MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

3) ;

Qeyd edək ki, ardıcıllığı

kimi rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar.

Əvvəlcə tutaq ki, . Onda olduğundan . Fərz edək ki, . Onda . İnduksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur.

Digər tərəfdən,

və deməli, ardıcıllıq artandır, ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək. Onda rekurrent münasibətdə limitə keçsək

və buradan tapırıq ki, və ya , yəni .

olduqda isə . İnduksiyaya əsaslanaraq müəyyən edirik ki, . Digər tərəfdən . Yəni bu halda ardıcıllıq azalan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə də limiti var və analoji qaydada tapırıq ki, .

4)

İnduktiv olaraq hökm edə bilərik ki, . məlum bərabərsizliyində götürsək alırıq ki,

yəni, olduqda və ya olduqda . Deməli ardıcıllıq aşağıdan məhduddur. Göstərək ki, o həm də artan deyil.

və ya olduğundan rekurrent münasibətdən yaza bilərik:

yaxud .

Deməli, ardıcıllıq monoton artmayan olub aşağıdan məhduddur. Ona görə onun limiti var və bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

və buradan . Yəni və deməli .

Qeyd edək ki, baxılan ardıcıllığa ədədinin təqribi qiymətlər ardıcıllığı kimi baxmaq olar:

və s.

5) ;

Əvvəlcə qeyd edək ki, verilmiş ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində yazmaq olar:

Göstərək ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Bunun üçün riyazi induksiya üsulundan istifadə edək. olduğundan, sonuncu bərabərlikdən alırıq ki,

və ya

İndi isə fərz edək ki, . Yenə də funksiyasının aralığında monoton artan olduğunu nəzərə alsaq

və ya

Beləliklə, induksiyaya əsaslanaraq hökm edə bilərik ki, baxılan ardıcıllıq monoton azalan məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək rekurrent münasibətdə şərtilə limitə keçək:

kəsilməz funksiya olduğundan alırıq ki, . Burada isə , yəni . Həmçinin, hökm edə bilərik ki, .

6)

Artıq isbat etmişik ki, baxılan ardıcıllıq monoton artandır (bax misal 8.3). Göstərək ki, o həm də məhduddur. Bunun üçün sağ tərəfi Nyuton binomuna görə açaq:

Burada , olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki,

Digər tərəfdən, doğru bərabərsizliyinə əsasən

Aşağıdan isə bu ardıcıllıq özünün birinci həddi ilə məhduddur. Deməli, . Beləliklə, baxılan ardıcıllıq monoton artan və məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də onun limiti var. Həmin limit e ilə işarə olunur:

İsbat olunur ki, e ədədi irrasional ədəddir və onun təqribi qiyməti

kimi hesablanır. Toplananların sayı nə qədər çox götürülərsə e ədədinin bir o qədər dəqiqliklə təqribi qiyməti alınır:

.

e ədədi təkcə riyazi analizdə yox, ümumiyyətlə, riyaziyyatda mühüm əhəmiyyətə malikdir.

Qeyd. ardıcıllığı monoton artan olub limiti ədədi olduğundan Teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, və ya . Hər tərəfi əsasdan loqarifmləsək tapırıq ki,



MÜHAZİRƏ 9
Ardıcıllığın xüsusi limiti. Aşağı və yuxarı limit.

Fundamental ardıcıllıq.
Tutaq ki, ədədi ardıcıllığı verilmişdir. artan natural ədədlər ardıcıllığı olduqda ardıcıllığının elementlərindən düzəldilmiş

ardıcıllığına ardıcıllığının alt ardıcıllığı deyilir.

Məsələn, ardıcıllığı verilmişdir.

ardıcıllıqları həmin ardıcıllığın alt ardıcıllıqlarıdır.

Tərif 11. Ardıcıllığın hər bir yığılan alt ardıcıllığının limitinə bu ardıcıllığın xüsusi limiti (və ya limit nöqtəsi deyilir).

Yığılan ardıcıllığın yeganə limit nöqtəsi var. Ona görə də yığılan ardıcıllığın istənilən alt ardıcıllığı da yığılan olub eyni limitə malikdirlər. Ardıcıllığın limit nöqtəsinin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var.

Teorem 12. (Bolsano-Veyerştras) Hər bir məhdud ardıcıllıqdan yığılan alt ardıcıllıq ayırmaq olar.

