Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

6-chizma

Bu holda muvozanat (maxsus) nuqtaga xos turg‘un tugun deyiladi.

2) hol:



7-chizma

Bu holda muvozanat (maxsus) nuqtaga xos noturg‘un tugun deyiladi.

e) Aytaylik, matritsaning xos qiymatlari ko‘rinishdagi kompleks son bo‘lsin. matritsaning barcha elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgani uchun . matritsaning xos qiymatiga mos keluvchi xos vektorni deb belgilaymiz. Bu yerda va -haqiqiy vektorlar. U holda -vektor xos qiymatga mos keluvchi xos vektor bo‘ladi. (1) muxtor sistemaning haqiqiy yechimlari

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda - ixtiyoriy kompleks son. Agar bu kompleks sonni

ko‘rinishda olsak, u holda (1) sistemaning umumiy yechimi

ko‘rinishni oladi. -chiziqli erkli vektorlar bo‘lgani uchun ularni fazoning bazisi sifatida olish mumkin. Agar yechimning bu bazisdagi koordinatalarini mos ravishda va deb belgilasak,

munosabatlar hosil bo‘ladi.

Quyidagi

belgilashlarni kiritaylik. Bu belgilashlardan foydalanib (1) sistemaning trayektoriyalari uchun - qutb koordinatalar sistemasida ushbu

tenglamaga ega bo‘lamiz. Agar va bo‘lsa, (1) sistemaning trayektoriyalari logarifmik spiral shaklidagi egri chiziqlardan iborat bo‘ladi. Agar bo‘lsa, ellips tipidagi egri chiziqlardan iborat bo‘ladi.

Quyidagi hollarni ko‘rib chiqamiz.

Aytaylik, bo‘lsin. U holda da muvozanat nuqtaga ega bo‘lamiz. bo‘lsa trayektoriya spiral shaklida bo‘lib harakat muvozanat nuqta tomon spiral bo‘yicha harakatlanadi. Chunki, da bo‘ladi. Spiraldagi buralish yo‘nalishi holat tezligining yo‘nalishidan aniqlanadi. Masalan, agar sifatida nuqta olinsa, u holda kompanentlardan tashkil topgan bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda o‘nga yo‘nalgan, agar bo‘lsa, u holda chapga yo‘nalgan bo‘ladi. Bu holda muvozanat (maxsus) nuqtaga turg‘un fokus deyiladi.

8-chizma

Aytaylik, bo‘lsin. U holda bo‘lganda , muvozanat nuqtaga ega bo‘lamiz. Agar bo‘lsa, u holda da nuqta spiral bo‘yicha harakatlanib dan uzoqlashadi. Chunki da bo‘ladi. Bu holda muvozanat (maxsus) nuqtaga noturg‘un fokus deyiladi.

9-chizma

Aytaylik, , ya’ni sof mavhum son bo‘lsin. U holda bo‘lganda trayektoriyalar ellips turidagi egri chiziqlardan iborat bo‘ladi. Chunki bu holda (1) sistemaning umumiy yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yechimga mos keluvchi trayektoriyalar haqiqatdan ham ellipsdan iborat bo‘ladi. da muvozanat nuqtaga ega bo‘lamiz. Qaralayotgan holda muvozanat (maxsus) nuqtaga markaz deyiladi. Bu yerda asimptotik turg‘unlik yo‘q, chunki, nuqta ellipslarning birortasi bo‘ylab cheksiz marta aylanib harakat qiladi. va funksiyalar da hech qanday limitga intilmaydi. Chunki, yechim davriy funksiyani ifodalaydi. Ammo muvozanat (maxsus) nuqta Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi.