Mavzu: Parameter kiritish yo’li bilan tenglamani integrallash. Lagranj va Klero tenglamalari

2.2 Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun Lagranj va Klero tenglamalari teoremaning isboti.
Bizga F(x, y, )=0 (2) ko’rinishidagi tenglama berilgan bo’lsin.Ushbu tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi uchun ushbu teorema o’rinli.

Teorema: F(x, y, )=0 (2) tenglamaning y=y(x) yechimi shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun y(x₀)=y₀ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud agar quyidagi shartlar bajarilsa.

1. F(x, y, ) funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz funksiya.
2. xususiy hosila mavjud va noldan farqli.
3. xususiy hosila chegaralangan
Misol:
Buni yechish uchun avvalo kabi belgilash kiritib olamiz bundan esa dy=shtdx ni olamiz va kiritilgan belgilashni ifodadagi ning o’rniga keltirib qo’yamiz: . Demak xcht=sht bo’lar ekan. Endi x= tenglikning ikkala tomonini differensiallaymiz: . dy=shtdx tenglikdan dx ni topib yuqoridagi tenglamaga eltib qo’yamiz: .Biz bilamizki , bundan esa bo’ladi.Endi sht ni differensial ichiga kiritamiz: .Bundan y ni osongina topa olamiz va quyidagi natijaga kelamiz:

Isbot.
Oshkormas funksiya mavjudligi haqidagi teoremaga asosan 1-va 2- shartlar F(x, y, )=0 (2) tenglamadan ni oshkor ko’rinishda ( =f(x, y) ) aniqlash imkonini beradi.U vaqtda hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi masalasiga kelamiz.f(x, y) funksiyamiz y o’zgaruvchi bo’yicha Libshits shartini qanoatlantiradi.Bundan tashqari ushbu funksiya quyidagi shartni ham qanoatlantiradi: .Ushbu tengsizlik (x₀, y₀) nuqtaning ixtiyoriy atrofida bajariladi.Bu shartda esa =f(x, y) tenglama yechimining mavjudligi uchun yetarli shart. F(x, y, )=0 (2) tenglamani y o’zgaruvchi bo’yicha differensiallaymiz va bunda =f(x, y) ekanligini inobatga olamiz va tenglikni hosil qilamiz.Bundan bo’ladi, bunda ekanligi ma’lum bo’lsa dan ni hosil qilamiz.

bo’lsa bo’ladi.Bundan kelib chiqadiki F(x, y, )=0 (2) chap tomonidagi funksiya ga nisbatan olingan hosilasi emas balki y bo’yicha olingan hosilasi ham chegaralangan degan xulosaga kelamiz.Demak

qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona.

Ta’rif:F(x, y, )=0 (2) tenglama yechimi mavjudligining shartlari bajarilmaydigan (x, y) nuqtalar to’plami F(x, y, )=0 (2) tenglamaning maxsus to’plami deyiladi.
Misol:
Quyidagicha belgilash kirtamiz va shu belgilashni ifodadagi lar o’rniga keltirib qo’yamiz: k²-(2x+cosx)k+2xcosx=0.Bundan k₁=2x va k₂=cosx ildizlarni topib olamiz.Topilgan k larni yuqoridagi belgilashga eltib qo’yib y larni topib olamiz.Ya’ni: =2x bundan y=x²+c va =cosx bundan esa y=sinx+c.Demak yechimlar y=x²+c va y=sinx+c ekan.
Misol:
ni tenglikning narigi tomoniga o’tkazib x ni topib olamiz: , x= .Quyidagi =t belgilashni kiritamiz va ning o’rniga t ni keltirib qo’yib hisoblaymiz: x= . =t ni dy=tdx ko’rinishda yozib dx= ni topib olamiz. x= tenglikning ikkala tomonini differensiallaymiz: dx=t dt.Endi dx ning o’rniga dx= topgan ifodamizni keltirib qo’yamiz: dy=t² dt.Bu ifodadan y ni bemalol topa olamiz.Demak umumiy yechim:
XULOSA.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz ko’p o’zgaruvchili funksiyalar va ularni diferensial hisobini batafsil o’rganganmiz. Endi bunday funksiyalarning integral hisobi bilan shug’ullanamiz. SHuni aytish kerakki, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarga nisbatan integral tushunchasi turlicha bo’ladi. Mazkur mavzu ko’p o’zgaruvchili funksiyaning bitta o’zgaruvchisi bo’yicha integrali bilan tanishdik va uni o’rgandik.

Parametrga bog’liq integrallarda , funksiyaning limiti, uzluksizligi, differensiallanuvchiligi , integrallanuvchiligi, va boshqa funksional xossalariga ko’ra funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganildi .Bunday xossalarni o’rganishda limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. Matematik analiz. 2-qism. T.Azlarov, H.Mansurov. “O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil.

2. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 2-qism. A.Sadullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov,
A.Borisov,R.G’ulomov. Toshkent. “O’zbekiston” nashriyoti
1995-yil.
http://fayllar.org