Buradan nəticə olaraq çıxır ki, hər bir məhdud ardıcıllığın heç olmasa bir limit nöqtəsi var.

Tərif 12. ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən böyüyünə onun yuxarı limiti deyilir və

kimi işarə olunur.

ardıcıllığının xüsusi limitlərinin ( və ya limit nöqtələrinin) ən kiçiyinə onun aşağı limiti deyilir və

kimi işarə olunur.

Hər bir məhdud ardıcıllığın sonlu aşağı və yuxarı limiti var və

.

Əgər ardıcıllıq yuxarıdan (aşağıdan) qeyri-məhdud olarsa ( ) qəbul olunur.

Teorem 13. Ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olması və aşağı limiti ilə yuxarı limitinin üst-üstə düşməsidir, yəni



bərabərliyinin ödənməsidir.

Göründüyü kimi ardıcıllığın yığılanlığını müxtəlif yollarla müəyyən etmək olar: limitin tərifinə əsasən, limiti bilavasitə hesablamaqla, ardıcıllığın monoton məhdudluğuna və sonuncu teoremə görə. Bunun üçün daha ümumi kriteriya (meyar) isə aşağıdakı teorem vasitəsilə verilir.

Teorem 14 (Koşi kriteriyası). ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt ixtiyari üçün elə nömrəsinin olmasıdır ki, və istənilən natural ədəd olduqda



bərabərsizliyi ödənsin.

Koşi kriteriyasının şərtlərini ödəyən ardıcıllığa fundamental ardıcıllıq deyilir.

Deməli, ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun fundamental ardıcıllıq olmasıdır.

Misal 19. Verilmiş ardıcıllığı üçün ,, və - i tapın.

1) ;

olduqda ;

olduqda ;

alt ardıcıllıqlarını alırıq və verilmiş ardıcıllığın bütün hədləri bu ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də baxılan ardıcıllığın xüsusi limitləri (və ya limit nöqtələri) bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

;

Ardıcıllığın iki limit nöqtəsi var və göründüyü kimi

,

İndi isə ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır. Ona görə də

və Teorem 10 - ə əsasən

Eynilə müəyyən edilir ki, ardıcıllığı artan ardıcıllıqdır və ona görə də

,

və

.

Beləliklə,

2)

, , və nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

olduqda

olduqda


olduqda ;
olduqda

Baxılan ardıcıllığın bütün hədləri bu alt ardıcıllıqlardan birinə daxildir. Ona görə də limit nöqtələri və ya xüsusi limitlər bu alt ardıcıllıqların limiti kimi tapıla bilər:

.

Ardıcıllığın üç limit nöqtəsi var və göründüyü kimi,

.

Hər bir alt ardıcıllığın dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini tapaq.

və ardıcıllıqları sabit ardıcıllıqlardır və



.

alt ardıcıllığı azalan ardıcıllıqdır və ona görə də

Bu nəticələri yekunlaşdıraraq tapırıq ki,

Qeyd edək ki, alt ardıcıllıqları seçərkən , , və də götürmək olardı.

3) ;

, və , nömrəli hədlərdən düzəldilmiş alt ardıcıllıqlara baxaq.

olduqda

olduqda


olduqda

Xüsusi limitləri tapa bilərik:

.

Deməli,

.

Əvvəlki misaldakına oxşar mühakimələr apararaq tapmaq olar ki,

4) ;

olduqda ;

olduqda ;

alt ardıcıllıqlarını alırıq.

Hər iki alt ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətlərdir. Ona görə də

Deməli,

Asanlıqla müəyyən olunur ki,

Misal 20. Koşi kriteriyasından istifadə edərək ardıcıllıqların yığılanlığını araşdırın.

1)

İstənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:

Burada doğru bərabərsizliyini nəzərə alsaq tapırıq ki,

Deməli, baxılan ardıcıllıq yığılan ardıcıllıqdır.

2)

İxtiyari və istənilən natural ədədi üçün yaza bilərik:

Sonuncu bərabərsizlik isə olduqda ödənir. Deməli, ardıcıllıq yığılır.

3)
4) ;

Yaza bilərik:

Xüsusi halda olarsa

Beləliklə, , yəni ixtiyari və istənilən natural ədədi üçün Koşi şərti ödənmir. Deməli, ardıcıllıq dağılır.