Mavzu: Parameter kiritish yo’li bilan tenglamani integrallash. Lagranj va Klero tenglamalari

1.2. Parametrik kiritish yo’li bilan hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallash usullari haqida.
Tenglama ushbu ko’rinishga ega:F(y, y')=0 (14) yoki F(x, y')=0, shu bilan birga tenglamadan y ni (birinchi tenglamada) yoki x ni (ikkinchi tenglamada),shuningdek,p= y' ni t parameter orqali ifodalash mumkin deb faraz qilamiz.2) va 3) hollardagi kabi bu yerda ham tenglamaning umumiy yechimi parametrik shaklda hosil bo’ladi.Masalan,F(y, p)=0 tenglama bo’lgan holni ko’raylik.y=φ(t) deb,tenglamadan p=ψ(t) ni yoki,aksincha,p=ψ(t) deb tenglamadan y=φ(t) ni topdik deb faraz qilaylik.U holda,bir tomondan,dy=pdx=ψ(t)dx,ikkinchi tomondan,dy= φ '(t)dt.Bu dy uchun ikkala ifodani taqqoslab, ψ(t)dx= φ '(t)dt ni hosil qilamiz,bu yerdan va .Umumiy yechim parametrik shaklda quyidagicha yoziladi:
(15)
Misol: y= tenglamaning umumiy yechimini topaylik.
p=y'=sht deymiz; u holda y= .Ushbu tenglikdan dx= ni topamiz.dy=asht dt bo’lgani uchun dx=adt va x=at-c.Umumiy yechim parametrik shaklda quyidagicha yoziladi: . t parametrni yo’qotamiz.Buning uchun birinchi tenglamadan t ni topib,ikkinchi tenglamaga qo’yamiz.Natijada t=(x+c)/a va y=ach(x+c)/a.
5)Lagranj tenglamasi. x va y ga nisbatan chiziqli bo’lgan ,ya’ni y= φ(y')x+ ψ(y') (16) ko’rinishga ega bo’lgan tenglama shunday ataladi. φ(y') y' deb faraz qilamiz. φ(y')≡y' hol keyinroq qaraladi.Lagranj tenglamasini integrallash uchun ham parametrik usulni qo’llaymiz. y'=p deymiz.U holda tenglama y= φ(p)x+ ψ(p) (17) ko’rinishida yoziladi.x bo’yicha differensiallab quyidagini hosil qilamiz: (18) yoki y' ni p bilan almashtirib, ga ko’paytirish va algebraik almashtirishlardan so’ng: (19).Bu x funksiya va hosilaga nisbatan chiziqli tenglama.Uning umumiy integrali Ф(x, p, c)=0 (20) ko’rinishga ega.U (17) tenglama bilan birgalikda Lagranj tenglamasining parametrik shakldagi umumiy integralini beradi.(17) va (20) tengliklardan p ni yo’qotib,Lagranj tenglamasining umumiy integrali Ф₁(x, y, c)=0 ni hosil qilamiz.(18) tenglamani o’zgartirishimiz p- φ(p) ≠0 bo’lgandagina mumkin ekanligini qayd qilib o’taylik.Agar p- φ(p)=0 tenglama p=p_i ildizlarga ega bo’lsa,u holda ular y=x φ(p_i)+ ψ(p_i) (i=1,2,…,k) yechimlarni ham beradi.
Misol:y=x tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
y'=p deymiz.U holda y=xp²+p² yoki y=(x+1)p².Buni x bo’yicha differensiallab,topamiz: y'=p²+2(x+1)p .Bir qator sodda o’zgartirishlardan so’ng quyidagini hosil qilamiz:1-p-2(x+1) yoki , bu yerdan . Potensirlasak: x+1=c²/(1-p)².Demak,umumiy yechim parametrik shaklda ushbu ko’rinishda bo’ladi :

p parametrni yo’qotamiz.Buning uchun p²=(1-(1-p))²=(1- )²= ifodani topamiz va y=(x+1)p² tenglamaga qo’yamiz.Shunday qilib,umumiy yechim quyidagicha bo’ladi: y .

6)Klero tenglamasi.Klero tenglamasi deb Lagranj tenglamasining φ(y')= y' bo’lgan xususiy holiga aytiladi.Klero tenglamasining umumiy ko’rinishi: y=xy'+ ψ(y'). (21)
y'=p deymiz.U holda y=xp+ ψ(p). (22) x bo’yicha differensiallab,quyidagini topamiz: y'=p+x + ψ '(p) , ya’ni (x+ ψ'(p))=0, bu yerdan =0 yoki x+ψ'(p)=0 (23). =0 tenglamadan p=c kelib chiqadi, (22) da p o’rniga c ni qo’yib,Klero tenglamasining parametrik shakldagi yechimini beradi:

Haqiqatan ham, bu tenglamalardan: dx=- ψ (p)dp, dy=(-p ψ (p)- ψ'(p)+ ψ'(p))dp=-p ψ (p)dp, bu yerdan .Buni Klero tenglamasiga qo’yish -p ψ (p)+ ψ(p)= -p ψ (p)+ ψ(p) ayniyatga olib keladi.Sistemaning ikkala tenglamasidan p parametrni yo’qotib, (21) tenglamaning integrali Ф(x, y)=0 ni hosil qilamiz.Bu integralda c ishtirok etmaydi, umumiy integral bo’la olmaydi.Uni umumiy integraldan c ning hech qanday qiymatida hosil qilib bo’lmaydi,chunki chiziqli funksiya emas.U maxsus integral deyiladi.

Misol: y=px+1/p, bu yerda p= y tenglamaning umumiy va maxsus yechimini topamiz.
Umumiy yechimi bevosita tenglamadan p ni c ga almashtirib topamiz: y=cx+1/c.Maxsus yechimni topish uchun ψ (p)=-1/p² ni topamiz.Ushbu
tenglamalar sistemasi parametrik shakldagi maxsus yechimdan iboratdir.p parametrni yo’qotamiz.Buning uchun ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib,ularni birinch tenglamaning mos qismlariga bo’lamiz; y²/x=4 ni hosil qilamiz,bu yerdan y²=4x.Geometrik nuqtai nazardan y=cx+1/c umumiy yechim to’g’ri chiziqlarning bir parametrli oilasini,maxsus integral esa parabolani tasvirlaydi.