Mirzo Ulug'bek nomidagi O'zbekiston milliy universiteti Jizzax filiali Amaliy matematika fakulteti Axborot tizimlari va texnologiyalari yo'nalishi

EYLER ALMASHTIRISHLARI
Eyler va Lagranj tenglamalari.
Eyler—Lagranj tenglamalari fizikaga aloqasi bo'lgan deyarli ham ­ ma hollarda nochiziqli differensial tenglamalar sistemasini tashkil qiladi. Bunday tenglamalarni integrallashning birdan bir usuli tenglamalarning (demak, sistemaning erkinlik darajasining) soniga teng bo'lgan harakat integrallarini topishdir. H ar bir harakat integrali bitta tenglamaning darajasini bittaga pasaytirib beradi, birinchi tartibli oddiy hosilali tenglamani esa, odatda, integrallash mumkin bo‘lib chiqadi.
Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar ham uchraydi.
(12)
ko’rinishdagi tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi, bu yerda o’zgarmas sonlar. Agar (12) tenglamada ni bilan almashtirsak tenglamaning ko’rinishi o’zgarmaydi. Demak, (12) tenglamada erkli o’zgaruvchini
(13)
almashtirish bilan kiritsak, u holda ni bilan almashtirishda tenglama o’zgarmaydi, ya’ni hosil bo’lgan yangi tenglama ni oshkor ko’rinishda saqlamaydi. Erkli o’zgaruvchini almashtirishda tenglama chiziqli tenglamaga o’tmaganligi uchun, biz o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tasdiqni hisoblashlar vositasida bevosita tekshirishimiz mumkin. Biz funksiyaning bo’yicha hosilalarini (13) formula bo’yicha bo’yicha hosilalari orqali ketma ket ifodalaymiz:
Biz ko’ramizki, bo’yicha olingan birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni qatnashgan ifodalar mos ravishda va ko’paytuvchilarga ega. Faraz qilaylik bo’yicha olingan tartibli hosila
ko’rinishga ega bo’lsin, bu yerda o’zgarmas sonlar. U holda
bo’yicha olingan tartibli hosila
ko’rinishga ega bo’ladi va yana qavs oldida ko’paytuvchi , qavslar ichida esa bo’yicha birinchi tartibli hosiladan boshlab tartibli hosilagacha ifodalarning chiziqli kombinatsiyalari joylashgan. Demak ko’rsatilgan xossa ixtiyoriy natural soni uchun isbotlandi. Biz hisoblangan hosilalarni (1) tenglamaga qo’ysak, har bir uchun ifodani ko’paytirishlozim bo’ladi va shu bilan birga ni o’zida saqlovchi ko’rsatkichli ko’paytuvchilar qisqaradi hamda o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi