Adil Əliyev – İnf – 11, Furye sıraları

Əmsalların Eyler-Furye metodu ilə təyini
2π periodlu funksiyasının triqonometrik ayrılışını qurmaq üçün

əmsallarını əsaslandırmaq lazımdır. Bu əmsalların tapılma qaydasını XVIII əsrin ikinci yarısında

Eyler və ondan asılı olmayaraq XIX əsrin əvvəlində Furye vermişdir.

Tutaq ki, xüsusi və qeyri xüsusi mənada funksiyası aralığında inteqrallanandır; nəhayət funksiya mütləq inteqrallanandır. (5) ayrılışını –π –dən π-yə qədər hissə-hissə inteqrallasaq, aşağıdakını alarıq:

.
Asanlıqla görmək olar ki,
(6)

Cəm işarəsi altında olan bütün hədlər sıfra bərabərdir.Beləliklə aşağıdakı bərabərliyi alırıq:

(7)
əmsalının qiymətini tapmaq üçün (5) bərabərliyinin hər iki tərəfini cos mx-ə vurub sonra

həmin aralıqda hissə-hissə inteqrallasaq, aşağıdakını alarıq :

Birinci hədd (6) şəkilli silinir. Sonra alırıq:
(8)

(9)
Burada , nəhayət

(10)

Beləliklə, surətdə əmsalı olan inteqrallardan başqa cəm işarəsi altında olan bütün inteqrallar sıfra çevrilir . Buradan da həmin əmsal tapılır:

(m=1,2,3,...). (11)
Anoloji olaraq, (5) ayrılışını əvvəlcədən -ə vurub, sonra hədbəhəd inteqrallasaq, sinus-a uyğun əmsalları taparıq:

(12)
(6) və (8)-dən əlavə asanlıqla aşağıdakı münasibətə əsaslanmaq olar:
burada (13)

və

(14)

(7), (11) və (12) düsturları Eyler-Furye düsturları , bu düsturla tapılan əmsallar bu funksiyanın Furye əmsalları, onların köməyi ilə qurulan (5) triqonometrik sıraları Furye sıraları adlanır.

Aparılan mühakimələrdən hansı nəticələr əldə edildiyini araşdıraq.Biz gördük ki, (5) triqonometrik ayrılışının mümkünlüyünü qəbul etsək, onun həqiqiliyi haqqında sual açıq qalır.

Eyler və Furye misalının köməyi ilə (5) ayrılışındakı əmsalların tapılması fikri düzgün həyata keçirilirmi? Biz burada təkrar olaraq sıranı hissə-hissə inteqralladıq, bu isə həmişə mümkün olmaya bilər.Bunun tətbiq olunması üçün sıranın müntəzəm yığılması əsas şərtdir.Ona görə də aşagıdakı mühakimə doğrudur:

Əgər 2π periodlu funksiyası yığılan (5) triqonometrik sıralarına ayrılırsa, sonuncu Furye sıralarına ayrılması zəruri olacaq.

Əgər müntəzəm yığılmanı əvvəlcədən qəbul etsək, onda funksiyanın yalnız Furye sıralarına ayrılması fikri sübut olunmayacaq. Bu mülahizənin hansı mənası var?Bu mülahizə belə bir fikrə gətirib çıxarır ki, verilmiş funksiyanın triqonometrik ayrılışını tapmaq üçün Furye sıralarından başlamaq lazımdır,bu işi elə qurmaq tələb olunur ki, müəyyən şərtlə məhz verilən funksiyaya yığılsın.Hələ ki, bu iş görülmədiyindən , verilmiş funksiyasının Furye sıralarına formal baxmaq olar.Lakin biz onu təsdiq edə bilmərik, bundan başqa o funksiyasından “törənib“.

Bu əlaqəni belə vermək olar:
~ (5a)