansiyel ve integral hesabı keşfetmesidir. Zaten Newton'u dünyada gelip geçmiş üç büyük matematikçiden biri yapan buluşu budur. İşin teknik yönü, üniversitelerde uzun uzun verilir. Bu nedenle, sadece adı bizim için şimdilik yeterlidir. Newton, bir ara teolojiye de ilgi duydu. Bu konuda bazı yorumları ve düşünceleri de vardır. Newton, 1661 yılının haziran ayında Cambridge'deki Trinity College'e girdi. Giderlerinin bazılarını karşılamak için okulda bazı işlerde çalışıyordu. İç harp İngiltere'de tüm şiddetiyle sürüyordu. Önceleri yavaş, fakat sonraları çabuk olarak kendini toparladı ve çalışmalarına daldı. Newton'un matematik öğretmeni Isaac Barrow (1630 - 1677), hem ilahiyatçı ve hem de matematikçi biriydi. Matematikte parlak fikirli olan Barrow, öğrencisinin kendisinden çok ileride olduğunu kabul ediyor ve 1669 yılında matematik kürsüsünü bırakıp sırası gelince, yerini o eşsiz büyük deha Newton'a bırakıyordu. Barrow, geometri derslerinde kendine özgü yöntemlerle, alanları hesaplamak, eğrilere üzerindeki noktalardan teğet çizmek için yollar gösteriyordu. İşte bu dersler Newton'u diferansiyel ve integral hesabı bulmaya ve bu sahada çalışmaya yönelten ilk adımlardır. Diferansiyel ve integral hesabın bulunmasında, değişken, fonksiyon ve limit kavramı kullanılmıştır. Fonksiyon kelimesini ilk kez Leibniz kullanmıştır. Bugüne kadar da bu sözcük değiştirilmemiştir. Limit fikrini ve kavramını Newton ve Leibniz kullanmıştır. Özellikle Newton bu sahada başarılı olmuştur. Her ikisi de çok yönlü olan bu dahiler, aynı zamanda birbirlerinden habersiz az çok farklılık gösteren yöntemleriyle diferansiyel ve integral hesabı bulmuşlardır. Isaac Newton, 1727 yılında böbreklerindeki rahatsızlık yüzünden yaşamını yitirdi. ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\10wkpjk9\isaac_newton,_english_school,_1715-20[1].jpg](24982_html_794f049f.jpg)
John Forbes Nash ( 1928 - ) 
John Forbes Nash, 13 Haziran 1928’de Batı Virginia, Amerika’da dünyaya geldi. Oğluyla aynı adı taşıyan baba John Nash, Teksas A&M Üniversitesi mezunu bir elektrik mühendisi, annesi Margaret Virginia Martin ise bir Latince ve İngilizce öğretmeniydi, Batı Virginia Üniversitesi mezunuydu. 16 Kasım 1930’da kız kardeşi Martha doğdu. İlkokuldan önce anaokuluna kaydolan Nash, henüz çocukken Compton’s Picture Encyclopedia adlı resimli ansiklopediyi okuyor ve birçok şey öğreniyordu. Time Dergisi de ilgisini çekiyordu. Mutlu bir çocukluk geçirdi. 12 yaşındayken evde kendi kendine deneyler yapmaya başladı. O zamanlarda da insanlarla çalışmayı değil, kendi kendine olmayı sevdiği belliydi. Kız kardeşi normal bir çocuktu ancak Nash diğer çocuklardan çok farklıydı, onların oyunları, şakaları Nash’e garip geliyordu, kısa sürede kendini herkesden soyutlamıştı. Annesi ve babası, Nash’in kitap merakını gördükleri için ona bir yetişkin gibi davranmaya, eğitimini teşvik etmeye başladılar. Nash’in matematik sevdasını ortaya çıkaran eser, lise yıllarında okuduğu, E.T. Bell’in “Men of Mathematics” adlı kitabı oldu. Lisede okuduğu sırada Bluefield College adlı üniversiteden dersler almaya başladı. Liseyi bitirdikten sonra Westinghouse bursuyla Carnegie Institute of Technology adlı üniversiteye kaydoldu, bölümü ise kimya mühendisliğiydi. Ancak Nash bu bölümden ayrılarak kimya bölümüne, daha sonra da matematiğe geçti. 1948 yılında hem lisans, hem de master derecesini aldı. Mezun olduktan sonra bir donanma projesi üzerinde çalışmaya başladı. Nash bir süre sonra “Denkleştirme Kuramı” üzerine çalışmak amacıyla Princeton Üniversitesi’ne gitti. Hem Princeton’dan hem de Harvard Üniversitesi’nden teklif gelmişti ancak ailesinin yaşadığı yer olan Bluefield’a yakınlığı ve akademisyenlerinin Nash’e gösterdiği ilgi sayesinde, Princeton’a gitmeyi tercih etti. 1950 yılında doktorasını buradan aldı. Doktora tezi, daha sonra “Nash Dengesi” adını taşıyacak olan, “Oyun Teorisi”nin en önemli parçalarından olan bir çalışmaydı. Bu çalışması 3 makaleyi beraberinde getirdi; “Equilibrium Points in N-person Games” (1950), “The Bargaining Problem” (1950) ve “Two-person Cooperative Games” (1953). Ayrıca cebirsel geometri alanında önemli çalışmalar yaptı. 1951’de Massachusetts Institute of Technology’de (MIT) öğretmenlik yapmaya başladı. 1959’da bu görevinden istifa etti. 1998 tarihli John Nash biyografisi “A Beautiful Mind”, Nash’in homoseksüel ilişkilerinden bahsediyordu. Üniversite yıllarından itibaren bunu saklamamıştı ve çevresi tarafından hor görülmemişti. Kitabın yazarı, Nash’in üniversitedeki erkek arkadaşlarıyla toplantı odasında öpüştüklerini ve bu tip davranışlardan çekinmediğini anlatıyordu. Ancak üniversite sonrası devlet işlerinde çalışırken bu durumu kabul görmemişti, hatta “uygunsuz davranış” nedeniyle tutuklanmış ve işinden kovulmuştu. Eşi Alicia’yla yapılan bir röportajda Alicia, Nash’in homoseksüel ya da biseksüel olmadığını söylemişti ancak Nash bunu hiçbir zaman açık bir şekilde reddetmedi. El Biruni Ebu'l Reyhan-I Beyrunî ( 973 - 1048 ) 
11. yüzyılın ilk yarısının en ünlü astronom ve matematikçisi. Felsefe ve coğrafya alanlarında da çalışmalar yaptı. Sayılar kuramı, Hint hesabı, ay ve güneş tutulmaları, matematik coğrafya, enlem ve boylam tayini, kuyruklu yıldızlar, küre geometrisi gibi konularda yazılmış 113 kadar eseri (toplam sayfası 13.000 'u geçer) bilinir. Geometride, açıyı üçe bölme problemini de içeren cetvel ve pergel ile çözülemeyen bir grup problem vardır ki, bunlar matematik tarihinde "Biruni problemleri" olarak bilinir. Daire içine çizilmiş 9 kenarlı düzgün poligonun bir kenarının uzunluğunu özgün bir yöntemle hesapladı. Pi sayısının hesabı üzerine çalıştı, sinüsler teoremini kendine özgü bir yöntemle kanıtladı. Trigonometriye sekant, cosecant ve cotangent fonksiyonlarını eklemiştir.  
