Yopiq to`plam va hosila to`plamlarning xossalari. 1 – Teorema. Har qanday to`plamning hosila to`plami yopiq to`plamdir, ya`ni . Isbot. Agar to`plamning limit nuqtalari bo`lmasa, teoremani isbotlab o`tirishning hojati yo`q. Endi uchun biror limit nuqta bo`lsin; bu nuqtaning ga kirishini ko`rsatamiz. Buning uchun nuqtani o`z ichiga olgan ixtiyoriy oraliqni olamiz. Bu oraliqda ning hech bo`lmaganda dan farqli bitta elementi mavjud, chunki nuqta uchun limit nuqta .Bu nuqta to`plam uchun limit nuqta bo`ladi , chunki . Shuning uchun oraliqda to`plamning cheksiz ko`p elementlari bo`ladi .Demak , nuqtaning ixtiyoriy atrofida to`plamning cheksiz ko`p elementlari mavjud . Bu esa ning uchun limit nuqta ekanligini ko`rsatadi, yani .
Quyidagi teorema hosila to`plam ta`rifidan bevosita kelib chiqadi.
2 – Teorema. Agar bo`lsa, bo`ladi. 3 – Teorema. Ikki to`plam yig`indisining hosila to`plami ularning hosila to`plamlarining yig`indisiga teng, ya`ni . Isbot. Agar va munosabbatlarning o`rinliligi ko`rsatilsa, teorema isbot bo`ladi. munosabat 13.2 – teoremadan kelib chiqadi. munosabatni isbotlaymiz. Aytaylik, ixtiyoriy bo`lsin. U holda ning ixtiyoriy atrofida to`plamning cheksiz ko`p elementi bo`ladi. Bunda ikki hol bo`lishi mumkin. Birinchi hol: ning ixtiyoriy atrofida doimo ning cheksiz ko`p elementi bor; bu holda bo`ladi. Ikkinchi hol: ning shunday atrofi mavjudki, unda ning faqat chekli sondagi elementi bo`ladi; bu holda bu atrofda ning cheksiz ko`p elementi bo`lib, bo`ladi. Shunday qilib, hamma vaqt munosabatga ega bo`lamiz. Bundan munosabat kelib chiqadi.
4 – Natija. Hadlarining soni chekli bo`lgan to`plamlar yig`indisining hosila to`plami ularning hosila to`plamlarining yig`indisiga teng, ya`ni
