MatriSİn determinanti

DETERMİNANT VE HESAPLANMASI

VE

HESAPLAMADA KULLANILAN NÜMERİK YÖNTEMLER
MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

 

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

 

 

1. Sarrus Kuralı

A = [a_ij]_3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

     

3  3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a₁₁, a₂₂, a₃₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a₂₁, a₃₂, a₁₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a₃₁, a₁₂, a₂₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T₁ olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a₁₃, a₂₂, a₃₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a₂₃, a₃₂, a₁₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a₃₃, a₁₂, a₂₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T₂ olsun,

   

10. A matrisinin determinantı: detA = T₁ – T₂ dir.

 

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

     

Kural

matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. i. satıra göre determinant:       j. sütuna göre determinant:

 

3. Determinantın Özellikleri

Özellik

Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir. Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir. Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.       det(A  B) = detA  detB Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.       detA^n = (detA)^n Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.       A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı, A nın determinantının k^n ile çarpımına eşittir.       Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez. Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

DETERMİNANT HESAPLAMALARINDA KULLANILAN NÜMERİK YÖNTEMLER

Bazı matrislerin determinantlarının hesaplanmasında normal bilinen yollar uzun ve zorlu olabilir. Bu gibi durumlarda determinant hesaplamaları için Nümerik Analiz yöntemlerinin yardımına ihtiyaç duyarız. Determinant hesaplanması için iki adet nümerik yöntem vardır.

1. 
   Gauss Eleminasyon Yöntemi
   
2. 
   CHIO Yöntemi
   

1. 
   Gauss Eleminasyon Yöntemi:
   

Bu yöntem alt ya da üst üçgen matrisin determinantının asal köşegen elemanlarının çarpımı olduğu esasına dayanır. Bu yöntemde determinantı alınacak matris elementer işlemler yardımıyla üst ya da alt üçgen matrise dönüştürülür ve determinant hesaplanır. Ancak elementer satır veya sütun işlemleri sırasında asal köşegen üzerinde sıfırdan farklı elemanlar olması istenir. Eğer asal köşegen üzerindeki elemanlardan en az birisi sıfır ise satırlar arası değişimlerle bu durum ortadan kaldırılabilir. Eğer hiçbir şekilde asal köşegen üzerindeki sıfır sayısından kurtulamıyorsak determinant sıfırdır.

Elementer satır işlemlerini sembolik olarak ifade etmek istersek;

H_ij(k) = j. Satırı k ile çarp i. Satıra ekle

Şimdi bu yöntemi 4x4 lük bir matris üzerinde uygulayalım. A matrisi 4x4 lük bir matris olsun.

A= Bu matrisi bir üst üçgen matris haline getirerek determinantını

hesaplayalım. O halde asal köşegenin altında kalan elemanların sıfır olması gerekir. Yani a₂₁, a₃₁, a₃₂, a₄₁, a₄₂ ve a₄₃ elemanını sıfır yapmalıyız.

satır elementer işlemi ile a₂₁ elemanını sıfır yaptık. Benzer şekilde diğer elemanları da satır elementer işlemleri ile sıfır yaparsak elde ettiğimiz matris;
A = olur. Bu matrisin determinantı da ;
det (A) = = olacaktır.
Örnek: A= matrisinin determinantını gauss eleminasyon yöntemi ile hesaplayınız.

Elementer işlemler ile matrisi bir üst üçgen matris haline getirdik. Determinant asal köşegen elemanları çarpımına eşittir.

Det (A) = = 6 olarak bulunur.

2 ) CHIO Yöntemi :

Bu yöntemde determinant hesabı, hesaplanacak matrisin her bir adımda bir mertebe indirgenmesiyle hesaplanır. Burada mertebe verilen kare matrisin satır ya da sütun sayısını ifade eder. (Örneğin 4x4 lük bir matrisin mertebesi 4tür.) Matris indirgenirken 2x2lik determinant hesaplarıyla matris indirgenir.

n x n tipinde bir matris alarak bu yöntemin çalışma şeklini inceleyelim.
A = tipinde n mertebeli bir matris olsun.

det (A) = şu şekilde hesaplanır; A matrisinin determinantını;

det (A) = şeklinde bir determinanta dönüştürdük. Bu matrisin içindeki 2x2lik determinantları hesaplarsak;
det(A)= tipinde ve mertebesi bir mertebe indirgenmiş bir matris elde ederiz. Bu determinantta da aynı yöntemi uygularsak;

det (A) =elde ederiz. Gördüğünüz gibi artık determinantımız (n-2) mertebeli oldu. Bu şekilde işlemlere devam ederek determinantı 2x2lik bir determinanta dönüştürürüz ve hesaplarız. Bu hesaplama yönteminde olmalıdır.

Örnek : A=matrisinin determinantını CHIO yöntemi ile hesaplayınız.
det (A) = ==

devam edelim bir mertebe daha indirgeyelim ;

= == 0 bulmuş olduk.

det(A)= 0