Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar



Yüklə 0,52 Mb.
səhifə7/8
tarix01.01.2022
ölçüsü0,52 Mb.
#107332
1   2   3   4   5   6   7   8
Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-�

1-teorema. Agar

  1. f(x) va g(x) funksiyalar (a-δ;a)(a;a+δ), bu erda δ>0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)0, g‘(x)0;

  2. lim f ( x ) = lim g( x ) = 0;

xa xa

  1. hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) lim f'( x ) =A xa g'( x )

mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim f ( x ) mavjud va xa g( x )

lim f ( x ) =lim f'( x ) (2.1) xa g( x ) xa g'( x )

tenglik o‘rinli bo‘ladi.



Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim f(x)=0=f(a), lim g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli

xa xa bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda xδ, kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a

bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f ( x )f ( a ) = f'( c ) tenglik g( x )g( a ) g'( c )

o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan



f ( x ) = f'( c ) (2.2) g( x ) g'( c )

bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a bo‘lganligi sababli, xa bo‘lganda ca bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan lim f ( x ) =lim f'( x ) =A kelib xa g( x ) xa g'( x )

chiqadi.

Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.



Misol. Ushbu xlim→2 xln(2 +x32x310) limitni xisoblang.

Yechish. Bu holda f ( x ) = ln( x2 − 3), g( x ) = x2 + 3x −10 bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham,

  1. lim f ( x ) = limln( x2 −3) = ln1= 0, lim g( x ) = lim( x2 +3x −10 ) = 0; x→2 x→2 x→2 x→2

  2. x , g'( x ) = 2x + 3, x ≠ ± 3;

  3. l imx→2 g'( x ) = limx→2 ( x2 − 32)(x2x + 3) = 0 bo‘ladi.

Demak, 1-teoremaga binoan limxxln2 (x32x310) = 0.

2 +

1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas.

Masalan, f x funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni

qanoatlantiradi va lim f ( x ) = lim( x sin 1 ) = 0, lekin x0 g( x ) x0 x

limx→0 gf''(( xx)) = limx→0( 2xcos 1x + sin 1x ) mavjud emas, chunki xn = 1n → 0 n→∞ da π

1 1 2( 1)n+1 ,

x

xn →0 n→∞ da esa

.

x 0 x x n→∞ π( 2n + ) 2 2

2

2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,



  1. (c;+∞) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)≠0,

  2. lim f ( x ) = 0, lim g( x ) = 0;

x→+∞ x→+∞

  1. hosilalar nisbatining limiti lim f'( x ) ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u x→+∞ g'( x )

holda funksiyalar nisbatining limiti lim f ( x ) mavjud va x→+∞ g( x )

lim f ( x )= lim f'( x ) (2.3) x→+∞ g( x ) x→+∞ g'( x )

tenglik o‘rinli bo‘ladi.



Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi х = 1 formula yordamida x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchiga t

almashtiramiz. U holda x→+∞ da t→0 bo‘ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o‘zgaruvchising f 1 va g1 funksiyalari bo‘lib, ular (0,1 ] da aniqlangan.


t   t c


Teoremadagi (2) shartga asosan lim f (1 ) = 0, lim g(1) = 0 bo‘ladi.

t→+0 t t→+0 t

Ushbu,


' ' ' '

  f 1t =  f 1t  ⋅ xt' = − fx' 1t ⋅ 1 , g1t t =  g1t x xt' = −g'x 1t ⋅ t12 t  x t


munosabatlardan ( 0;1c ) intervalda ft' (1t ), gt' (1t ) hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So‘ngra teoremaning 3) shartiga ko‘ra

lim ft' (1t ) = lim fx'( t12 ) = lim f' (x)

t→+0 gt' t t x→+∞ g' (x)

Demak f 1 va g1 funksiyalarga 1-teoremani qo‘llash mumkin. Bunda


t   t


xlim→+∞ gf (( xx))= tlim→+0 gf ((11t )) e’tiborga olsak, (2.3) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi. t

Teorema isbot bo‘ldi.



ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar xa da f(x)→∞, g(x)→∞ bo‘lsa,

f ( x ) nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday

g( x )

aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.



3-teorema. Agar

  1. f(x) va g(x) funksiyalar (a;∞) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)≠0,

  2. lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞,

x→∞ x→∞

  1. lim f'( x ) mavjud bo‘lsa, x→∞ g'( x )

u holda lim f ( x ) mavjud va lim f ( x )= lim f'( x ) bo‘ladi. x→∞ g( x ) x→∞ g( x ) x→∞ g'( x )

Isbot. Teorema shartiga ko‘ra lim f'( x ) mavjud. Aytaylik lim f'( x )=µ

x→∞ g'( x ) x→∞ g'( x )

bo‘lsin. U holda ∀ε>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, xN bo‘lganda µ (2.3)

tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda xN tengsizlikdan x(a;) kelib chiqadi.

Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:

f ( x ) f ( N ) = f'( c ) , bu erda N. g( x ) g( N ) g'( c )

Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli:

µ ,

bundan esa

µ

tengsizliklarga ega bo‘lamiz.

Teorema shartiga ko‘ra lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞, f(N) va g(N) lar esa

x→∞ x→∞

chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida f ( x ) f ( N ) kasr g( x ) g( N ) f ( x ) kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, xM

g( x )

larda µ-ε< f ( x )<µ+ε (2.4) g( x )

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Shunday qilib, ixtiyoriy ε>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha xM larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim f ( x )=µ ekanligini anglatadi. x→∞ g( x )

Teorema isbot bo‘ldi.

Yuqorida isbotlangan teorema xa (a-son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t= 1 almashtirish bajarish yyetarli.



х а

Misol. Ushbu lim ln x limitni hisoblang.

x→+∞ x

Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) lim f'( x ) = lim 1/ х =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham x→+∞ g'( x ) x→+∞ 1 mavjud va lim ln x =0 tenglik o‘rinli.

x→+∞ x

3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, lim f ( x ) = 0,

xa lim f ( x ) = ∞, bo‘lganda f(x)g(x) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, xa uning quyidagi

f

kabi yozish orqali ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Shuningdek, lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞, bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda ∞-∞ xa xa ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib

f

f ( x ) g( x )

ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Ma’lumki, xa da f(x) funksiya 1, 0 va ∞ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda , 0 va 0 intilganda (f(x))g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1, 00, 0 ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)ln(f(x)). Bunda xa da g(x)ln(f(x)) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.

Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0⋅∞, ∞-∞, 1, 00, ∞0, ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.

2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda



lim f ( x ) = lim f'( x ) = lim f''( x )

xa g( x ) xa g'( x ) xa g''( x )

tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.



1

Misol. Ushbu lim tgx x2 limitni hisoblang.

x→0 x


1

Yechish. Ravshanki, x0 da tgx x2 ifoda 1 ko‘rinishdagi aniqmaslik

x


bo‘ladi. Uni logarifmlab, aniqmaslikni ochishga keltiramiz:

ln x cosx2 x tgx tgx (ln tgx )'

limx→0ln y = x→0 x2x = limx→0 ( x2x)' = limx→0 tgx ⋅ 2xx2 = 12 limx→0 x sinx3xcos x = lim

= 12 limx→0 ( x sin( x3x)cos' x )' = 12 limx→01cos23xx2+ sin2 x = 16 limx→0 2sinx22 х = 16 ⋅2 = 13.



12 1

Demak, lim tgx  x = e3 = 3 e .

x→0 x


Misollar

1. Quyidagi limitlarni hisoblang:

a) xlim→∞ 3x3 −45xx32 +73x + 4 ; b) xlimπ/ 2 ln(sinπ− 2xx) ; c) limx→1 x1−1 − ln1x ;

+

d) lim( 2 x )tgπx ; e) lim xx ; f) .



x2 4 x→0+ x→+∞


Yüklə 0,52 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin