A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van
Yüklə 3,22 Mb.
|
Mátrixanalízis 2/0/0/v/3Tárgyfelelős: Petz Dénes További oktatók:
Irodalom: Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997 Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997 Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976 Matrix analysis 2/0/0/v/3 Course coordinator: Dénes Petz Other instructors: Vector spaces and linear operators, Hilbert spaces, orthonormal basis, the matrix of a linear operator, matrix norms, self-adjoint and unitary matrices, localization of eigenvalues and singular values, pozitiv definite matrices, tensor product and Hadamard product, Schur theorem and applications, functional calculus, derivation, the exponential function, Lie-Trotter formula, matrix monotone functions, means of positive matrices, block-matrices, applications to differential equations, matrices with positive entries. References: Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997 Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997 Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976 Matematikai kémia 2/0/2/v/5 Tárgyfelelős: Tóth János További oktatók: Az alkalmazott matematikus néhány fontos eszköze Speciális függvények, Laplace-transzformáció, kvalitatív vizsgálatok, nemlineáris rendszerek, túl az elemi statisztikán, matematikai programcsomagok. Optimumszámítási modellek, differenciálegyenletek paramétereinek becslése. Modellekről: statikus és dinamikus, diszkrét és folytonos, sztochasztikus és determinisztikus, lineáris és nemlineáris modellek. A fizikai kémia problémái. A homogén reakciókinetika modelljei és problémái. Sztöchiometria: lineáris algebrai és számelméleti módszerek. Tömeghatás típusú kinetika: gráfokon értelmezett differenciálegyenletek. Egyensúly, oszcilláció, káosz. Érzékenységvizsgálat. Modellredukció. Sztochasztikus reakciókinetika: ugró Markov-folyamatok. Biokémiai alkalmazások, enzimkinetika, farmakokinetika, gyógyszeradagolás, gyógyszertervezés. Kvantitatív összefüggések molekulák szerkezete és hatása között. Kvantumkémiai alkalmazásokról. Neurobiológia. Reakció-diffúzió-modellek. Mintázatképződés kémiai, biológiai és közgazdasági modellekben. Irodalom: Bazsa Gy. (szerk.): Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben, Egyetemi jegyzet (Kézirat), Debrecen, Budapest, Gödöllő, 1992 Érdi, P., Tóth, J.: Mathematical Models of Chemical Reactions. Theory and Applications of Deterministic and Stochastic Models, Princeton University Press, Princeton, 1989 Feinberg, M.: Lectures On Chemical Reaction Networks (Lecture notes) http://www.che.eng.ohio-state.edu/~FEINBERG/LecturesOnReactionNetworks/ Farkas Miklós: Dynamical Models in Biology, Academic Press, New York, 2001 Murray, J. D.: Mathematical biology, Springer, 2004
Other instructors: A few tools of the applied matheamatician Special functions, Laplace transform, qualitative investigations, nonlinear systems, mathematical program packages, looking for the optimum, beyond elementary statistics, estimating the parameters of differential equations. Model types: static and dynamic, discrete and continuous, stochastic and deterministic, linear and nonlinear models. Problems of physical chemistry. Models and problems of homogeneous reaction kinetics. Stoichiometry: applied linear algebra and number theory. Mass action type kinetics: differential equations on graphs. Stationary points, oscillation, chaos. Sensitivity analysis. Reduction of models, lumping. Stochastic models of chemical reactions: Markovian pure jump processes. Applications in biochemistry, enzyme kinetics, pharmacokinetics, drug dosage and drug design. Quantitative structure activity relationships. Applying quantum chemistry. Neurobiological models. Reaction diffusion models. Pattern formation in chemical, biological and economic models. References: Érdi, P., Tóth, J.: Mathematical Models of Chemical Reactions. Theory and Applications of Deterministic and Stochastic Models, Princeton University Press, Princeton, 1989 Feinberg, M.: Lectures On Chemical Reaction Networks (Lecture notes) http://www.che.eng.ohio-state.edu/~FEINBERG/LecturesOnReactionNetworks/ Farkas Miklós: Dynamical Models in Biology, Academic Press, New York, 2001 Murray, J. D.: Mathematical Biology, Springer, 2004 Póta, Gy.: Mathematical Problems for Chemistry Students, Elsevier, 2006 Papers in the Journal of Mathematical Chemistry Operátorelmélet 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Nagy Béla További oktatók: Hilbert terek alapfogalmait ismertnek feltételezzük. Zárt és lezárható operátorok, a zárt gráf tétel. A spektrálelmélet alapjai zárt operátorokra. Zárt szimmetrikus és önadjungált operátorok. Szimmetrikus operátor és önadjungált kiterjesztése. Hermitikus forma által definiált operátorok. Zárt normális operátorok. Véges rangú és kompakt operátorok. Hilbert–Schmidt operátorok. Mátrix operátorok. Integrálás spektrál mértékre vonatkozóan. Zárt önadjungált operátorok spektrálfelbontása és spektrumának tulajdonságai. Normális operátorok spektrálfelbontása. Szimmetrikus operátorok kiterjesztései: defekt indexek és Cayley transzformáltak. Kiterjesztés a Hilbert tér bővítésével: Najmark tétele. Önadjungált kiterjesztések és spektrumaik. Analitikus vektorok. Önadjungált operátorok perturbációja. Scattering. Egyoldali eltolás operátora, Wold–Neumann felbontás. Kétoldali eltolás. Kontrakciók. Invariáns vektorok, kanonikus felbontás. Kontrakció izometrikus és unitér dilatációja. Operátorok Banach terekben. Holomorf függvények és kontúrintegrálok. Holomorf függvénykalkulus korlátos, ill. zárt operátorokra. Kompakt operátorok. A Riesz–Schauder elmélet. Nöther és Fredholm operátorok. Operátor félcsoportok Banach terekben. Lineáris rendszerek operátorelméleti alapjai. Banach algebrák. Spektrum. Holomorf függvénykalkulus. Ideálok. A Gelfand transzformáció. C*-algebra elemének spektruma. A Gelfand–Najmark kommutatív tétel. C*-algebrák reprezentációja. Irodalom: I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003 J. Weidmann: Linear operators in Hilbert space. Springer, Berlin, 1980 M. Birman and M. Solomyak: Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. Leningrad, 1980 (in Russian. There is also an English translation of the book). Theory of operators 3/1/0/v/5 Course coordinator: Béla Nagy Other instructors: The basic concepts of Hilbert spaces will be assumed to be known. Further: Closed and closable linear operators, closed graph theorem. The basics of the spectral theory for closed operators. Closed symmetric and self-adjoint operators. Symmetric operator and its self-adjoint extension. Operators defined by a Hermitian (sesquilinear) form. Closed normal operators. Finite rank and compact operators. Hilbert–Schmidt operators. Matrix operators. Integration with respect to a spectral measure. The spectral decomposition for closed self-adjoint operators and the properties of their spectra. The spectral decomposition of closed normal operators. The extensions of closed symmetric operators: deficiency indices and Cayley transforms. Extensions into a larger Hilbert space: theorem of M.Naimark. Self-adjoint extensions extensions and their spectra. Analytic vectors. Perturbation of self-adjoint operators. Scattering. The unilateral shift operator, Wold–Neumann decomposition. The bilateral shift. Contractions. Invariant vectors, canonical decomposition. Isometric and unitary dilation of a contraction. Operators in Banach spaces. Holomorphic functions and contour integrals. Holomorphic funtional calculus for bounded and for closed operators. Compact operators. The Riesz–Schauder theory. Noether and Fredholm operators. Semi-groups of operators in Banach spaces. The operator theoretic foundations of linear systems. Banach algebras. Spectrum. Holomorphic functional calculus. Ideals. The Gelfand transform. The spectrum of an element in a C*-algebra. The commutative Gelfand–Naimark theorem. Representation of C*-algebras. References: I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003
További oktatók: Motiváció: elektrosztatika. Dirichlet probléma, Brown mozgás. Logaritmikus potenciál: minimumelv, extremális mérték, egyensúlyi potenciál, mérték és potenciál kapcsolata. Súlyozott polinomok: súlyozott Fekete-pontok, transzfinit átmérő, Csebisev-polinom. Dirichlet probléma nem folytonos ill. nem korlátos peremfeltétellel. (Perron-Wiener-Brelot megoldás, súlyozott terek, harmonikus mérték.) Regularitási problémák, kisöprési mérték, Brown-mozgás és harmonikus mérték kapcsolata. Irodalom: D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996 V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991 J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984 O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929 H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World Scientific, 1996 (Szerk.) K. Nagy, Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981 T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994 E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields, Springer, 1997
Other instructors: Motivation: a little electrostatics, Dirichlet problem and Brownian motion. An extremal problem: logarithmic potential , Chebyshev constant and transfinite diameter. Electrostatics with external fields, weighted energy integral and potential. Equilibrium measure and the modified Robin constant. How to solve the Dirichlet problem, when the boundary conditions are not “nice”? Modified Poisson kernel with respect to singularities, lower semicontinuity, Perron-Wiener-Brelot solution, harmonic measure. Regularity, balayage, generalized Poisson integral. Brownian motion and harmonic measures. References: D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996 V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991 J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984 O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929 H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World Scientific, 1996 (Szerk.) K. Nagy, Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981 T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994 E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields, Springer, 1997 Inverz szórási feladatok 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Horváth Miklós További oktatók: A látás, a radar, az ultrahangos orvosi vizsgálat, a földkéreg szerkezetének kutatása, az elemi részecskék közti kölcsönhatások vizsgálata csak néhány példa inverz szórási feladatokra. A kurzus célja ezen problémák matematikai apparátusának bemutatása, bevezető jelleggel. A főbb témakörök: Időfüggő felépítés: hullámoperátor, szórási operátor, szórásmátrix. Időfüggetlen felépítés: szórásamplitúdó, Lippmann–Schwinger egyenlet. Dirichlet-to-Neumann operátor, Sylvester–Uhlmann alaptétel. Akusztikus szórás, elektromágneses szórás. Egy- és háromdimenziós kvantum szórási feladatok. A kvantummechanikai soktest-probléma. Irodalom: V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998 D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000 D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer, Berlin 1998 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979 K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989 Inverse scattering problems 2/0/0/v/3 Course coordinator: Miklós Horváth Other instructors: The seeing process, radar, ultrasound-based medical investigations, geological prospecting of the Earth, investigation of interactions between elementary particles are just a few examples of inverse scattering problems. The course aims to present the mathematical background of such problems, on an introductory level. The main topics include: Time dependent description: wave operator, scattering operator, scattering matrix. Time independent description: scattering amplitude, Lippmann-Schwinger equation, Dirichlet-to-Neumann map, Sylvester-Uhlmann theorem. Acoustic and electromagnetic scattering. One- and three-dimensional quantum scattering problems. The many-body problem. References: V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998 D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000 D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer Berlin 1998 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979 K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989 Nemlineáris hiperbolikus egyenletek 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Fritz József További oktatők: Tóth Bálint A megoldások megszakadásának és az unicitás megszűnésének jelensége, irreverzibilitás. A karakterisztikák módszere. Szakaszonként folytonos megoldások, lökéshullámok. Önhasonló megoldások és az entrópia-elv. A Burgers egyenlet Hopf–Lax–Oleinik megoldása. A viszkózus megoldás, Lax entrópia egyenlőtlensége. Kompenzált kompaktság. Gyenge konvergencia és Young mérték. Konvex függvények gyenge konvergenciája. Tartar és Murat alaptételei. DiPerna elmélete, a gázdinamika és a rugalmasságtan nemlineáris egyenletei. A hidrodinamika mikroszkopikus modelljei. Irodalom: J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983 L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002 Fritz J.: Hyperbolic Equations and Systems. www.math.bme.hu/jofri/oktat Nonlinear hyperbolic equations 2/0/0/v/3 Course coordinator: József Fritz Other instructors: Bálint Tóth Single conservation laws, the method of characteristics. The Burgers equation, shock waves, weak solutions. Hopf-Cole transformation, Hopf–Lax solution. The Oleinik entropy condition, convergence of the Lax–Friedrich scheme. Systems of conservation