Mənfi olmayan tam ədədlər ( motə) hesabının çoxluqlar

AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI TƏHSİL NAZİRLİYİ

NAXÇIVAN MÜƏLLİMLƏR İNSTİTUTU

Kafedra: Riyaziyyat və tədrisi metodikası

Fənnin adı: Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları

İxtisas : İSM

Kurs: I

_{Müəllim : Riyaziyyat üzrə fəlsəfə doktoru Muradova Nazilə Lətif qızı}

Mühazirə mətnləri

Mövzu 1. Mənfi olmayan tam ədədlər ( MOTƏ) hesabının

çoxluqlar nəzəriyyəsi əsasında qurulması

Natural ədəd anlayışı insanların praktik fəaliyyətlərinin tələbləri nəticəsində meydana gəlmişdir. Bu anlayış getdikcə mürəkkəbləşən praktiki, daha sonra isə nəzəri xarakterli məsələlərin həlli prosesində tədricən formalaşmışdır. Natural ədədlərin yaranmasının mühüm səbəblərdən biri də insanların sonlu çoxluqları bir – birilə müqayisə etmələri olmuşdur. Bu müqayisə çox qədim insanlara iki sonlu çoxluğun elementlərinin sayca bərabər olub – olmadığını bilmək üçün, daha konkret, məsələn, əldə olan silahlar bütün ovçulara çatırmı, ovlanan balıqlar bütün tayfa üzvülərinə kifayət edirmi və s. kimi məsələləri həll etmək üçün lazım olmuşdur. Çoxluqların müqayisəsi üçün sadə üsul kimi qədim insanlar iki çoxluğun elementləri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq qaydasından istifadə etmişlər. İki çoxluq arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq mümkün olduqda , insanlar nəticə çıxarmışlar ki, çoxluqlar eyni sayda elementlərə malikdir. İnsanlar iki çoxluğun müqayisəsinin nəticəsini qeydə almaq üçün barmaqlar, daş qırıntıları , balıqqulağı və s. əşyalardan ibarət vasitəçi çoxluqlardan istifadə etməyə başlamışlar. Bu vasitəçi çoxluqlar artıq çoxluğun elementlərinin sayının ədəd ilə ifadə edilməsinin ilkin analoqu rolunu oynamışlar.

Aşkardır ki, vasitəçi – çoxluqla müqayisə tədricən insanlarda mücərrəd təfəkkür tərzinin yaranmasına gətirmiş, onlarda mühakimə yürütmək qabiliyyətinin meydana gəlməsinə səbəb olmuşdur. Bu zaman “vasitəçi – çoxluq” artıq “ sayın adı ” kimi tətbiq edilməyə başlandı. Məsələn, 5 alma əvəzinə “ əl alma ” deməklə hesablama barmaqlarla aparılmışdır. Nəticədə “ beş barmaq ” çoxluğu ilə “ beş alma ” çoxluqlarının elementlərinin təbiətini nəzərə almadıqda , yəni abstrakt yanaşdıqda hər iki çoxluq üçün ümumi olan “ eyni sayda elementi olmaq” əlaməti müəyyən edilmişdır ki, bu da sayı ifadə edən natural ədəd haqqındakı təsəvvürün formalaşmasına gətirmişdir.

XIX əsrdə alman alimi G.Kantor tərəfindən yaradılmış çoxluqlar nəzəriyyəsinin natural ədədlər nəzəriyyəsinin qurulmasında böyük rolu olmuşdur. Bu nəzəriyyənin əsasında “ sonlu çoxluq ” anlayışı və “ qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq ” anlayışı durur. Bildiyimiz kimi , iki və çoxluqlarının

“ eynigüclülüyü ” münasibəti “ ekvivalentlik” münasibətidir. Məlumdur ki, ekvivalentlik münasibəti üzərində təyin olunduğu çoxluğu ekvivalentlik siniflərinə bölür.Eyni bir çoxluqlar sinfinə çoxlu sayda müxtəlif təbiətli elementlərdən düzəldilmiş çoxluqlar daxil ola bilər. Lakin eyni sinifdən olan çoxluqların hamısı üçün ümumi olan bir xassə vardır ki, bu da onların eynigüclülüyü xassəsidir.Yəni eyni sayda elementlərdən ibarət olması xassəsidir.

Beləliklə, sonlu çoxluqların ekvivalentlik sinifləri aşağıdakı qayda ilə düzəlir :

Hər hansı çoxluğunu götürək və onunla eynigüclü olan bütün çoxluqlar

seçib ilə eyni bir sinfə daxil edək. Məsələn, üçbucağın təpələri çoxluğudursa, onda üçbucağın tərəfləri çoxluğu, üçbucağın bucaqları çoxluğu, “ Ana” sözündəki hərflər çoxluğu və s. ilə eyni sinfə daxil olur. Sonrakı addımda ilə eynigüclü olmayan çoxluğunu götürək və onunla eynigüclü olan çoxluqları seçib ilə eyni bir sinfə daxil edək. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək bütün sonlu çoxluqlar ekvivalent çoxluqlar sinifləri üzrə paylanmış olur və heç bir sonlu çoxluq bu siniflərdən kənarda qalmır.

Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, eyni sinfə daxil olan çoxluqların ümumi bir

xassəsi vardır ki, bu da onların hamısının eyni sayda elementdən düzəlməsi xassəsidir. Məsələn, üçbucağın təpələri çoxluğu ilə eynigüclü olan bütün çoxluqların ümumi xassəsi onların hamısının gücünün “ üç” natural ədədi ilə ifadə edilməsidir.

Beləliklə, nəzəri – çoxluq anlayışına əsaslanaraq natural ədədə aşağıdakı kimi tərif vermək olar :

Tərif : Bir–biri ilə eynigüclü olan və boş olmayan sonlu çoxluqlar sinfinin

ümumi xassəsi miqdar göstərən natural ədəd adlanır.

Bu tərifə görə hər bir sinfə bir və yalnız bir natural ədəd uyğundur və tərsinə, hər bir natural ədədə bir və yalnız bir eynigüclü sonlu çoxluqlar sinfi uyğundur. Məsələn, 3 ədədi “ üç barmağı ”, “ üç qələmi ”, “ üç almanı ” və s. göstərir. Bu çoxluqların hamısının malik olduğu ümumi xassə ( 3 ədədi ) onların ümumi miqdar xarakteristikası adlanır. Beləliklə, hər bir sonlu çoxluğuna onun miqdar ( ədədi) xarakteristikası olan və kimi işarə olunan natural ədədi uyğundur və tərsinə.

Tutaq ki, gücü natural ədədinə bərabər olan çoxluqlar sinfi verilmişdir. Bu sinfin hər hansı çoxluğunu götürək. Bu çoxluğa ona daxil olmayan bir element daxil edək. Onda aşkardır ki, bu çoxluğa ekvivalent olmayan yeni çoxluğunu alarıq. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək, bir – biri ilə eynigüclü olmayan sonlu çoxluqların ardıcıllığını, yəni ardıcıllığını alarıq. Bu çoxluqlar ardıcıllığı ilə təyin olunan uyğun güclər ardıcıllığı aşağıdakı natural sıranı təyin etməyə imkan verir.

Nəzəri çoxluq baxımından yanaşdıqda “ sıfır ” ədədi də miqdar xarakteristikası olur. Belə ki, “sıfır” ədədi bütün boş çoxluqlar sinfinin ümumi xassəsi olur. Bu halda n( ) = 0 yaza bilərik. Bütün boş çoxluqlar sinfini isə ilə işarə etsək və bu sinfi ona ekvivalent olmayan sonlu çoxluqlar ardıcıllığının hədlərinə soldan qoşsaq, ardıcıllığını alarıq. Onda uyğun güclər ardıcıllığı aşağıdakı kimi təyin olunar :

Beləliklə, eyni qayda ilə mənfi olmayan tam ədədlər ardıcıllığı da qurulmuş olur.

Qeyd edək ki, sonlu çoxluq anlayışını natural ədəd anlayışı vasitəsilə təyin etmək qaydasından tez – tez istifadə edirlər. Bu yanaşmada natural ədədi, “sayma zamanı istifadə olunan ədədlər natural ədədlər adlanır ” kimi xarakterizə etdikdə, onda sonlu çoxluğun elementlərini saymaq, bu sayı natural ədədlə ifadə etmək , həmçinin sayma anlayışının mahiyyətini aydınlaşdırmaq asanlaşır. Aydındır ki, bu zaman belə bir sual çıxır : “ Sayma prosesi nə deməkdir ? ”.