Uluğ Bey ( 1394 - 1449 ) 
Bilim tarihinde 15. Yüzyıl Astronomu olarak tanınır.Timur'un torunu, Şahruh'un oğlu Maveraünnehir'in Genel Valisi ve Timurlu devletinin İmparatorudur. Semerkant'ta medreseler yaptırdı. Semerkant Rasthanesini kurdu. Bilim ve fenle uğraşarak ününü siyasetten çok bilim ve kültür alanında yaptı. Döneminde ünlü bilginleri toparlıyarak Semerkant'ı uygarlığın başlıca merkezi durumuna getirdi.Bunda Kadızade Rumi ve Gıyaseddin Cemşid 'in büyük etkisi olmuştur. Kendisini de Tarihçi,matematikçi ve gökbilimçiydi.Kurduğu Gözlemevinde yapılan gözlemler sonucu hazırladığı Uluğ Bey Ziyci adlı eseri Doğu ve Batı Bilim dünyasında bir kaç yüzyıl boyunca kullanılmıştır. 1841 ve 1853 de ingilizceye tercüme edilmiş ve bu eser hakkında son makale 1917 yılında Müşteşrik E.D.Knobel tarafından yazıldığı düşünülürse eserin yazıldığı tarihtan beş yüzyıl geçmesine rağmen etkinliğini sürdürmüştür. 
Niels Henrik Abel : ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\zp84j5x5\francobollo_abel[1].jpg](24982_html_68b08d74.jpg)
(d. 5 Ağustos 1802, Findø adası/Stavanger - ö. 6 Nisan 1829, Froland), Norveçli matematikçi. O dönemlerde, genç bir matematikçinin şöhreti yakalayabilmek için tek çaresi, Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirini kazanabilmek olduğundan, Abel, Paris'te zamanın büyük isimlerinden Cauchy'ye bir çalışmasını takdim eder. Oysa Cauchy kendi ünüyle meşguldür, kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder. Abel, Berlin'de tanıştığı Crelle adlı matematikçinin teklifine uyarak onun yeni çıkaracağı matematik dergisine makale göndermeye başlar. Bugün Crelle dergisi takma adıyla bilinen bu çok prestijli derginin ilk sayısında altı makalesi yayımlanır ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel'in matematiğe katkısı, eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir. Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hâlâ bilinmemekle birlikte, altında yatan temel kavramlar Abel'in ve çağdaşları- nın çalışmalarıyla aydınlanmıştır. Abel'in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece polinom denklemlerinin çözümleriyle ilgilidir. Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerinin çözümü yıllardır biliniyordu. Üçüncü derece polinom denkleminin çözümünü, 15. yy.da İtalyan matematikçi Cardano, dördüncü derece polinom denklemin çözümünü de Cardano'nun arkadaşı Ferrari, yine katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç almadan uğraşmışlardır. İşte Abel burada tarih sahnesine çıktı ve beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi matematikte başarılı olmak için ne yapmalı ? Matematikte başarılı olmak, yetenekle mi yoksa çalışkanlıkla mı ilgili? Kimi insanlar için matematik çok zor gelir, başarılı olamadıkları için de bu dalı pek sevmezler. Herkes matematik dáhisi olamaz, ama belli ölçüde matematiği herkes anlayabilir diyor bilim insanları. Matematik sınavı yaklaştı. Sayılar, denklemler ve problemler aklınıza bir türlü yerleşmiyor mu? En iyisi oturup çalışmak. Yoksa kimi insanlar için çalışmak boşuna mı? Hayır, hiç de değil, belli ölçüde matematiği herkes öğrenebilir. Matematikte başarılı olmak "matematik anlayışı" gerektirir. Matematik anlayışı ise soyutlama yetisi, mantıksal düşünce ve yaratıcılığın bir kombinasyonudur. Ve tahmin edeceğiniz gibi buradan yeteneğe geldik. Sonuçta her insan aynı derecede yaratıcı değildir. Ve birçok matematikçi ailelerine baktığımızda, matematik yetisinin de diğer bazı yetiler gibi kalıtsal olduğunu görürüz. Kanadalı bilim adamları Fakat Kanadalı bilim adamları, anne ve babası matematikte başarılı olmayan çocuğun bile matematik yetisini geliştirebileceğini söylüyorlar. Bilim adamları araştırmaları sırasında, okul öncesi döneminde çok iyi öykü anlatabilen çocukların daha sonraları matematikte başarılı olduklarını saptamışlar. Bu nedenle okul öncesi çocuklara, öykü anlatmayı öğretilmesi önerilmekte. Bununla birlikte matematikle ilgili temel bilgileri bilmeyenlerde yetenek de fayda etmiyor. Bu yüzden matematik dersinde anlatılanları ve öğretilenleri dikkatlice takip etmek çok önemlidir. Ve anlatılanları öğrenip, ev ödevlerinizi büyük bir merakla yaparsanız, matematiği kavramanın dahi olmadan da mümkün olduğunu görürsünüz. Tabii sadece formülleri ezberlemenin işe yaramadığını siz de biliyorsunuz, önemli olan işin mantığını kavrayıp uygulayabilmek sonuçta. Matematik konusunda büyüklerinizden yardım aldığınızda, onlardan, size çözümü söylemelerini değil, çözüme giden doğru yolu bulmanızda yardımcı olmalarını isteyin. 
ZEKA SORULARI S1. Bazı aylar 30, bazıları 31 çeker; kaç ayda 28 gün vardır? C1. Hepsinde, tüm aylarda 28 gün vardır. S2. Doktorunuz size 3 hap verir ve bunları yarımşar saat arayla almanızı tavsiye ederse, ilaçların tamamını bitirmeniz ne kadar sürer? C2. 1 Saat S3. Gece saat sekizde yatıyorum ve yatarken guguklu saatimi sabah dokuza kuruyorum kaç saat uyurum? C3. Guguklu saatler gece gündüz ayrımı yapmadığı için 1 saat. S4. 30' u yarıma bölüp 10 eklediniz, kaç etti? C4. 70 eder, yarıma bölmek 2 ile çarpmak demektir. S5. Bir çiftçinin 17 koyunu vardı. Sürüde salgın hastalık oldu,dokuzu ağır hastalandı, diğerleri öldü. Çiftçinin kaç koyunu kalır? C5. 9 canlı koyun S6. Sadece bir tek kibritiniz var, içinde bir gaz lambası, bir gaz sobası, ve birde mum bulunan karanlık ve soğuk bir odaya girdiniz... Önce hangisini yakarsınız? C6. Kibriti S7. Adamın biri dikdörtgen biçiminde ve her cephesi güney manzaralı bir ev inşa ediyor. Evi kocaman bir ayı ziyaret ederse bu ayı ne renk olur? C7. Ayı beyaz olur. Evin her cephesi güneye baktığına göre bina kuzey kutbundadır. S8. 3 elma vardı ikisini aldım. Kaç elmam var? C8. 2 elma S9. Musa gemisine her hayvandan kaçar adet aldı? C9.Sıfır, gemisine hayvan alan Nuh idi. S10. Chicago' dan hareket eden 43 yolculu bir otobüs kullanıyorsunuz. Pittsburgh' da 7yolcu binip, 5 yolcu indi. Cleveland'da 8 yolcu indi,6 yolcu tuvalete gidip geldi ve 4 yeni yolcu bindi. 20 saat sonra Philadelphia' ya vardığınızda şoförün adı neydi? C10. Şöför sizdiniz. S11.Bir yarışta ikinciyi geçersen kaçıncı olursun? C11.İkinci S12.6 adet kibrit çöpü ile 4 adet ‘eşkenar üçgeni’ nasıl elde edebiliriz? C12. Üçgen Piramit Matematik Üzerine Yazılan Şiirler Hayat ve matematik Hayatımın kosinüs 30`undayım Logaritmanın sonu İntegralin başındayım Karmaşık sayılarla iç içeyim Üç bilinmeyenli denklemler halt etmiş Ben çözülmeyen tam bilinmeyenli denklemim Doğal sayıları geçtim Rasyonelleri boş verdim Geldim hayatın analitik çemberdeki yerine Ben neredeyim bu çemberde? Birinci, ikinci, üçüncü bölge? Hayır, ben tam orijindeyim… Çarpanlarıma ayrılmam Fonksiyonumu aldırmam Başka kümelerle kesişmem Parabol hayatlar yaşamam Dedim ya Ben hayatımın kosinüs 30`undayım Matematik andı , Artıyım, Yaklaşmayın çarparım. İlkem, Eksileri korumak, Artıları soymak. Matematiği sayıları, Ailemden çok sevmektir. Ülküm, Yükselip sayıları dövmektir. Ey büyük matematik, Açtığın doğruda , Gösterdiğin sayılara, Durmadan seveceğime , Ant içerim. Sayılarım, Tam sayılar kümesine armağan olsun. NE MUTLU MATEMATİGİ SEVENLERE. Matematematik fıkraları Toplama kampı Hitler bir gün kamplardan birini ziyaret ederken oradaki tutuklulardan birine sorar: - 5, 3 daha kaç eder? Mahkum 6 diye cevap verdiğinde yanındaki kurmaya döner ve kızgın bir ses tonuyla: - Ne biçim toplama kampı bu? diye azarlar.
Matematikçinin yardımımı bu kadar olur Balonla seyahat etmekte olan bir grup yolunu kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar. İçlerinden biri aşağıya bağırır: - Hey !.. Şu anda neredeyiz?. .Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir: - Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız… Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına: - ‘’Biliyor musunuz bu adam matematikçi.’’der Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar: - Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey kesin olarak doğru… Üçüncüsü, bir işe yaramıyor…
Matematik kitapları Matematik Büyücüsü: Alfred S. Posamentier, Güncel Yayıncılık "Kitap, yazarın New York Times 'ta matematiğin güzelliğini ve büyüleyicili- ğini anlatmak adına yayınladığı bir makaleye bir makaleye gelen olağanüstü güzellikteki tepkilerden ilham alınarak ortaya çıktı. 'Matematiğin güzelliği ya da büyüleyiciliği mi olur?' diyenlerden ya da 'Matematiğin güzelliğini ve büyüleyiciliğini anlatmak mümkün mü?' Diyenlerden olabilirsiniz. İkisini de demiyorsanız, bu kitabı okuduktan sonra safınızı daha kolay belirleyebilirsiniz! Matematik söz konusu olduğunda hepimiz kolaylıkla, 'Ha matematik mi, çok başarısızdım!' demekten imtina etmeyiz. Peki bu cümlemizin matematikte başarısızlığından yakındığımız çocuğumuzu ciddi anlamda etkilediğinin farkında mıyız? Yani bir önyargı olduğundan ve matematik dışında bir konuda bu kadar kolay 'başarısızım' diyemediğimizden söz ediyoruz. Matematik profesörü olan Posamentier, matematiği, hem öğrencilere hem de öğretmenlere canlı kılmak için ömrünü harcamış biri. Ve bu çalışması da olağanüstü başarılarını kendi hayatımıza eklemek için bir şans! Yaşayan Matematik: Theoni Pappas, Doruk yayınları "Matematik zevkini tatmak için matematiğin çevremizdeki nesnelerle ilişkisinin az olmadığını kavramak gerekir. Matematik, gelir-gider dengesini bulmak için kullanılan ya da karmaşık hesaplamalarla bizi sıkan bir konu değildir. Çok az kişi matematiğin çevremizle ve yaşamımızla iç içe olan gerçek doğasını kavrar. Çevremizdeki pek çok olgu matematikle anlatılabilir. Matematiksel kavramlar, canlı hücrelerin yapısında bile bulunur. Bu kitabın amacı, yaşamımızın çeşitli alanlarından kısa görüntüler ve örnekler sunarak, matematik ile dünya arasındaki bu ayrılmaz ilişkinin farkına varmanızı sağlamaktır. Matematikten duyulan zevk, bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bu hayranlık ve şaşkınlık sarar insanı. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra , bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu ilk kez mikroskopa bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan şeyleri gördüğünüz anki kadar heyecan verici olabilir." Bir sayı Tut: Malcolm E. Lines, Tübitak Yayınları Kozalaklardan ayçiçeklerine, bahçe düzenlemelerinden şifreli mesajlara doğada ve günlük yaşantımızda önemli bir yeri olan sayıların ilginç dünyasını tanıtıyor. Kolay anlaşılır bir dille kaleme alı- nan kitapta ünlü matematikçileri bile şaşırtan problemlerin yanı sıra fraktallar ve kaos gibi üzerinde tartışılan A Beautiful Mind ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\m3ps217s\a_beautiful_mind_poster[1].jpg](24982_html_713f1a74.jpg)
