Mavzu: Korrelyatsiya jarayonini hisoblash

1.3 - Mavzu: Korrelyatsiya jarayonini hisoblash

Ishdan maqsad: Klassik algoritimlar asosida signalni svyortkali tahlil qilish.

Nazariy qism:

Umuman olganda, korrelyatsiya ikki yoki undan ortiq narsalar o'rtasida mavjud bo'lgan o'zaro munosabatlarni tavsiflaydi. Xuddi shu ta'rif signallar holatida ham yaxshi bo'ladi. Ya'ni, signallar o'rtasidagi korrelyatsiya berilgan signalning boshqa signalga o'xshashligini ko'rsatadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz 1 va 2 signallari o'rtasida qanchalik o'xshashlik mavjudligini bilmoqchi bo'lsak, u holda 1-signalning 2-signalga yoki aksincha bog'liqligini aniqlashimiz kerak.
Korrelyatsiya turlari
Korrelyatsiya uchun ko'rib chiqilgan signallarning bir xil yoki boshqacha ekanligiga qarab, biz ikki xil korrelyatsiyaga egamiz:
Avto korrelyatsiya
Cross korrelyatsiya
Avtokorrelyatsiya
Bu korrelyatsiya turi bo'lib, unda berilgan signal o'zi bilan korrelyatsiya qilinadi, odatda o'z-o'zidan vaqt o'zgartirilgan versiyasi. Uzluksiz vaqt signali x(t) avtokorrelyatsiyasining matematik ifodasi bilan berilgan

Xuddi shunday diskret vaqt signalining avtokorrelyatsiyasi x[n] quyidagicha ifodalanadi

Keyinchalik, har qanday berilgan signalning avtokorrelyatsiyasini grafik texnikaga murojaat qilish orqali ham hisoblash mumkin. Jarayon har bir oraliqda namunalarni hisoblashda berilgan signalning vaqt o'zgartirilgan versiyasini o'z-o'zidan siljitishni o'z ichiga oladi. Ya'ni, agar berilgan signal raqamli bo'lsa, biz har safar berilgan signalni bitta namunaga siljitamiz va uni dastlabki signal bilan qoplaymiz. Buni bajarayotganda, har bir siljish va bir-birining ustiga chiqish uchun biz ko'paytirish va qo'shishni bajaramiz.
Masalan, x [ n ] = {-1, 2, 1} raqamli signalning avtokorrelyatsiyasini 1-rasmda ko'rsatilganidek hisoblash mumkin.

1-rasm: avtokorrelyatsiyani topishning grafik usuli

Bu erda namunalarning birinchi to'plami (har bir jadvalning birinchi qatoridagilar) berilgan signalga ishora qiladi. Ikkinchi to'plam (har bir jadvalning ikkinchi qatorida) uning vaqt o'zgartirilgan versiyasining namunalariga ishora qiladi. Keyinchalik, uchinchi qatorda qizil rangda ko'rsatilgan namunalar birinchi ikki qatorning mos keladigan namunalarini ko'paytirish orqali olinadi.

Nihoyat, biz avtomatik korrelyatsiya qilingan signal namunalarini olish uchun namunaning oxirgi qatoriga (jingalak qavslar ichida joylashgan) namunalarni qo'shamiz.
Shunday qilib, bu erda avtokorrelyatsiya qilingan Rxx signalining namunalari {-1, 0, 6, 0, -1} ekanligini topamiz, bu erda 6 nolinchi namunadir.
Taqdim etilgan misol shuni ko'rsatadiki, avtokorrelyatsiya qilingan signalning namunasi bir-birining ustiga chiqadigan signal berilgan signalga eng yaxshi mos kelganda maksimal qiymatga ega bo'ladi. Bunday holda, bu vaqt almashinuvi nolga teng bo'lganda sodir bo'ladi.
O‘zaro korrelyatsiya
Bu korrelyatsiyaning bir turi bo'lib, ular o'rtasida qanchalik o'xshashlik mavjudligini bilish uchun qo'ldagi signal boshqa signal bilan korrelyatsiya qilinadi. Uzluksiz vaqt signallarining x(t) va y(t) oʻzaro korrelyatsiyasining matematik ifodasi quyidagicha berilgan:

Xuddi shunday diskret vaqt signallarining x(n) va y(n) oʻzaro bogʻliqligi quyidagicha ifodalanadi.

Keyinchalik, xuddi avtokorrelyatsiyada bo'lgani kabi, har qanday ikkita signalning o'zaro bog'liqligini grafik usullar yordamida topish mumkin. Bu erda har bir oraliqda namunalarni hisoblashda bitta signal boshqasiga siljiydi. Ya'ni, raqamli signallar bo'lsa, har safar bitta signal bitta namuna tomonidan o'ngga siljiydi, bunda bir-birining ustiga chiqadigan namunalar mahsulotining yig'indisi hisoblanadi.
Masalan, x[n] = {-3, 2, -1, 1} va y[n] = {-1, 0, -3, 2} raqamli signallarning oʻzaro korrelyatsiyasini shaklda koʻrsatilganidek hisoblash mumkin. 2-rasm. 

2-rasm: Cross korrelyatsiyani topishning grafik usuli
Bu erda birinchi namunalar to'plami (har bir jadvalning birinchi qatorida) x[n] signaliga, ikkinchisi esa y[n] signalining namunalariga (har bir jadvalning ikkinchi qatorida) tegishli.
Keyinchalik, ko'k rangda ko'rsatilgan namunalar - uchinchi qatordagilar - birinchi ikki qatorning mos keladigan namunalarini ko'paytirish orqali olinadi. Nihoyat, biz o'zaro bog'liq signal namunalarini olish uchun oxirgi qatorga (jingalak qavslar ichida joylashgan) namunalarni qo'shamiz.
Shunday qilib, bu erda biz o'zaro bog'liq R_xy signalining namunalari {-6, 13, -8, 8, -5, 1, -1} sifatida olinganligini ko'ramiz, bu erda 8 nolinchi namunadir.
Bundan tashqari, taqdim etilgan misol shuni ko'rsatadiki, o'zaro bog'liqlik signalining namunasi y [n] ning oxirgi ikki namunasi x [n] ning birinchi ikkita namunasi bilan bir-biriga to'g'ri kelganda, qiymati 13 bo'lgan eng yuqori cho'qqida bo'ladi . Buning sababi shundaki, bu holda, ikkinchi signal eng yaxshi holatda birinchisiga to'g'ri keladi, chunki har bir signaldagi ikkita namuna bir xil.
Demak, ko'rib chiqilayotgan ikkita signal bir-biriga o'xshash bo'lganda, o'zaro bog'liqlik maksimal darajaga etadi, degan xulosaga kelish mumkin.


Korrelyasiya koeffisientini hisoblashning Pirson formulasi qo‘yidagicha :



Bu yerda ning qiymatlari; ning qiymatlari; - X dagi qiymatlarning o‘rta arifmetigi; - Y dagi qiymatlarning o‘rta arifmetigi;
Korrelyatsion tahlil (1 – 2 bosqichlar)

№	X	Y
1	24	100
2	27	115
3	26	117
4	21	119
5	20	134
6	31	94
7	26	105
8	22	103
9	20	111
10	18	124
11	30	122
12	29	109
13	24	110
14	26	86

1. X va Y larning summasini hisoblash: