Relazione sulla ricerca

S.S.D. MAT/05 ANALISI MATEMATICA

Prof. Nicola Mastronardi – professore straordinario

Prof. Clemente Cesarano – ricercatore

Prof. Domenico Finco – ricercatore
L’attività di ricerca del Prof. Nicola Mastronardi si basa principalmente sull’analisi e la risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni e strutturati noti in letteratura come sistemi KKT o di punto sella. La struttura dei sistemi deriva naturalmente dal problema che li origina ed in questo progetto saranno considerati sistemi derivanti da problemi di programmazione lineare e quadratica risolti mediante metodi “rimal-dual” Interior Point e da problemi di controllo ottimo di processi dinamici con molti controlli. La caratteristica comune alle strategie risolutive e di precondizionamento che verranno sviluppate sarà l’utilizzo delle proprietà strutturali delle matrici. Riguardo ai sistemi derivanti da metodi Interior Point, sono analizzate le possibili riformulazioni a blocchi dei sistemi e le proprietà spettrali delle matrici nell’intero corso delle iterazioni del metodo Interior Point.

Quindi si studiano procedimenti risolutivi per i sistemi lineari che rendano più efficiente l’intera procedura di ottimizzazione. In particolare, sono studiate modifiche di rango basso di precondizionatori noti, tecniche di aggiornamento per sequenze di sistemi KKT ed equazioni normali ottenuti dalle riformulazione di sistemi KKT, precondizionatori ad-hoc derivanti dall’analisi delle specifiche proprietà dei blocchi dei sistemi KKT. Per i sistemi derivanti dalla discretizzazione di problemi di controllo ottimo di processi dinamici con molti controlli, si studiano nuove fattorizzazioni di tipo antitriangolare a blocchi. L’obiettivo e’ la definizione di un algoritmo efficiente e stabile, perchè basato su trasformazioni ortogonali, che calcoli in modo ricorsivo la fattorizzazione antitriangolare di un sistema KKT e che preservi parte della struttura iniziale della matrice dei coefficienti in modo da risolvere il sistema lineare associato con un costo dipendente linearmente dalle dimensioni della matrice. Inoltre il Prof. Mastronardi, in collaborazione con il Prof. Cesarano, si occupa di metodi numerici per problemi in cui sono coinvolti polinomi ortogonali.

L’attività di ricerca del Prof. Clemente Cesarano si basa da un lato nello studio delle tematiche proprie del settore scientifico disciplinare MAT/05 - Analisi Matematica e si sviluppa sia nel settore affine MAT/08 - Analisi Numerica, grazie anche alla collaborazione con il professor Mastronardi dell’Istituto delle Applicazioni del Calcolo del CNR, Istututo presso cui il Prof. Cesarano è ricercatore associato dall’Ottobre 2013, che nell’ambito scientifico dell’Ingegneria Industriale in collaborazione con il professor Veneri dell’Istituto Motori del CNR di Napoli. Gli interessi di ricerca che ha perseguito in Analisi Matematica, da molti anni, investono prevalentemente il campo delle funzioni speciali e dei polinomi ortogonali, con particolare riguardo alle relative applicazioni per le soluzioni delle equazioni differenziali sia ordinarie che alle derivate parziali. In particolare, i risultati ottenuti recentemente sulle tecniche operatoriali dei Polinomi Ortogonali, quali i Polinomi di Chebyshev e i Polinomi di Hermite, hanno consentito di perseguire in questi anni, sia un’ulteriore investigazione sulle proprietà individuate che uno studio multi-settoriale per le diverse applicazioni che tali tecniche consentono di ottenere. Su tali premesse, il Prof. Cesarano ha in corso una collaborazione con il Dipartimento di Scienze Applicate dell’Università La Sapienza di Roma da Marzo 2014; collaborazione che verte prevalentemente sugli aspetti analitico-algebrici dei suddetti Polinomi di Hermite al fine di ricercare ulteriori connessioni tra la loro preminente caratteristica algebrico-geometrica e le numerose analisi spettrali che essi consentono nei settori dell’analisi matematica e dell’analisi numerica. Un’ulteriore attività di ricerca che viene sviluppata riguarda lo sviluppo del calcolo frazionario. Tematica precedentemente affrontata dal Prof. Cesarano e che è adesso svolta in collaborazione con il Prof. Vazquez dell’Università Complutense di Madrid e con il Prof. Jimenez dell’Università Politecnica di Madrid, grazie ad un accordo di ricerca. I metodi numerici, intesi come applicazioni sia delle Funzioni Speciali (in particolare delle Funzioni di tipo Bessel) che della ampia famiglia dei Polinomi Ortogonali, sono in questi recenti anni, oggetto di ulteriore studio con la collaborazione dei ricercatori dell’Istituto delle Applicazioni del Calcolo del CNR, avendo come riferimento il Prof. Mastronardi. Infine, la recente collaborazione con l’Istituto Motori del CNR, nelle persone del Prof. Veneri e del prof. Capaldi, si articola sulle applicazioni del calcolo numerico per lo sviluppo del progetto PLACIS (Plateforme Collaborative d’Ingénierie Systèmes); in particolare per la realizzazione di diagrammi di flusso al fine di comprendere in che modo opera il sistema studiato (aspetto Functional) e sulla determinazione di modelli analitici per simulare ed analizzare il comportamento reale del sistema (aspetto Logical).
L’attività di ricerca del Prof. Domenico Finco si articola prevalentemente lungo due filoni di ricerca a cavallo tra i settori MAT05, in cui è inquadrato come ricercatore a tempo indeterminato, e MAT07, in cui ha ottenuto l’abilitazione come professore di seconda fascia. Il primo filone riguarda lo studio delle proprietà dell’equazione di Schroedinger non lineare, come paradigma di equazione dispersiva, su strutture ramificate od in presenza di difetti puntuali e si inquadra nell’ambito delle equazioni a derivate parziali non lineari e delle problematiche connesse come ad esempio lo studio di soluzioni stazionarie e della loro stabilità mediante metodi variazionali e topologici su cui sono stati ottenuti diversi risultati. Nel futuro verrà affrontato in maniera approfondita come la topologia non banale influenzi le proprietà degli stati stazionari. Alcuni risultati preliminari mostrano una straordinaria ed inaspettata ricchezza di comportamenti. Gli stati stazionari, in cui appaiono le funzioni di Jacobi e che possono essere costruiti esplicitamente, esibiscono diversi tipi di biforcazioni, da autovalori immersi nel continuo, dal fondo dello spettro, biforcazioni secondarie da risonanze del linearizzato, da autovalori isolati che non si riscontrano in altri modelli e per cui non esiste una teoria generale che copra questi casi. La partecipazione al progetto FIRB 2012 "Dinamiche dispersive: analisi di Fourier e metodi variazionali" si inquadra in questo ambito. Il secondo filone riguarda l’applicazione di tecniche mutuate dall’analisi funzionale per la costruzione rigorosa di Hamiltoniane a molti corpi con interazione a portata zero comunemente usate in fisica per la descrizione di gas ultrafreddi nel limite unitario. Tale filone si inquadra nell’ambito della Meccanica Quantistica e dello studio di proprietà di stabilità. La partecipazione al progetto PRIN 2012 "Problemi Matematici delle Teorie Cinetiche e Applicazioni" si inquadra in questo ambito. Per il futuro si intende studiare l’esistenza di estensioni auto aggiunte di tipo non STM ed estendere a N fermioni i risultati di stabilità sino a qui ottenuti. Ulteriori filoni di ricerca riguardano la costruzione di modelli rigorosi per lo studio della decoerenza e la giustificazione di modelli con difetti non lineari come modelli efficaci a partire da modelli non lineari riscalati nell’ambito delle collaborazioni attualmente in corso con A. Teta, D. Noja, C. Cacciapuoti. È in atto l’attività di disseminazione dei risultati di ricerca ottenuti in diverse conferenze, sia nazionali che internazionali; in tal senso è stato organizzatore di una conferenza nazionale.