Filmin Konusu Nash, öğrencilik yıllarından itibaren hayaller görmeye başlar. Mezuniyetinden sonra, zamanla paranoid şizofreni olur. Fakat hasta olduğunun farkına varamaz. Bir konferans sırasında aniden bir psikiyatristin karşısına çıkması ile olaylar zinciri değişir. Hastaneye yatar ve bu nedenle akademik çalışmalarından uzaklaşır. Hastalığı kendi çocuğuna zarar vermesine neden olacak noktaya gelince eşi yeniden hastaneye gitmesi gerektiğini düşünür. Uzun süre hasta olduğunu kabul edemese de, sürekli gördüğü kız çocuğunun hiç büyümediğini fark eder. Bu durum, onun hastalığını kabul etmesini sağlar. Nash, yaşadığı hayali gerçekleri görmezden gelerek onlarla yaşamaya çalışacaktır. Gördüğü tedaviler etkili olmasa da, eşi ve eski iş arkadaşlarının desteğiyle her şeye yeniden başlar. Kendi akıl hastalığını yine kendi aklı ile dizginleyerek akademik çalışmalarına yeniden hız verir. Tekrar üniversitede ders vermeye başlar. Sonunda, gösterdiği sıra dışı mücadeleyle şizofreni ile birlikte yaşamına devam eder. Ve tarih bu müthiş dehaya, akıl hastalığını yine aklıyla yenerek hayatının geri kalanını bilime adamasından ve hastalığının başlamasından evvel yaptığı buluşlardan dolayı Nobel Ekonomi Ödülünü armağan eder Filmin aldığı ödüller En İyi Yönetmen Oscar Ödülü 2002 En İyi Film Oscar Ödülü, 2002 En İyi Uyarlama Senaryo Oscar Ödülü 2002 En İyi Yardımcı Kadın Oyuncu Oscar Ödülü, 2002 En İyi Kurgu Oscar Ödülü Adaylığı, 2002 En İyi Orijinal Müzik Oscar Ödülü Adaylığı, 2002 En İyi Erkek Oyuncu İngiliz Akademi Ödülü, BAFTA, 2002 En İyi Film İngiliz Akademi Ödülü Adaylığı, BAFTA, 2002 2 En İyi Erkek Oyuncu Altın Küre Ödülü, 2002 En İyi Uyarlama Senaryo Altın Küre Ödülü, 2002 En İyi Film Altın Küre Ödülü, Matematik karikatürleri
Beyniniz ile baş başa kalın ![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\53trm23k\1024px-nonomino_sudoku.svg[1].png](24982_html_5fbcc377.png)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\10wkpjk9\samurai2[1].png](24982_html_m27ee5dc9.png)
KAYNAKÇA
Yüklə 98,27 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\53trm23k\mates[1].gif](24982_html_2f7d96f0.gif)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\10wkpjk9\wikipedia_logo_silver[1].png](24982_html_41e8379a.png)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\53trm23k\colour_mult1[1].jpg](24982_html_2e7c1c41.jpg)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\10wkpjk9\number-zero-0-4110-large[1].png](24982_html_m3a699891.png)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\m3ps217s\225px-buzjani%2c_the_persian[1].jpg](24982_html_m58e9b506.jpg)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\10wkpjk9\discalculia-orientacion-andujar[1].jpg](24982_html_m55d6896c.jpg)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\m3ps217s\oli_mat_olimpiadas_portada[1].png](24982_html_60a25274.png)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\zp84j5x5\600px-emoji_u1f609.svg[1].png](24982_html_m72dceb10.png)
![c:\users\galatasaray\appdata\local\microsoft\windows\temporary internet files\content.ie5\m3ps217s\600px-emoji_u1f607.svg[1].png](24982_html_1a17c190.png)
