x= ᵧ-1(ᵧxᵧ-1) ᵧ dan bu akslantirish G ga butun akslantirish buladi. Ichki avtomorfizm tushunchasi bir elementi bor assotsiativ xalkaga xam urinli buladi. Xakikatda 1 elementli assotsiativ Gyarim xalka ichki avtomorfizmi shu xalka avtomorfizmi buladi. ᵧ-1(x+y) ᵧ= ᵧ-1xᵧ+ ᵧyᵧ-1ekanidan uni halqaning ichki avtomorfizmi deb atash tabiiy. Har bir G universal algebrani о‘ziga gomomorf akslantirish endomorfizm deyiladi. Unga barcha avtomorfizmlar kiradi. Xuddi shunday barcha izomorf akslantirishlar G ni о‘ziga о‘ziga gomomorf akslantirish ham. Endomorfni ketma-ket akslantirishni qо‘llash natijasi yana endomorf bо‘ladi. Endomorfizmlar yarim gruppasi birlik elementga ega. Bu esa ayniy avtomorfizm. Endomorfizmlar yarim gruppasi birni bо‘luvchilari avtomorfizmlardir. Chunki avtomorfizmlar holatidagina bir qiymatli teskari akslantirish mumkin: Agar va lar G, Ω gruppani G: Ω gruppaga akslantiruvchi akslantirishlar bо‘lishsa, ya’ni ,a€G (1) gomomorfizm bо‘lmaydi. Ular faqat ¥ a, v€ G uchun , ya’ni (2) holdagina gomomorfizm bо‘ladi. Ixtiyoriy n-ar amal va a1,a2,...,an€ G elementlar uchun (a1a2,...an ) bо‘lsa, agar (3). Agar (2) va (3) shartlar bajarilsa va va gomomorfizmlar qо‘shadigan va gomomorfizm ularni yig‘indisi deyiladi. Biz G Ω gruppani G’ Ωgruppaga hususiy yig‘indisini aniqladi. Bu yig‘indi komutativ, chunki (2) dan ¥ a G uchun, k elib chiqadi. U assotsiativ bо‘ladi.
