Mécanique – Formulaire Égalités vectorielles

Mécanique – Formulaire

Égalités vectorielles

Torseurs

Définition du moment d’un vecteur par rapport à un point P :

Note : A est un point quelconque de la droite d’action du vecteur.



Propriété de changement de référence :



Coordonnées d’un torseur (somme et moment résultant) :

Note : C’est la somme des moments, et pas le moment de la somme.



Propriété de changement de référence :

Définition de l’Automoment :

Définition du Comoment :

Note : L’automoment et le comoment sont tous deux indépendants de P.

L’Axe Central d’un torseur est la droite de même direction que sa somme passant par le point particulier I* tel que :

Note : Le moment est constant le long de l’axe central et vaut avec

Équiprojectivité :

Cinématique

Vitesse

Définition

Avec O_i n’importe quel point fixe dans (R_i)

Formule de changement d’origine

(M et N appartenant tous les deux au même solide rigide (S_k)







Accélération

Définition

Formule de changement d’origine

(M et N appartenant tous les deux au même solide rigide (S_k)

Formules de Changement de Repère




Composantes Intrinsèques

Avec s(t) la distance parcourue sur la trajectoire

t est le vecteur tangent à la trajectoire au point considéré

n vecteur normal à t orienté vers l’intérieur de la courbure

R le rayon de courbure





Moving Basis Formula

No Slip in I

- Où est I ? Dans quel repère ?

- On décompose la vitesse en I en vitesses relatives à d’autres repère en utilisant la relation de Chasles, en cohérence avec les paramètres donnés.

- Formule de changement d’origine, pour avoir de meilleurs points où calculer les vitesses (sur les axes de rotation)

- On développe tout.

- On vérifie que la vitesse obtenue est bien perpendiculaire au vecteur n, normale à la surface de contact (contact en I).

- On dit que cette vitesse vaut 0.

Cinétique

Torseur cinétique :

Changement d’origine

Matrice d’inertie de S par rapport à O :

Formules de HUYGENS

Simplifications : (O,x,y) plan de symétrie pour (S) => D=E=0

(O,x) axe de symétrie pour (S) => D=E=F=0 ([I] matrice diagonale)

(O,x) axe de révolution pour (S) => D=E=F=0 et B=C

Si (O,x) axe de révolution pour (S) et x=x*, alors [I]_/R = [I]_/R*

Ecriture Matricielle

KOENIG’S Formula

Dynamique

Torseur dynamique :

Changement d’origine

Calcul du moment dynamique en C :

Simplifications si :

- C=G

- C fixe dans R₀

- V⁰(C) // V⁰(G)

Energie Cinétique

Son expression dépend du repère R₀ dans lequel on calcule les vitesses, moments et matrice d’inertie…

Si un point O_S de (S) est fixe dans R₀ alors on a :

Théorèmes Fondamentaux de la Dynamique

Constitutive Equations

Contacts non lubrifiés	Avec	Sans
Glissement [Slipping] [2 équations]		f : coeff de friction
Roulement [Rolling] [2 équations]		h : coeff de roulement
[Pitching] [1 équation]		k : coeff de pitching

Tableau quand on veut un système réduit

Nature	Inconnues	Equations
Cinématique	Inconnues cinématiques	Constraint equations
Dynamique	Tous nos liens du graph of links + ressorts, amortisseurs	General thms : 6 * nb solides Constitutive equations

Inconnues/Equations dynamiques

Liaison	Inconnues dynamiques	Equations dynamiques
Pivot [revolute]	5	6
Glissière [prismatique]	5	6
Pivot glissant [cylindrical]	4	6
Rotule [spherical]	3	6
Contact	3	cf. tableau constitutive equations
Ressorts [springs]	1	1
Amortisseurs [dampers]	1	1