Ecuatii diferentiale

3.1.3Exemplul 5, pg. 615

O placă circulară subţire de rază b are cele două feţe perfect izolate termic. În jurul circumferinţei plăcii se menţine o distribuţie de temperatură ce depinde de timp: u(b,q,t) = f(0)coswt. Să se găsească distribuţia în placă în regim staţionar.

În cazul acestei probleme distribuţia staţionară de temperatură nu este independentă de timp ci este distribuţia limită periodică spre care tinde temperatura pe măsură ce timpul creste şi componenta tranzitorie dispare. Astfel chiar dacă se caută o distribuţie pentru o stare staţionară a sistemului termenul ¶u/¶t rămâne în ecuaţia căldurii. Pe de altă parte deoarece placa este subţire şi are ambele feţe izolate putem presupune că transferul de căldură este bidimensional, adică nu depinde de z. Ecuaţia pe care trebuie să o rezolvăm este deci:

(3.110)

Ca de obicei se presupune o soluţie produs de forma u(r,q,b) = R(r) q(q) T(t). Avem de-a face cu o situaţie pe care nu am mai întâlnit-o până acum. Oricare ar fi valoarea lui m₁(<,>, = 0), soluţia ecuaţiei aT'/T = m₁ nu poate descrie o funcţie neconstantă, periodică de t, aşa cum ştim că trebuie să fie T. Singura urmare posibilă este să presupunem că T este o funcţie periodică complexă cu perioada w, adică:

T(t) = ei^wt = coswt + isinwt Þ a²T'/T = a² iwe^iwt/ e^iwt = a²iw Þ m₁ = a²iw. (3.111)

Astfel, pentru prima dată avem o problemă în care constanta de separare m₁ este complexă. Folosind expresia lui m₁si separând din nou se obţine:

(3.112)

evident condiţia la limită este o funcţie periodică de q cu perioada 2p rezultând că m₂ = n² şi deci, din ecuaţia -q"/q = m₂ = n² Þ q_n(q) = A_ncos(nq) + B_nsin(nq), n = 0, 1, 2, ..

Factorul R se determină acum din ecuaţia:

O soluţie completă a acestei ecuaţii este:

Deoarece când r = 0, în timp ce temperatura în centrul plăcii este evident finită, trebuie ca D să fie 0 rămânând;

Astfel avem o familie de soluţii produs:

Deoarece nici una dintre acestea nu poate satisface individual condiţia la limită, se formează din ele o serie infinită.

(10) (3.113)

şi se încearcă determinarea A_n şi B_n astfel încât aceasta serie să se reducă la condiţiile la limită corespunzătoare pentru r = b. Cu toate acestea înainte de a face acest lucru, trebuie modificată forma condiţiilor la limită. Deoarece am fost nevoiţi să luăm pe T ca exponenţială ei^wt trebuie să modificăm de asemeni şi condiţiile la limită din f(q)cos wt în formă complexă

f(q)e^iwt = f(q)(cos(wt) + isin(wt)). (3.114)

Astfel, atunci când am rezolvat problema pentru această condiţie la limită modificată, răspunsul la problema iniţială va fi doar partea reală a soluţiei complexe obţinute.

Dacă în (10) punem r = b şi n(b,q,t) = f(q)e^iwt rezultă împărţind la e^iwt următoarea relaţie:

(3.115)

De aici conform teoriei Fourier rezultă:

Dacă se înlocuiesc A_n şi B_n în (10) şi se combina exponenţialele se obţine:

Sau contopind integralele ….

În final, reţinând doar partea reala a seriei, se obţine soluţia problemei noastre:

din această relaţie este evident faptul că, deşi în fiecare punct temperatura variază periodic cu frecvenţa , între temperatura la o rază oarecare şi cea de pe conturul plăcii există o diferenţă de fază.

3.1.4Exemplul nr. 1 [Error: Reference source not found, pg 635]

Pe întreaga suprafaţă a unei sfere de rază b este menţinută o distribuţie cunoscută de temperatură u = f(). Să de găsească distribuţia de temperatura în regim staţionar în orice punct al sferei.

