La complexité de plus en plus importante des problèmes abordés par simulation numérique et les contraintes de rapidité des calculs conduisent à créer des algorithmes de plus en plus complexes, devant s’exécuter le plus efficacement possible. Il devient de ce fait extrêmement difficile de maîtriser l’analyse des systèmes d’équations mis en jeu (systèmes de polynômes à centaines de variables, systèmes linéaires à 106inconnues, modèles hybrides à milliers de variables…). L’étape suivante de conception d’un algorithme (robuste, passant à l’échelle) et de programmation efficace et économique ne peut donc plus se concevoir de manière artisanale et demande l’utilisation d’outils algébriques et formels idoines.
Le but de cette tâche est d’explorer ce domaine en pleine expansion et de contribuer au développement de systèmes génériques et à la mise en place d’une méthodologie pour un calcul scientifique moderne.
Nous voulons développer en priorité les domaines suivants, associés à des applications importantes :
Algèbre linéaire adaptative : La bibliothèque FFPACK (algèbre linéaire sur les corps finis) implémente des arithmétiques fiables pour l’algèbre linéaire. Elle est intégrée dans la distribution logicielle ROXANE (INRIA) et est en particulier utilisée dans la bibliothèque d’algèbre linéaire creuse LinBox. La performance est obtenue par l’exploitation de la hiérarchie mémoire (caches) et des co-processeurs arithmétiques flottants. Il s’agit ici de développer l’adaptativité de cette bibliothèque, pour son passage à l’échelle sur architectures hétérogènes.
Outils algébriques pour la discrétisation des EDP : Les méthodes de résolution des grands systèmes linéaires sont basées essentiellement sur des idées d’analystes. Or les matrices provenant de la discrétisation des équations aux dérivées partielles sont extrêmement rares dans l’ensemble des matrices, ce qui incite à en chercher une caractérisation algébrique et conceptuelle. Cette caractérisation nécessite l’importation d’outils algébriques contemporains, et peut conduire à de nouveaux algorithmes. Ainsi les matrices structurées, dont un exemple-type est Toeplitz par blocs Toeplitz, peuvent permettre de fabriquer des préconditionnements grossiers corrigeant le désordre des maillages. De même, l’arithmétique des matrices hiérarchiques, lesquelles généralisent et étendent les méthodes multigrilles, requiert une conceptualisation. Ceci permettrait d’apporter des idées nouvelles pour le développement d’algorithmes spécifiques à chaque classe de matrices, de façon complémentaire aux méthodes usuelles, afin d’améliorer l’efficacité pratique des calculs.
Coordination : J.-G. Dumas (LMC-IMAG)
Participants :
LMC-IMAG, Grenoble : J.-G. Dumas, D. Duval (Pr UJF), R. Hildebrand (Cr CNRS),, F. Jung, A. Maignan ?
Institut Camille Jordan, Lyon : T. Dumont, N. Guillotin-Plantard, V. Louvet, F. Musy, M. Schatzman ?
