Nlari. Aniq

b). To’g’ri kasr ratsional funtsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida ifodalash va ularni integrallash

A Ax  B
1) _x ^A_a; 2) _{(x a)k} (k 1 бутун сон); 3) _{x2  px q}; ( ^p2 q  0 ya’ni, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas);


1

2

C

4)


Ax  B
(x²  px q)ⁿ
2

p
(n 1 butun son, ₄ q  0) ratsional to’g’ri

kasrlarga sodda kasr ratsional funksiyalar deyiladi. (A,B, p,q,a- haqiqiy sonlar).

A
Birinchi ikki xildagi funksiyalarni osongina integrallash mumkin, ya’ni,

¹⁾  _{x  a} ^{dx  Aln x  a C,}

A

a
²⁾ _{(x  a)k} ^{ A}^{(x  a)k d(x  a)  A(x}_{ k 1}1 ^{C } _{1 k} ^ _{(x }¹_)k1 ^C


Ax  B
bo’ladi. Endi ushbu


1
³⁾  _{x2  px q} ^dx integralni hisoblaymiz.

^{Oldin xususiy hol}  _{x2  px q} ^{dx integralni qaraylik. x}2 ^{ px q dan}


p
to’la kvadrat ajratib, x  ₂  t almashtirishdan keyin quyidagini hosil qilamiz:

 _{x2  px q} ^{dx } (x  _p)2  q  _p2 ^{dx } _{dx  dt}^{t } _{(t2 }^t_{a2 )}^,


p
2
bu yerda a  q  ₄ . Oxirgi integralda integrallash jadvalidan foydalanib,

^ _{x2  px q} ^{dx  1 arctg t C } _{4q  p2} ^arctg
2x  p
4q  p²

(2)

Ax  B
natijani hosil qilamiz.

^Endi  _{x2  px q} ^{dx integralni hisoblaymiz.} Ax  B  (2x p) ^A  ^Ap  B

shakl o’zgartirishdan foydalanib, integralni quyidagicha yozamiz.

Ax  B x²  px q
(2x  p) ^A  ^Ap  B
x²  px q ^{dx }

^{ A}  _{x2  px q} ^{dxB  Ap } _{x2  px q} ^dx. Oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integral
 _x2^{2x }_x^p _q ^{dx } ^d(x2 ^{ px q)  ln x2  px q C}1

bo’lib, ikkinchi integral (2) formulaga asosan,