Modul perkuliahan

Teorema 1.4

Misalkan a,b,c R

1. 
   Jika a > b, maka a+c > b+c
   
2. 
   Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d
   
3. 
   Jika a > b, c>0 maka ca > cb
   
4. 
   Jika a > b, c<0 maka ca < cb
   
5. 
   Jika a >0 maka 1/a > 0
   
6. 
   Jika a < 0 maka 1/a < 0.
   

Bukti

1. 
   Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a – b > 0. Karena a-b > 0 sehingga a – b P.
   

(a – b ) = (a-b) + (c-c)

(a – b ) + (c – c ) = (a+c) – (b+c)

Sehingga (a+c) – (b+c) P. Dengan kata lain (a+c) – (b+c) > 0

Karena (a+c) – (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)

1. 
   Karena a > b, dan c > d berarti a – b > 0 dan c – d > 0.
   

Hal ini berarti a - b P dan c – d P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh

(a-b) + (c-d) P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau

(a+c) – (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)

1. 
   Karena a > b, dan c > 0 berarti a – b > 0 dan c > 0.
   

Hal ini berarti a - b P dan c P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh

(a-b) c P. Dengan kata lain (ac – bc) P, atau

(ac) – (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd

1. 
   Karena a > b, dan c < 0 berarti a – b > 0 dan c < 0 atau –(c) > 0.
   

Hal ini berarti a - b P dan -c P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh

(a-b)(-c) P. Dengan kata lain (bc – ac) P, atau

(bc) – (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac

1. 
   Jika a > 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1/a 0. Jika 1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
   

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

1/a > 0.

1. 
   Jika a < 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a 0. Jika
   

1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

1/a < 0.
Teorema 1.5

Jika a, b R, maka a > (a+b) > b.

Bukti.

Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b. Demikian pula

a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b

Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan

2a > a+b > 2b

a=1/2(2a) > ½(a+b) > ½(2b)=b

a > ½(a+b) > b.

Akibat dari teorema di atas adalah:

jika a R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.
1.4 Prinsip Proporsi

Dalam setiap komunikasi, setiap orang penting untuk mempunyai pikiran yang tepat dalam benaknya. Pernyataan “Setiap mahasiswa IKIP Budi Utomo mempunyaii cita-cita menjadi guru” belumlah merupakan informasi yang khusus jika ternyata teman yang diajak berkomunikasi melihat beberapa mahasiswa IKIP Budi Utomo ternyata setelah lulus tidak menjadi guru.

Dalam matematika, terutama di kelas kita dapat menyampaikan konsep x² = 1 di papan tulis, hal ini dimaksudkan apa yang dimaksudkan oleh penulis dengan huruf x dan angka 1. Apakah x bilangan bulat? Apakah bukan bilangan? Apakah angka 1 merupakan bilangan asli? atau 1 merupakan konsep yang lain. Dalam matematika seringkali juga muncul istilah “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk sesuatu”, “ada”, dan seterusnya.

Misalnya:

Untuk setiap bilangan bulat x, x² = 1.

Terdapat suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x² = 1.

Dari contoh di atas, jelaslah bahwa contoh 1 salah, akan tetapi contoh 2 adalah benar karena kita dapat memilih a = 1 atau x = -1.

Berdasarkan contoh di atas, jika konteks yang dibicarakan adalah bilangan bulat, maka pernyataan di atas akan menjadi lebih aman jika disingkat dengan:

Untuk setiap x, x² = 1 dan terdapat suatu x sedemikian sehingga x² = 1. Pernyataan pertama merupakan Universal Quantifier “untuk setiap”, dan yang membuat pernyataan ini salah adalah pernyataan “ setiap bilangan bulat”. Pernyataan kedua merupakan Existential Quantifier “terdapat suatu”, dan yang membuat pernyataan ini benar adalah “ palingb sedikit satu bilangan bulat”. Kedua quantifier ini sering terjadi sehingg para pengguna matematika menggunakan simbul untuk menyatakan pernyataan untuk setiap dan simbul untuk menyatakan terdapat atau ada.

1.5 Konjektur

Teori bilangan penuh dengan masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum ditemukan jawabnya. Masalah yang belum terselesaikan tersebut dinamakan konjektur yang diambil dari kata “conjecture” yang berarti dugaan atau perkiraan. Dalam tulisan ini diperkenalkan beberapa konjektur, antara lain:

1. 
   Terdapat definisi suatu bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat positip yang jumlah pembaginya yang positip adalah dua kali bilangan dimaksud.
   

Contoh.

Pembagi positip 6 adalah 1, 2, 3, 6

Jumlah pembagi positip bilangan 6 adalah 1 + 2 + 3+ 6 = 12 = 2 x 6.

Pembagi positip bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28

Jumlah pembagi positip bilangan 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 x 28

Selain 6 dan 28 bilangan perfek yang lain adalah 496, 8.128, dan 33.500.336.

Berkaitan dengan bilangan perfek terdapat konjektur

Banyaknya bilangan perfek adalah tak hingga.

Semua bilangan perfek adalah genap.

Jika (2ⁿ – 1) bilangan prima maka 2^n-1(2ⁿ -1) adalah bilangan perfek.

1. 
   Terdapat definisi suatu pasangan dua bilangan yang sekawan (amicable), yaitu pasangan dua bilangan bulat positip yang masing-masing jumlah pembaginya positip (tidak termasuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain.
   

220 dan 284 adalah bilangan sekawan, karena:

Jumlah pembagi positip 220 adalah

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Jumlah pembagi positip 284 adalah

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Pasangan bilangan sekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296 dan 18416.

Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan dua bilangan sekawan adalah terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan.

1. 
   Terdapat definisi tentang pasangan bilangan prima (twine prime), yaitu dua bilangan prima berurutan yang berselisih dua. Beberapa pasangan pasangan bilangan prima adalah 3 dan 5, 5 dan 7, 17 dan 19, 29 dan 31, 41 dan 43.
   

Konjektur tentang pasangan bilangan prima menyatakan bahwa banyaknya pasangan prima adalah tak hingga.

1. 
   Berdasarkan pasangan bilangan prima Goldbach mempunyai 2 konjektur yaitu:
   

Setiap bilangan bulat positip genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua bilangan prima ganjil.

Contoh

6 = 3 + 3 14 = 3 + 11

8 = 3 + 5 12 = 5 + 7

10 = 3 + 7 30 = 23 + 7

Setiap bilangan bulat positip ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga bilangan prima ganjil.

Contoh

9 = 3 + 3 + 3 13 = 5 + 5 + 3

101 = 11 + 43 + 47 19 = 5 + 7 + 7

11 = 3 + 3 + 5 37 = 11 + 13 + 13

1. 
   Selain Goldbach, Pierre Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal yaitu:
   

a. + 1 adalah bilangan prima

Untuk n = 0, diperoleh 2 + 1 = 3

Untuk n = 1, diperoleh 4 + 1 = 5

Untuk n = 2 , diperoleh 17

Untuk n = 3, diperoleh 257

Untuk n = 4, diperoleh 65.537

Untuk n = 5, diperoleh 4.294.967.297

b. Untuk n 3, tidak ada bilangan-bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi hubungan xⁿ + yⁿ = zⁿ

Meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering disebut sebagai teorema terakhir Fermat. (Fermat’s last theorem)
1.6 Soal-soal

1. 
   Tunjukkan formula berikut ini benar.
   

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n-1) = n².

1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..... + n(n+1) =

1² + 3² + 5² + 7² + ..... + (2n-1)² =

1³ + 2 ³+ 3³ + 4³ + ..... + n³ =

1. 
   Jika r 1, tunjukkan bahwa:
   

a + ar + ar³ + ar⁴ + ..... + ar^n-1 = , untuk sebarang bilangan bulat positip n.

1. 
   Misalkan a,b.c. d R, buktikan pernyataan berikut:
   

Jika a < b, b < c maka ad+bc < ac+bd

Jika a b dan c < d, maka a+c < b+d

a2 + b² = 0 jika dan hanya jika a=0 atau b=0

1. 
   Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0 < a < b dan a < d < 0 dan berlaku
   

(a) ac < bd (b) ac > bd.

1. 
   Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:
   

x² > 3x +4

1 < x² < 4

< x


BAB II

KETERBAGIAN

2.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4). Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)

Definisi 2.1

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x.

Contoh :

1. 
   3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.
   
2. 
   3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga
   

–30 = (-10)3.

1. 
   –6 │ 42, karena ada bilangan bulat 7 sedemikian sehingga
   

42 = (7)-6

1. 
   –5 │-25, karena ada bilangan bulat 5 sedemikian sehingga
   

–25 = (5)-5

1. 
   3 ┼ 5 karena tidak ada bilangan bulat x sedemikian sehingga
   

5 = (x) 3

1. 
   4 ┼ 9 karena tidak ada bilangan bulat y sedemikian sehingga
   

9 = (y) 4

1. 
   –2 ┼ 11 karena tidak ada bilangan bulat z sedemikian sehingga
   

11 = (z)-2.

1. 
   7 │7 karena ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 7 = (1) 7.
   

Jika y │ x dan 0 < y < x, maka y disebut pembagi murni dari x. Notas a^k ║ x tetapi a^k+1 ┼ x. Berdasarkan definisi 1 diatas selanjutnya pembagian dalam Z dapat dilakukan tanpa memperluas Z menjadi Q. Kemudian jika x,y Z dan yx = 0, maka x= 0 atau y = 0 dan dikatakan bahwa Z tidak mempunyai pembagi nol. Akibatnya dengan sifat ini dapat dilakukan suatu penghapusan (Kanselasi).

Jika x,y Z dan 5x = 5y, maka 5x – 5y = 0

5(x-y) = 0, diperoleh 5 = 0 atau x-y = 0, → x = y

Jadi persamaan 5x = 5y menjadi x = y tidak diperoleh dengan perkalian 1/5 , karena 1/5 bukan bilangan bulat.

Untuk selanjutnya pernyataan y ‌ x sudah dianggap bahwa y ≠ 0. Sehingga dari definisi 2.1 dapat ditentukan bahwa:

1. 
   1 │ x, untuk setiap x Z, karena ada p Z sedemikian sehingga
   

x = (p)1, sehingga 1 │ 3, 1│6, 1 │ 11, 1 │-21, 1 │16, 1 │ -10, semuanya bernilai benar.

1. 
   y │ 0, untuk setiap y Z dan y ≠ 0 karena ada 0 Z sehingga
   

0 =(y)0, sehingga 3 │ 0, 1│0, -1│ 0, 12 │0, -191 │0, 4│ 0, semuanya bernilai benar.

1. 
   x │x untuk setiap x Z dan x ≠ 0, karena ada 0 Z, sehingga
   

x = (1)x, sehingga pernyataan-pernyataan 2│2, -2│-2, 42│42, 12│12, -20│-20, 21│21, semuanya bernilai benar.

1. 
   Jika y │x, maka kemungkinan hubungan antara y dan x adalah y < x, y = x, y>x. Misalnya 2 │ 2 dengan 2 = 2, 2 │4 dengan 2 < 4, dan
   

2 │ -4 dengan 2 > -4.
Dalil 2.1

Jika a,b,c Z maka berlaku:

1. 
   a│ b → a │bc, untuk setiap c Z.
   
2. 
   (a │ b, b │c) → a │ c.
   
3. 
   (a │ b, b │a) → a = ± b.
   
4. 
   (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).
   
5. 
   (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y Z.
   

Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c

1. 
   ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.
   
2. 
   a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m Z dan m ≠ 0
   
3. 
   ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.
   

Pernyataan-pernyataan pada dalil 2.1 di atas dapat dibuktikan sebagai berikut:

1. 
   Karena diketahui a│ b , maka menurut definisi 1 ada suatu bilangan bulat p sedemikian sehingga b = (p)a. b = pa berarti bc = (pa)c. Hal ini berarti terdapat bilangan bulat q = pc sedemikian sehingga bc = qa.
   

Jadi a │bc.

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

b │c → c = qb, untuk suatu q Z.

( b = pa, c = qb) → c = q(pa) atau c = (qp)a. atau c = wa, untuk suatu w Z.

Jadi a │c.

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

b │a → a = qb, untuk suatu q Z.

( b = pa, a = qb) → a = q(pa) atau a = (qp)a. Karena a │b, berarati

a ≠ 0, sehingga a = (qp)a atau a(1-qp) = 0 dan dapat disederhanakan menjadi a=0 atau qp = 1.

qp = 1 → ( q = 1 dan p =1) atau ( p = -1 dan q = -1)

p = q = 1 maka a = pb = b ....(1)

p = q = -1, maka a = pb = -b ...(2)

Dari (1) dan (2) didapat a = ± b

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

a │c → c = qa, untuk suatu q Z.

( b = pa, c = qa) → b ± c = pa ± qa atau b ± c = a ( p ± q)

b ± c = at dengan t Z.

Jadi a │b ± c.

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

a │c → c = qa, untuk suatu q Z.

bx + cy = ( pa)x + (qa)y

bx + cy = a (px+qy) dengan (px + qy) Z.

Jadi a │(bx+cy).

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

karena a > 0, b > 0 dan b = pa maka p > 0.

karena p Z maka p bukan suatu pecahan.

Sehingga nilai kemungkinan x adalah 1,2,3, ..., yaitu x = 1 atau x >1

b = pa dan p =1 → b = a atau a = b

b = pa dan p > 1 → b > a atau a < b.

a = b atau a < b → a = b

1. 
   (a) a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

→ mb = map → mb = (ma)p → ma │mb

(b) ma │mb → mb = (ma)p untuk suatu p Z→ ma │mb

mb = m (ap) dan m ≠ 0 → b = ap → a │b

b │c → c = q b, untuk suatu q Z.

1. 
   a │b → b = pa, untuk suatu p Z
   

a │b + c → b + c = qa, untuk suatu q Z.

b + c = qa → c = qa – b.

c = qa – b dan b = pa → c = qa - pa atau c = a( q-p)

c = a ( q-p) dengan (q-p) Z → a │c.

1.