laws, the method of compensated compactness. Weak convergence and Young measures. Weak convergence of convex functions. Theorems of Tartar and Murat. DiPerna’s theorry. Nonlinear equations of gas dynamics and elasticity. Microscopic models of hydrodynamics. References: J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983 L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002 Fritz J.: Hyperbolic Equations and Systems. www.math.bme.hu/jofri/oktat Fraktálok és geometriai mértékelmélet 2/0/0/f/3 Tárgyfelelős: Simon Károly További oktatók: Bevezetés: Mértékelméleti és topológiai alapok ismétlése. Vitali lefedési tétele, Besicovitch lefedési tétele. Fraktálok a síkon és a térben: A legismertebb önhasonló és ön-affin halmazok. Box dimenzió és a Hausdorff dimenzió fogalma. Dimenzió kiszámítsa önhasonló fraktálokra. Hausdorff dimenzió potenciálelméleti karakterizációja. Mérték lokális dimenziója, önhasonló mértékek multifraktál analízise. Véletlen Cantor halmazok dimenziója és a Mandelbrot perkoláció. Brown mozgás mint véletlen fraktál. Egydimenziós Brown mozgás grafikonjának Hausdorff dimenziója. Többdimenziós Brown mozgás trajektoriájának dimenziója és Lebesgue mértéke. Véletlen fraktálos eszközökkel: Irodalom: E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998. K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985. K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005. K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997. Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995. P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995. K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967. Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001 Preprint. http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf
Other instructors: Introduction: Basics form general measure theory and from set theoretical topology. Covering and differerentiation. Vitali’s and Besicovitch’s covering theorems. Differentiation of measures. Fractals in space and on the plane: the most famous self similar and self-affine fractals. Box dimension and Hausdorff dimension. The dimension of self-similar fractals. Potential theoretic characterization of the Hausdorff dimension. Local dimension of measures. Multifractal analysis of self-similar measures. Dimension of random Cantor sets and Mandelbrot percolation. Brownian paths as random fractals. The dimension of the graph of the Brownian motion. The dimension and Lebesgue measure of Brownian paths in higher dimension. Intersection of independent Brownian paths starting from different points. A fractal geometry approach.
E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998. K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985. K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005. K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997. Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995. P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995. K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967. Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001. http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf Témalabor 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás. Individual projects 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Course coordinator: Márta Lángné Lázi Within the framework of the subject the student is working on an application oriented research subject based on stochastic mathematics lead by an external supervisor. At the end of each semester the student writes a report about his results which will be also presented by him to the other students in a lecture. The activities to be exercised: literature research, modelling, computer aided problem solving, mathematical problem solving. Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Tárgyfelelős: Szász Domokos A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni (i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését; (ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést. A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról. Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez. Mathematical modelling seminar 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Course coordinator: Domokos Szász The aim of the seminar to present case studies on results, methods and problems from applied mathematics for promoting
The speakers talk about problems arising in their work. They are either applied mathematicians or non-mathematicians, during whose work the mathematical problems arise. An additional aim of this course to make it possible for interested students to get involved in the works presented for also promoting their long-range carrier by building contacts that can lead for finding appropriate jobs after finishing the university. Operációkutatás szakirány tárgyai Courses of specialization in operations research Nemlineáris programozás 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Mádi-Nagy Gergely További oktatók Tóth Boglárka I. Optimalitás feltételei: Elsőrendű szükséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Másodrendű szükséges + elégséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Konvex (és konkáv) függvények tulajdonságai, minimalizálás és maximalizálás. Ponthalmaz leképezések, zártság, összetett leképezések, globális konvergencia-tétel. II. Vonal menti optimalizálás: Konvergencia-sebesség, Armijo szabály. Fibonacci, aranymetszés, Newton módszer vonal menti optimalizálásra. Görbe illesztéses algoritmusok, pontatlan vonal menti optimalizálás zártsága. III. Feltétel nélküli optimalizálás: Legmélyebb leszállás algoritmusa, Kantorovich egyenlőtlenség, konvergenciasebesség. Newton módszer. Koordinátánkénti minimalizálás, konvergencia és zártság, távolságtartó lépések. Konjugált irányok, kiterjeszkedő alterek. Konjugált gradiens módszer, optimalitása. A részleges konjugált gradiens módszer, konvergenciasebesség. Nem-kvadratikus problémák, Fletcher–Reeves, PARTAN Kvázi-Newton módszerek, legmélyebb leszállás és Newton módszer kombinációja. Legkisebb négyzetek módszere, Gauss–Newton és Levenberg–Marquardt algoritmus IV. Feltételek melletti optimalizálás: Tangens sík, regularitás - feltételek karakterizálása. Elsőrendű szükséges feltételek. Másodrendű szükséges és elégséges feltételek. Primál módszerek, megengedett irányok (Zoutendijk). Aktív halmaz stratégia, munkahalmaz, Langrange szorzók szerepe, érzékenység. Kuhn–Tucker tétel. Gradiensvetítés, lineáris feltételek esetén, nemlineáris feltételek esetén. A redukált gradiens módszer. Büntető és korlát függvények módszerei. Lokális dualitás tétel. Duál és metszősík módszerek. Lineáris komplementaritási feladat. A kvadratikus programozási feladat és a komplementaritási feladat kapcsolata. Belsőpontos algoritmusok.
D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, second edition, Addison Wesley, 1984. M.S Bazaraa, H.D.Sherali, C.M.Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993, E.deKlerk, C.Roos, T.Terlaky: Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás sorozat, No. 5., Aula kiadó Nonlinear programming 3/1/0/v/5 Course coordinator: Gergely Mádi-Nagy Other instructors: Boglárka Tóth I. Optimality conditions: first-order, second-order conditions (unconstrained optimization). Convexity, convex and concave functions. Point to set mappings, closed mapping, Global Convergence Theorem II. Line search algorithms: order and rate of convergence, Armijo’s rule. Fibonacci, harmonic division, Newton’s method. Curve-fitting algorithms. III. Unconstrained optimization: gradient method, Kantorovich-inequality, order of convergence. Newton’s method. Conjugate gradient method, Fletcher–Reeves, PARTAN, Quasi-Newton methods. Gauss–Newton és Levenberg–Marquardt algorithms IV. Constrained optimization: Constraint qualifications, First and Second Order Optimality Conditions. Primal methods, Zoutendijk’s algorithm. Lagrange multipliers, Kuhn–Tucker theorem. Gradient pojection, reduced gradient method. Penalty, Barrier, and Augmented Lagrangian Methods. Duality. Interior Point Methods. References: D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, second edition, Addison Wesley, 1984 M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993 E. de Klerk, C. Roos, T. Terlaky: Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás sorozat, No. 5., Aula kiadó Kombinatorikus optimalizálás 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Recski András További oktatók Hujter Mihály: Gráfelméleti algoritmuscsaládok (legrövidebb út, párosítás, hálózati folyamok, a PERT-módszer) átismétlése, nevezetes NP-teljes feladatok a gráfelméletben (pontszínezés, független pontok maximális száma, maximális klikk-méret, Hamilton-kör és -út létezése, az utazó ügynök problémája, irányított köröket lefogó maximális halmazok) és rokon területeken (az egészértékű programozás alapfeladata, a többtermékes folyamprobléma). A lineáris programozás dualitás tételének alkalmazásai, egészértékű programozás, kombinatorikus optimalizálási feladatok, totális unimodularitás: maximális összsúlyú teljes párosítás (optimal assignment), minimálköltségű folyamprobléma egytermékes hálózatban. Matroidok definíciója, bázis, kör, rang, dualitás, minorok. Grafikus és koordinátázható matroidok, Tutte és Seymour tételei. Orákulumok, mohó algoritmus, k-partíció és 2-metszet algoritmus, a 3-metszet probléma, polimatroidok. Polinomrendű algoritmusokkal megoldható nevezetes műszaki problémák: a) a villamos hálózatok klasszikus elméletében (ellenálláshálózatok egyértelmű megoldhatósága, gráfok kör- és vágásmátrixainak tulajdonságai, általánosítás passzív és/vagy nonreciprok hálózatokra), b) a nagybonyolultságú áramkörök tervezésében (egyetlen pontsor huzalozása a Manhattan-modellben, csatornahuzalozás a különféle modellekben, az éldiszjunkt modell alkalmazása) és c) a rúdszerkezetek merevségével kapcsolatos kérdésekben (merevség, infinitezimális merevség, genetikus merevség, Laman tétele, Lovász és Yemini algoritmusa, a síkbeli rúdszerkezetek minimális számú csuklóval való lefogásának problémája, négyzetrácsok merevítésének kombinatorikus kérdései). Irodalom: Jordán Tibor, Recski András és Szeszlér Dávid: Kombinatorikus optimalizálás, Typotex Kiadó, Budapest, 2004 Combinatorial optimization 3/1/0/v/5 Course coordinator: András Recski Other instructors: Mihály Hujter Basic concepts of matroid theory (independence, bases, circuits, rank). Dual, minors, direct sum, graphic and cographic matroids. Vector matroids, representability, binary and regular matroids, the theorems of Tutte and Seymour. Sum of matroids, the matroid partition algorithm, complexity of the matroid intersection problem. Polymatroid rank function, Lovasz' theorem on polymatroid matching. Approximation algorithms. Scheduling problems. Applications in engineering (constructing reliable telecommunication networks, (disjoint trees, connectivity augmentation), detailed routing of VLSI circuits, solvability of active linear networks, rigidity of bar-and-joint frameworks). Reference: Jordán Tibor, Recski András és Szeszlér Dávid: Kombinatorikus optimalizálás, Typotex Kiadó, Budapest, 2004 Sztochasztikus programozás 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Szántai Tamás További oktatók Mádi-Nagy Gergely Statisztikai döntési elvek. Pétervári probléma, Bernoulli-elv és az újságárus probléma, holland gátmagasítási probléma, ‘safety first’ elv, Marschak döntési elv, a Bayes-i döntési elv, Markowitz elv, játékelmélet, Neumann János tétele. Konvexitási tételek. A logkonkáv mértékek elmélete. Általános konvexitási tételek. Valószínűségi eloszlásfüggvények konkávitási és kvázi-konkávitási tételei. Statikus sztochasztikus programozási modellek. Valószínűség maximalizálás. Egyedi, illetve együttes valószínűségi korlátokat tartalmazó sztochasztikus programozási feladatok elmélete és megoldási módszerei. Feltételes várható értéket tartalmazó modellek. Véletlen célfüggvényes modellek. Büntetéses sztochasztikus programozás elmélete és speciális esetekre vonatkozó megoldási módszerei: diszkrét eloszlás, egyenletes eloszlás esete. Dinamikus sztochasztikus programozási modellek. Kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat és matematikai tulajdonságai. Diszkrét valószínűségi vektorváltozóra vonatkozó kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat megoldása bázis dekompozíciós módszerrel. A Wets-féle , ‘L-shaped’ megoldási módszer. A sztochasztikus dekompozíció és a feltételes sztochasztikus dekompozíció módszere. Sztochasztikus kvázi-gradiens módszerek. Többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok. Bázis dekompozíció és ‘L-shaped’ megoldó módszer a többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok esetében. A sztochasztikus programozás néhány alkalmazása. Elektromos energia véletlen hatások melletti termelése és kapacitás bővítése. Erőművi megbízhatósági elemzések. Tó vízkészlet szabályozása. Tározók optimális irányítása. A PERT probléma. Pénzügyi modellek.