Tutaq ki, çoxluğunun elementlərinin sayını təyin etmək lazımdır. Bunu aşağıdakı kimi yerinə yetirə bilərik : Bu çoxluğun elementlərini soldan – sağa nəzərdən keçirək, ilk elementi qeyd edib ona birinci deyək, sonrakı elementi qeyd edək ona ikinci deyək və prosesi bu qayda ilə davam etdirək. Proses o vaxt başa çatır ki, bütün elementlər istifadə edilmiş olsun ( yəni qeyd edilməmiş element qalmasın). Lakin bu prosesdə onu da nəzərə almaq lazımdır ki, eyni element iki dəfə qeyd edilməməlidir. Deməli, çoxluğunun elementlərinin sayılması prosesi “ dördüncü” dedikdən sonra başa çatır. Onda bu zaman hökm edilir ki, çoxluğunun dörd elementi var. Beləliklə, çoxluğu üçün miqdar xarakteristikası alırıq. Aşkardır ki, bu miqdar xarakteristikasını almaq üçün biz sıra göstəririk, yəni “ birinci ” , “ ikinci”, “ üçüncü”, “ dördüncü” natural ədədlərindən istifadə edirik. Başqa sözlə, çoxluğundan istifadə etdik ki, bu çoxluq da natural ədədlər sırasının kəsiyi adlanır. Beləliklə, biz sayma prosesi üçün əhəmiyyətli olan “ natural sıranın kəsiyi ” anlayışından istifadə etdik ki, bu anlayış da sonlu çoxluqdur və natural ədəd vasitəsilə təyin olunur.

Tutaq ki, natural ədəddir.

Tərif : natural ədədini aşmayan bütün natural ədədlər çoxluğuna natural sıranın kəsiyi deyilir və kimi işarə edilir. Aşkardır ki, . Məsələn, .

Tərifdən aşkardır ki, natural sıranın kəsiyi elə sayda natural ədədlərdən ibarətdir ki, şərti ödənilsin. olduqda isə çoxluğu 1 ədədini hökmən özündə saxlayır.

Tərif : İxtiyarı çoxluğu ilə natural sıranın kəsiyi arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq varsa, onda çoxluğuna sonlu çoxluq deyilir. Bu zaman ədədinə çoxluğunun elementlərinin sayı deyilir və kimi işarə edilir.

Qeyd edək ki, çoxluğunun elementlərini sayma prosesində bu çoxluğun hər bir elementinə çoxluğundan yeganə ədəd uyğun qoyuldu, yəni çoxluğu ilə natural sıranın kəsiyi arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradıldı.

Tərif : çoxluğunun elementlərini saymaq çoxluğu ilə natural sıranın kəsiyi arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq deməkdir. Bu halda ədədi çoxluğunun elementlərinin sayı adlanır və miqdar göstərən natural ədəd olur . ədədi isə yeganədir.

Beləliklə, sonlu çoxluğun elementlərini sayma zamanı biz nəinki bu çoxluqda neçə elementin olduğunu tapırıq, həm də bu çoxluğun elementlərini müəyyən qayda(sıra) ilə düzürük, yəni bu çoxluğu nizamlayırıq. Bu halda aşkardır ki, biz “ birinci ”, “ikinci ” və s. sıra sayları ilə ifadə olunan sıra göstərən natural ədədlərdən istifadə edirik.Sonuncu mülahizələrdən nəticə çıxır ki,natural ədədlər yalnız “neçədir?” sualına deyil, həm də “sayca neçəncidir ?” sualına cavab verir.Başqa sözlə, natural ədədlər yalnız miqdar yox, həm də sıra göstərən ədədlərdir.

Tərif: Sonlu çoxluğun elementlərinin sayını bildirən natural ədədə miqdar sayı deyilir.Miqdar sayı ”neçə?”, ”nə qədər?” suallarına cavab verir.

Tərif: Elementləri müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş sonlu çoxluğun elementlərinin tutduğu yerin nömrəsini bildirən natural ədədə sıra sayı deyilir. Sıra sayları “neçənci?” sualına cavab verir.