Avem de rezolvat ecuaţia transferului de căldură în regim staţionar - adică ecuaţia lui Laplace - în coordonate sferice. Datorită simetriei circulare evidente a problemei este clar că u este o funcţie numai de r şi . Astfel, = 0, şi ecuaţia (1) se reduce la:

r² sin + 2r sin + sin + cos = 0 (1.116)

Considerând o soluţie produs de forma u = R(r)() şi înlocuind în (14) obţinem:

r² sin R" + 2r sin R' + sin R" + cos R' = 0 (1.117)

Împărţind ecuaţia de mai sus cu sin R şi (trecând termenii cu  în celălalt membru) sau (separând termenii în cei 2 membri ai ecuaţiei) obţinem:

=  (1.118)

Deoarece pentru orice , ecuaţia de gradul doi n² + n -  = 0 are întotdeauna cel puţin o soluţie (eventual complexă) n, putem alege  de forma  = n(n + 1) astfel încât să avem următoarele ecuaţii diferenţiale ordinare:

r²R" + 2rR' - n(n + 1)R = 0 (1.119)

sin" + cos' + n(n + 1)sin = 0 (1.120)

Prima ecuaţie este doar un caz particular al ecuaţiei lui Euler, iar soluţia completă este uşor de găsit:

R = Arⁿ + (1.121)

Cu toate aceste, pentru că avem nevoie de soluţii finite atunci când r = 0, este clar că trebuie să (particularizăm) să alegem B = 0. A doua ecuaţie este ecuaţia lui Legendre. Deoarece soluţiile ecuaţiei trebuie să fie finite în intervalul închis 0 ≤  ≤ , şi cum singurele astfel de soluţii sunt polinoamele Legendre P_n(cos) rezultă că n trebuie să fie întreg şi

 = P_n(cos) (1.122)

De aici rezultă că avem o infinitate de soluţii sub forma unor produse de forma: A₀P₀(cos), A₁rP₁(cos), A₂r²P₂(cos), …, A_nrⁿP_n(cos)

Nici una dintre acestea însă, nu poate satisface singură condiţia de temperatură u(b,) = f() pe suprafaţa sferei. Ca de obicei, formăm o serie infinită de soluţii individuale de tip produs şi încercăm să o facem să satisfacă condiţiile la limită. Scriem astfel:

u(r,) = (1.123)

Apoi facem substituţia r = b şi u(r,) = f() şi obţinem:

f() = (1.124)

Pentru a afla A_n înmulţim ultima ecuaţie cu sinP_n(cos) şi integrăm de la 0 la . Ca urmare a proprietăţilor de ortogonalitate ale polinoamelor P, toate integralele din membrul drept în afară de una devin 0, şi obţinem astfel:

= A_n bⁿ (1.125)

sau

A_n = (1.126)

Cu coeficienţii seriei (15) determinaţi, soluţiei formală a problemei este acum completă.

3.1.5Exemplul nr. 5 [Error: Reference source not found, pg 1000]

O placă subţire de metal coincide cu primul cadran al planului z. Faţa de sus şi cea de jos sunt perfect izolate astfel încât transferul căldurii este strict bidimensional. Să se determine temperatura în regim staţionar în orice punct al plăcii, dacă condiţiile limită sunt cele arătate în figura 18.9 a.

Conform datelor problemei transferul de căldură e bidimensional şi ca urmare trebuie să rezolvăm ecuaţia lui Laplace, adică ecuaţia transferului bidimensional de căldură în regim staţionar obţ în capitolul 9.2.:

= 0

având în vedere condiţiile limită impuse pentru primul cadran. Pentru a rezolva ecuaţia, transformăm primul cadran al planului z în jumătatea superioară a planului w prin transformarea:

w = z² = (x² - y²) + 2ixy

Astfel, problema se reduce la găsirea soluţiei ecuaţiei lui Laplace pentru jumătatea superioară a planului w, cu respectarea de-a lungul axei reale a condiţiilor limită transformate, după cum se arată în figura 18.9b.

Se ştie că, atât partea reală cât şi partea imaginară a oricărei funcţii analitice verifică ecuaţia lui Laplace. Aşadar, dacă găsim o funcţie de w care este analitică în semiplanul superior, şi partea ei reală sau imaginară satisface condiţiile la limită atunci când w este real, înseamnă că avem soluţia căutată.

Pentru a obţine o astfel de funcţie pe care să o folosim în problemă, observăm mai întâi că dacă u₀ > u₁ > … > u_n:

(9) f(w) = iT₀ + 1/ [(T₁ - T₀)ln(w - u₀) + (T₂ - T₁)ln(w - u₁) + … + (T_n+1 - T_n)ln(w - u_n))

este analitică în tot semiplanul superior. De aici rezultă că partea ei imaginară

(10) Im[f(w)] = T₀ + 1/ [(T₁ - T₀)arg(w - u₀) + (T₂ - T₁)arg(w - u₁) + … + (T_n+1 - T_n)arg(w - u_n))

va fi o soluţie a ecuaţiei lui Laplace în tot semiplanul superior. Mai mult, de-a lungul axei reale, soluţia respectă valorile limită arătate în figura 18.10. Pentru a verifica acest lucru, observăm din figura 18.10 că numărul complex w - u_i este reprezentat prin vectorul care uneşte punctul fixat u_i şi punctul variabil w, astfel arg(w - u_i) este unghiul de înclinaţie _i al acestui vector.

(11) Im[f(w)] = T(w) = T₀ + [(T₁ - T₀)₀ + (T₂ - T₁)₁ + … + (T_n+1 - T_n)_n]

Dacă ne referim din nou la figura 18.10, este clar că pentru toate valorile lui w pe axa reală, de la dreapta lui u₀, valoarea fiecărui  este zero.

Din relaţia (11) observăm că T se reduce la valoarea constantă T₀ pe această porţiune a axei reale. Mai mult, când w se află între u₁ şi u₀, unghiul ₀ este egal cu  în timp ce toate celelalte unghiuri  sunt încă 0. Aşadar, de-a lungul acestui segment ecuaţia (11) se reduce la:

T = T₀ + [(T₁ - T₀)] = T₁

În mod similar, pentru valori ale lui w între u₂ şi u₁, unghiurile ₂ şi ₁ sunt ambele egale cu , iar toate celelalte unghiuri  sunt egale cu 0. Deci pe acest segment al axei reale avem:

T = T₀ + [(T₁ - T₀) + (T₂ - T₁)] = T₂

Continuând în acest mod, putem verifica că T, definit ca în relaţia (10) sau (11), nu numai că este o soluţie a ecuaţiei Laplace ca parte imaginară a funcţiei (9), dar ia de-a lungul axei reale valorile limită arătate în figura 18.10.

Dacă particularizăm aceste observaţii la problema noastră, obţinem că soluţia temperaturii T în planul w are forma

T = 100 + [(0 - 100)₀ + (100 - 0) ₁]

T = 100 + (₁ - ₀) = [ + (₁ - ₀)]

înmulţind cu /100 şi aplicând funcţia tangentă ultimei ecuaţii, obţinem:

tan = tan [ + (₁ - ₀)] = tan (₁ - ₀)

tan =

Înlocuind tan ₀ şi tan ₁ cu valorile lor, aşa cum se citesc din figura 18.9, din ultima relaţie obţinem:

tan =

tan =

care reprezintă soluţia problemei transformate în planul w. Întorcându-ne la planul z folosind ecuaţiile de transformare u = x² - y² şi υ = 2xy, găsim din relaţia (12) că

T = 100 + tan^-1

este soluţia problemei iniţiale în planul z.

Bibliografie:

Willie, C.R., Barret, L.C. - Advanced Engineering Mathematics, 5^th Ed. - McGraw-Hill 1982, ISBN 0-07-066643-1

i Willie, C.R., Barret, L.C. - Advanced Engineering Mathematics, 5^th Ed. - McGraw-Hill 1982, ISBN 0-07-066643-1