A. Prékopa: Stochasztic Programming, Kluwer Academic Publishers, Budapest, 1995 Stochastic programming 3/1/0/v/5 Course coordinator: Tamás Szántai Other instructors: Gergely Mádi-Nagy Statistical decision principles. Petersburg's problem. Bernoulli-principle and the newsboy's problem, Dutch dike heightening problem, ‘safety first’ principle, Marschak's decision principle, the Bayesian decision principle, Markowitz's principle, game theory, Neumann's theorem. Convexity theorems. The theory of logconcave measures. General convexity theorems. Concavity and logconcavity of multivariate probability distribution functions. Statical stochastic programming models. Maximalizing the probability. Single and joint probabilistic constraints in the stochastic programming problems, solution methods. Models containing conditional expected values. Models with random objective functions. Penalty models of stochastic programming and their solution techniques: cases of discrete and uniform probability distributions. Dynamical stochastic programming models. Two stage stochastic programming problem and its mathematical properties. Basis decomposition technique for the solution of two stage stochastic problems with discrete probability distributions. ‘L-shaped’ solution method by Wets. Stochastic decomposition and conditional stochastic decomposition. Stochastic quasigradient methods. Multi stage stochastic programming problems. The basis decomposition and the ‘L-shaped’ method in the case of multi stage stochastic programming problems. Some applications of stochastic programming. Production of electrical energy with random effects, capacity expanding. Reliability analysis of power-plants. Water level regulation of a lake. Optimal control of water reservoirs. The PERT problem. Financial models.
A. Prékopa: Stochasztic Programming, Kluwer Academic Publishers, Budapest, 1995 Operációkutatási programrendszerek 0/0/2/f/2 Tárgyfelelős: Szántai Tamás További oktatók Tóth Boglárka A tantárgy célja kettős, egyrészt hogy az operációkutatás egyszerűbb algoritmusai számítógépes kódjának az elkészítésével a hallgatók számítógépes programozói gyakorlatra tegyenek szert, másrészt hogy jártasságot szerezzenek a kész operációkutatási szoftverek használatában. A lineáris programozási feladatok standard leírási módja, az MPS adatformátum, illetve a legfontosabb algebrai modellezési nyelvek (GAMS, AMPL, AIMMS) és az azokhoz kapcsolt lineáris, egészértékű, nemlineáris és sztochasztikus programozási szoftverek (CPLEX, MINOS, SNOPT, LOQO, LGO) ismertetése. Irodalom: I. Maros: Computational Techniques of the Simplex Method, Kluwer Academic Publishers, 2003 J. D. Pintér: Global Optimization in Action, Continuous and Lipschitz Optimization: Algorithms, Implementations and Applications, Kluwer Academic Publishers, 1996
Other instructors: Boglárka Tóth The aim of this course is twofold. On the one hand it aims to advance the student's routine in programming by coding the basic algorithms of operations research. On the other hand its goal is to give perfection in the use of operations research software. The standard description of linear programming problems, the MPS data structure, and the most important algebraic modelling languages (GAMS, AMPL, AIMMS). Introduction and usage of the most important software packages in linear, integer, non-linear, and stochastic programming (CPLEX, MINOS, SNOPT, LOQO, LGO). References: I. Maros: Computational Techniques of the Simplex Method, Kluwer Academic Publishers, 2003 J. D. Pintér: Global Optimization in Action, Continuous and Lipschitz Optimization: Algorithms, Implementations and Applications, Kluwer Academic Publishers, 1996
További oktatók: Irányítási rendszerek fogalma, példák irányítási rendszerekre. Lineáris rendszerek tulajdonságai: irányíthatóság, megfigyelhetőség, stabilizálhatóság. Kanonikus alakok, lineáris rendszerek struktúrája. Állapotmegfigyelők. Realizáció. Optimális irányítási feladat. Dinamikus programozás véges feladatra. Dinamikus programozás általános rendszerre. A Hamilton–Jacobi–Bellman egyenlet. Lineáris-kvadratikus feladat. A pályakövetés feladata. Végtelen időintervallumon tekintett feladat. Irodalom: E. D. Sontag: Mathematical Control Theory, 2nd ed. (1998) Gyurkovics Éva: Irányítási rendszerek, http://www.math.bme.hu/~gye/OktAny.htm
Other instructors: Basic notions of control systems. Examples of control systems. Properties of linear control systems: controllability, observability, stabilizability. Canonical forms, structure of linear systems. State observes. Realization. The problem of optimal control. Dynamic programming for finite control systems. Dynamical programming for general control systems. Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Linear-quadratic optimal control problems. The tracking problem. Problems on infinite time intervals. References: E. D. Sontag, Mathematical Control Theory, 2nd ed. (1998) Gyurkovics Éva: Irányítási rendszerek, http://www.math.bme.hu/~gye/OktAny.htm
További oktatók: A hagyományosan statikus közgazdaságtan az utóbbi évtizedekben egyre nagyobb figyelmet fordít a dinamikus közgazdaságtani modellezésre. A fizikához és a biológiához képest itt sokkal fontosabb a diszkrét idejű rendszerek elemzése. A dinamikus optimalizálás nemcsak technika, hanem sokak számára az egyedül lehetséges közgazdasági megközelítés. A téma további megkülönböztető sajátossága, hogy a várakozásokon keresztül nemcsak a múlt, de a jövő(kép) is befolyásolja a jelent. A tantárgy a szükséges matematikai eszközök mellett nagy súlyt helyez a legfontosabb közgazdasági modellek ismertetésére: optimális növekedés, együttélő korosztályok. A tárgy felépítése: Lineáris differenciaegyenletek: készletjelzéses szabályozás Nemlineáris differenciaegyenletek: stabilitás, ciklus és káosz Differenciálegyenletek: növekedési modell, árigazodási modell Dinamikus programozás: optimális halászat Optimális folyamatok: optimális növekedés és felhalmozás Együttélő nemzedékek modelljei Együttélő korosztályok modelljei
Simonovits, A.: Matematikai módszerek a dinamikus közgazdaságtanban, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1998 Introduction into economic dynamics 3/1/0/v/5 Course coordinator: András Simonovits Other instructors: The traditionally static economic theory has recently paid more and more attention to modelling dynamic economics. In comparison with physical and chemical systems, here the role of discrete time approach is much more important. The dynamic optimization is not only a technique but for many economists, it is the only valid approach. A further distinguishing feature that the present is determined not only by the past, by via expectations, by the future as well. In addition of the exposition of the necessary mathematical methods, the course stresses the most important economic models: optimal growth and overlapping generations. Reference: Simonovits, A.: Matematikai módszerek a dinamikus közgazdaságtanban, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1998 Játékelmélet 2/0/0/f/3 Tárgyfelelős: Simonovits András További oktatók: A tárgy bevezetést nyújt a játékelméletetbe, különösen annak nem-kooperatív változatába. A játékelmélet olyan gazdasági, politikai, katonai stb. helyzeteket modellez, ahol több szereplő optimalizálja a célfüggvényét, amely értéke a többi szereplő döntésétől is függ. A játékelmélet napjainkban a közgazdaságtan alaptudományává válik, amely segítséget nyújt a monopolhelyzetek modellezéséhez, az optimális árverés rendszerének kidolgozásához és még sok más kérdés megválaszolásához. Az előadások szerkezete a következő: Nem kooperatív játékelmélet Nash egyensúly Tökéletes egyensúly Bayes-i egyensúly
Tirole, J. (1988): The Theory of Industrial Organization, Chapter 11, MIT Press, Cambridge, MA. Game theory and econometrics 2/0/0/f/3 Course coordinator: András Simonovits Other instructors: Introduction into Game theory, especially into its non-cooperative variant. Game theory models such economic, political, military etc situations where more than one actor optimizes his utility function, whose value also depends on the others’ decisions. By now game theory has become the fundament of economics, which helps modelling monopoly, the design of auctions and other problems. The structure of the lectures is as follows: Non-cooperative game theory (Nash-equilibrium, Bayesian equilibrium). Cooperative game theory: Shapley value. Introduction into econometrics. Bivariate connections: linear regression, least-square (LS) estimation and its statistical properties. Theorem of Gauss–Markov, forecast. Multivariate linear regression, generalized LS, multicollinearity. Time series analysis. Applications: financial markets, biological data analysis.
Tirole, J. (1988): The Theory of Industrial Organization, Chapter 11, MIT Press, Cambridge, MA. Ökonometria 0/0/2/f/2 Tárgyfelelős: Simonovits András További oktatók: Orlovits Zsanett Kétváltozós kapcsolatok: lineáris regresszió, legkisebb négyzetes (LS) becslés és statisztikai tulajdonságai, Gauss-Markov tétel, predikció. Többváltozós lineáris regresszió korrelálatlan, azonos szórású hiba, illetve általános hibafolyamat esetén, általános Gauss-Markov tétel, előrejelzés, multi-kollinearitás. Általánosított LS módszer, speciális esetek (autokorrelált zaj, nem azonos szórású korrelálatlan zaj), segédváltozók (IV) módszere. Idősorok elemzése: stacionaritás, autokorreláció, fehérzaj folyamat, speciális modellek (lineáris szűrők, autoregresszív (AR) folyamat, mozgóátlag (MA) folyamat, ARMA folyamatok). Paraméterbecslés (ML-becslés), előrejelzés. Integrált és kointegrált folyamatok (ARIMA modellek), trend, szezonalitás. Spektrálreprezentáció, periodogram és becslése, spektrum becslése. Többváltozós modellek: VAR(1) folyamatok, n-dimenziós ARMA folyamatok, stacionaritás, stabilitás, Lyapunov egyenlet. Frakcionálisan integrált folyamatok, ARFIMA modellek, hosszú emlékezetű folyamatok és becslésük. Sztochasztikus volatilitás modellek: ARCH és GARCH folyamatok, bilineáris folyamatok és jellemzőik, stacionaritás, paraméterbecslés, állapottér reprezentáció. Alkalmazások: pénzpiaci hozamok idősorának vizsgálata, biológiai adatok elemzése. Irodalom: Tusnády G. - Ziermann M.: Idősorok analízise, Műszaki, 1986 Ramu Ramanathan: Bevezetés az ökonometriába, PANEM, Budapest, 2003 G.E.P Box and G.M. Jenkins: Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden Day, 1970 Econometrics 0/0/2/f/2 Course coordinator: András Simonovits Other instructors: Zsanett Orlovits Introduction into econometrics. Bivariate connections: linear regression, least-square (LS) estimation and its statistical properties. Theorem of Gauss–Markov, forecasting. Multivariate linear regression, generalized Gauss-Markov theorem, forecasting, multicollinearity. Generalized LS, methods of instrumental variables. Time series analysis: stationarity, autocorrelation, white noise process, AR, MA, ARMA models. Parameter estimation (ML-estimation), forecasting. ARIMA models, trend and seasonality. Spectral representation, periodogram and its estimation, spectrum estimation. Multivariable models: VAR(1), ARMA, stationarity, stability, Lyapunov equation. Fractional integrated processes, ARFIMA models, long memory processes and their estimation. Stochastic volatility models: ARCH, GARCH, bilinear models, stationarity, estimation and state space representation. Applications: financial markets, biological data analysis. References: Tusnády G. - Ziermann M.: Idősorok analízise, Műszaki, 1986 Ramu Ramanathan: Bevezetés az ökonometriába, PANEM, Budapest, 2003 G.E.P Box and G.M. Jenkins: Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden Day, 1970 Témalabor 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás. Individual projects 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Course coordinator: Márta Lángné Lázi Within the framework of the subject the student is working on an application oriented research subject based on stochastic mathematics lead by an external supervisor. At the end of each semester the student writes a report about his results which will be also presented by him to the other students in a lecture. The activities to be exercised: literature research, modelling, computer aided problem solving, mathematical problem solving. Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Tárgyfelelős: Szász Domokos A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni (i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését; (ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést. A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról. Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez. Mathematical modelling seminar 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Course coordinator: Domokos Szász The aim of the seminar to present case studies on results, methods and problems from applied mathematics for promoting
The speakers talk about problems arising in their work. They are either applied mathematicians or non-mathematicians, during whose work the mathematical problems arise. An additional aim of this course to make it possible for interested students to get involved in the works presented for also promoting their long-range carrier by building contacts that can lead for finding appropriate jobs after finishing the university. Pénzügy-matematika szakirány tárgyai Courses of specialization in financial mathematics Nemparaméteres statisztika 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Györfi László További oktatók: Bolla Marianna Sűrűségfüggvény-becslés: Eloszlásbecslés, L1 hiba. Hisztogram. Magfüggvényes becslés. Regressziófüggvény-becslés.: Négyzetes hiba. Regbressziófüggvény. Partíciós, magfüggvényes, legközlebbi szomszéd becslés. Empirikus hibaminimalizálás. Alakfelismerés: Hibavalószínűség. Bayes döntés. Partíciós, magfüggvényes, legközelebbi szomszéd módszer. Empirikus hibaminimalizálás. Portfólió-stratégiák: Log-optimalitás, empirikus portfólió-stratégiák. Tranzakciós költség. Irodalom: L. Devroye, L. Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley. Russian translation: Mir, 1988 L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer, New York L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York Nonparametric statistics 2/0/0/v/3 Course coordinator: László Györfi Other instructors: Marianna Bolla Density function estimation. Distribution estimation, L1 error. Histogram. Estimates by kernel function. Regression function estimation. Least square error. Regression function. Partition, kernel function, nearest neighbour estimates. Empirical error minimization. Pattern recognition. Error probability. Bayes decision rule. Partition, kernel function, nearest neighbour methods. Empirical error minimization. Portfolio strategies. Log-optimal, empirical portfolio strategies. Transaction cost.
