Gruppa tushunchasi

Gruppa yoyilmasi
gruppaning istalgan qism to`plamini sistema deb ataymiz. Bu sistema xusuisy xolda qism gruppa tashkil etishi yoki bitta elementdan iborat bo`lishimumkin. va sistemalarmnni olib, elementlardan tuzilgan sistemani ko`rinishda belgilaymiz. sistema va sistemalarning ko`paytmasi deyiladi. Bu yerda ekenloigi ravsha, chunki har bir Shunga o`xshash elementlardan tuzilgan sistema ko`rinishga ega bo`li, u va sistemalarning ko`paytmasini tasvirlaydi. Umuman, sistemalarni ko`pytirish nokommutativdir.
Masalan
uchunchi darajali simmetrik gruppaning
va
sistemalari uchun


bo`lib, demak, dir. Lekin istalgan uchta uchta sistemani ko`paytirish assotsiativ, chunki sistema elementlardan, sistema elementlardan tuzilgan bo`lib, ekenligi bizga malum. Shu sababli Umuman ,
sistemalar uchun
Xususiy xolda ko`rinishdagi sistemalar ham qaraladi.
1-teorema. gruppa va uining istalgan sistemasi uchun ushbu tengliklar o`rinli:
.
Isboti. Masalan ,
.
ni isbotlamiz. Chap tomonning istalgan elementi dagi va elementlarning ko`paytmasi sifatida yana ga qarashli. Aksicha o`ng tomonning istalgan elementini ko`rinishda tasvirlasak, va ga asosan bo`ladi.
Xususiy xolda , sistema ning bitta elementini ifodalasa, ni xosil qilamiz. Yana bo`lishi ham mumkin. Bu vaqtda dir. Buni shaklda yozamiz. Demak , umuman , , bu yerda ixtiyoriy natural son.
2-teorema. Agar va lar gruppa elementlari va bu gruppaning qism gruppasi bo`lsa, u xolda va sistemalar yo o`zaro teng bo`ladi, yoki bitta ham umummiy elementga ega bo`lmaydi.
Isboti. va biror umummiy elementga ega, yani
(1)
(bunda ) deb faraz qilsak, (1) ing ikkala tomonini chapdan ga ko`paytirib, 1-teoremaga asosan ushbu tenglikka kelamiz:
yoki .
Demak, va sistemalar teng bo`lmasa, ular bitta ham umumiy elementga ega bo`lmaydi, chunki aks xolda kelib chiqadi.
Bundan keyin gruppaga qarashli sistemalarning birlashmasini ko`pincha ko`rinishda belgilaymiz.
Gruppa nazariyasida kommutativ gruppaning amali “+” ishora bilan belgilanadi. Bunday holda sistemalar ko`rinishda yozilgani uchun , ularning birlashmasini, birinchi bobda qabul qilinganidek, ko`rinihsda yozamiz.