L. Devroye, L. Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley. Russian translation: Mir, 1988 L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer, New York L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York Statisztikai programcsomagok 2 0/0/2/f/2 Tárgyfelelős: Sándor Csaba További oktatók: Bolla Marianna, Vetier András A kurzus célja a statisztika modern számítógépes eszközeinek áttekintése a szükséges elméleti háttér ismertetésével. 1. SPSS használata programmódban. Felhasználói programrészletek írása. A programok outputjainak értelmezése (az ott fellépő statisztikák jelentése és angol elnevezése) és ennek megfelelően a paraméterek beállítása. 2. S+ és R programcsomag használata és az SPSS-ben nem található új algoritmikus modellek áttekintése (bootstrap, jackknife, ACE). 3. Konkrét alkalmazás: Egy konkrét adatrendszer részletes elemzése S+-ban. Irodalom: K. V. Mardia, J. T. Kent, M. Bibby: Többváltozós analízis, angolul, Academic Press, New York, 1979 Ketskeméty, L., Izsó, L., Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Kiadó, Budapest, 2005 S+ vagy R Felhasználói útmutató (a programcsomaggal együtt letölthető) Statistical program packages 2 0/0/2/f/2 Course coordinator: Csaba Sándor Other instructors: Marianna Bolla, András Vetier The goal of the course is to provide an overview of contemporary computer-based methods of statistics with a review of the necessary theoretical background. 1. How to use the SPSS (Statistical Package for Social Sciences) in program mode. Writing user’s macros. Interpretation of the output data and setting the parameter values accordingly. Definition and English nomenclature of the dispalyed statistics. 2. Introduction to the S+ and R Program Packages and surveying the novel algorithmic models not available in the SPSS (bootstrap, jackknife, ACE). 3. Practical application. Detailed analysis of a concrete data set in S+. References: Mardia, K. V., Kent, J. T., Bibby, M., Multivariate analysis, Academic Press, New York, 1979 Ketskeméty, L., Izsó, L., Introduction to the SPSS Program Package, in Hungarian, ELTE Publishers, Budapest, 2005 S+ or R User's Guide (together with the program package) Markov-folyamatok és martingálok 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Balázs Márton További oktatók: Fritz József, Tóth Bálint 1. Martingálok: Ismétlés (Feltételes várható érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció, maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.). Martingálok konvergenciahalmazai, a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál). Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök probléma) 2. Markov láncok: Ismétlés (definíciók, állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök. 3. Felújítási folyamatok: Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet. Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási paradoxon. Sorbanállási alkalmazások 4. Pontfolyamatok: Pontfolyamatok definíciója. Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi (jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok 5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: Ismétlés (generátor, kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós valószínűségek és elérési idők. Martingálok alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken Irodalom: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
Other instructors: József Fritz, Bálint Tóth 1. Martingales: Review (conditional expectations and tower rule, types of probabilistic convergences and their connections, martingales, stopped martingales, Doob decomposition, quadratic variation, maximal inequalities, martingale convergence theorems, optional stopping theorem, local martingales). Sets of convergence of martingales, the quadratic integrable case. Applications (e.g. Gambler's ruin, urn models, gambling, Wald identities, exponential martingales). Martingale CLT. Azuma-Höffding inequality and applications (e.g. travelling salesman problem) 2. Markov chains: Review (definitions, characterization of states, stationary distribution, reversibility, transience-(null-)recurrence). Absorbtion probabilites. Applications of martingales, Markov chain CLT. Markov chains and dynamical systems; ergodic theorems for Markov chains. Random walks and electric networks 3. Renewal processes: Laplace transform, convolution. Renewal processes, renewal equation. Renewal theorems, regenerative processes. Stationary renewal processes, renewal paradox. Examples: Poisson process, applications in queueing 4. Point processes: Definition of point processes. The Poisson point process in one and more dimensions. Transformations of the Poisson point process (marking and thinning, transforming by a function, applications). Point processes derived from the Poisson point process. 5. Discrete state Markov processes: Review (infinitesimal generator, connection to Markov chains, Kolmogorov forward and backward equations, characterization of states, transience-(null-)recurrence, stationary distribution). Reversibility, MCMC. Absorption probabilities and hitting times. Applications of martingales (e.g. compensators of jump processes). Markov processes and dynamical systems; ergodic theorems for Markov processes. Markov chains with locally discrete state space: infinitesimal generator on test functions References: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
További oktatók: Fritz József, Szabados Tamás, Tóth Bálint Bevezetés, ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint, integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós sztochasztikus integrál. Lokális idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel. Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel. Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés, tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele. Sztochasztikus differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség, nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában, populáció dinamikában, gazdaságtudományban. Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok, geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok. Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport. A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula. Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula. Egydimenziós diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra. Speciális kiegészítő fejezetek: Brownian excursion, kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok additív funkcionáljai. Irodalom: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 válogatott cikkek, előadó jegyzetei Stochastic differential equations 3/1/0/v/5 Course coordinator: Balázs Székely Other instructors: József Fritz, Tamás Szabados, Bálint Tóth Introduction. Itô integral with respect to the Wiener process and continuous martingale, multi-dimensional stochastic integral. Local time. Local time of random walks on the line. Inverse local time, discrete Ray–Knight theorem. Local time of Brownian motion and Ray–Knight theorem. Tanaka formula and its applications. Skorohod reflection, reflected Brownian motion, a theorem by P. Lévy. Stochastic differential equations. SDEs of diffusions: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponential Brownian motion. SDE of transformed diffusions. Weak and strong solutions, existence and uniqueness. SDE with boundary conditions. Interpretation of the infinitesimal generator. Applications to physics, population dynamics, and finance. Duffusions. Basic examples: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, geometrical Brownian motion. Interpretation as stochastic integrals, and Markov processes. Infinitesimal generator, stochastic semi-groups. Martingale problem. Connection with parabolic and elliptic partial differential equations. Feyman–Kac formula. Time-change. Cameron–Martin–Girsanov formula. One-dimensional diffusions. Scale function and speed measure. Boundary conditions. Time-inversion. Application to special processes. Special selected topics. Brownian excursion. Two-dimensional Brownian motion, Brownian sheet. SLE. Additive functionals of Markov processes. References: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 selected papers, lecture notes Pénzügyi folyamatok 2/0/0/f/3 Tárgyfelelős: Székely Balázs További oktatók: Fritz József Diszkrét modellek: optimális parkolás, stratégia kedvező és kedvezőtlen helyzetben. Önfinanszírozó stratégiák, arbitrázsmentes piacok, teljesség. Amerikai, európai, ázsiai opciók. Ismétlés: bináris modell, martingál módszer. Diszkrét modellben nem teljes piac árazása. Black és Scholes elmélete: martingál mérték, Itô-féle reprezentációs tétel. Black-Scholes modell alkalmazásai, megengedett stratégiák. Tőkeárazási modellek (CAPM). Portfóliók fajtái, értékpapírpiaci egyenes, tőkepiaci egyenes, piaci egyensúly, tőkepiaci egyensúly. Opciók árazása GARCH modellekkel. Az optimális befektetések problémája. Extrémérték elmélet, maximumok eloszlása, rekordok eloszlása.
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications, Springer, New York, 2001. Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja, Records, John Wiley and Sons, 1998. Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat előadó jegyzetei, cikkek
Other instructors: József Fritz Discrete models. Optimal parking, strategy in advantageous and disadvantageous situations. Self-financing portfolio, arbitrage, completeness of a market model. American, European, Asian option. Binary model. Pricing non-complete market in discrete model. Balck–Scholes' theory: B-S formula via martingales. Itô representation theorem. Applications, admissible strategies. Capital Asset Pricing Model (CAPM). Portfolios. The beta coefficient, security market line, market and capital-market equilibrium. Option pricing by using GARCH models. Problems of optimal investments. Extreme value theory, maxima, records.
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications, Springer, New York, 2001. Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja, Records, John Wiley and Sons, 1998. Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat selected papers, lecture notes
További oktatók: Optimális stratégiák, diszkrét modellek. A dinamikus programmozás alapelve. Kedvezőtlen és kedvező játékok, merész és óvatos stratégiák. Optimális parkolás, nagybeszerzés tervezése. Lagrange mechanika, Hamilton-Jacobi egyenlet. Viszkózus közelítés, Hopf-Cole transzformáció, a Hopf-Lax féle infimum-konvoluciós formula. Determinisztikus optimális kontroll, optimális beruházás stratégiája, az általános Hamilton-Jacobi egyenlet viszkózus megoldásai. Pontrjagin maximum elve, feltételes szélséreték keresése függvénytérben. Sztochasztikus modellek optimális kontrollja, a Hamilton-Jacobi-Bellman egyenlet. Irodalom: Pénzügyi matematika, www.math.bme.hu/~jofri L.C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence, R.I., 1998. Dynamic programing in financial mathematics 2/0/0/v/3 Course coordinator: József Fritz Other instructors: Optimal strategies, discrete models. Fundamental principle of dynamic programing. Favourable and unfavourable games, brave and cautious strategies. Optimal parking, planning of large purchase. Lagrangean mechanics, Hamilton-Jacobi equation. Viscous approximation, Hopf-Cole transformation, Hopf-Lax infimum-convolution formula. Deterministic optimal control, startegy of optimal investment, viscous solutions of generalized Hamilton-Jacobi equations. Pontryagin’s maximum principle, searching conditional extreme values in function spaces. Optimal control of stochastic systems, Hamilton-Jacobi-Bellman equation. References: Financial mathematics, www.math.bme.hu/~jofri L.C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence, R.I., 1998. Extrémérték elmélet 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Barabás Béla További oktatók: Centrális határeloszlás tételek áttekintése, normális eloszlás vonzási tartománya, stabilis eloszlások, alfa-stabil eloszlások vonzási tartománya, Max-stabilis eloszlások, Fisher-Tippet tétel, Standard extrémérték eloszlások, Poisson approximáció, maximum vonzási tartománya, általános extrémérték eloszlások, reguláris változású függvények és tulajdonságaik, Frechet és Weibull eloszlások maximum vonzási tartományának karakterizációja. Gumbel eloszlás. Általánosított Pareto eloszlás. A többlet határeloszlása. Paraméter becslési módszerek, gazdasági, pénzügyi alkalmazások. Irodalom: A. J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management Priceton University Press, 2005. B.C. Arnold, N. Balakrishnan, H.N.Nagaraja: Records John Wiley and Sons
Other instructors: Review of the limit theorems, normal domain of attraction, stable low of distributions, alpha-stable domain of attractions. Max-stable distributions, Fisher-Tippet theorem, standard extreme value distributions, regularly varying functions and their properties, Frechet and Weibull distributions and characterization of their domain of attraction. Gumbel distribution. Generalized Pareto distribution. Peak over threshold. Methods of parameter estimations. Applications in economy and finance. References: A. J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management Priceton University Press, 2005 B.C. Arnold, N. Balakrishnan, H.N.Nagaraja: Records John Wiley and Sons
Yüklə 3,22 Mb. Dostları ilə paylaş:
|
-ban (k>1) különböző kezdőpontból indított független Brown mozgások trajektóriái lehetséges metszetének vizsgálata.