Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

İsbatı: matrisinin tərifinə əsasən

(6)

olar. bərabərliyində x-in yerinə, ardıcıl ola­raq, bazis vektorlarını qoysaq alarıq:

(7)

burada - B matrisinin, uyğun olaraq, 1-ci, 2-ci ,…, n –ci sütunlarıdır.

(6) və (7)-dən çıxır ki, və B matrislərinin uyğun sütunları bərabərdir. Ona görə də =B.

Teorem 7: Fərz edək ki, xətti operator­lar­dır, onda istənilən və bazisi üçün aşağıdakı bə­ra­bərliklər doğrudur.

.

İsbatı: İxtiyari üçün

münasibətlərindən çıxır ki,

.

Ona görə də

(6) düsturuna əsasən yaza bilərik ki,

.

Buradan, alarıq.

Bundan əlavə,

.

Buradan .

Yenə (6) düsturuna əsasən alarıq ki, buradan çıxır.

Nəticə 1: n ölçülü V vektorlar fəzasında təyin olunmuş xət­ti operatorlar fəzası, n tərtibli kvadrat matrislər fəzasına izomorfdur.

Teorem 8: Xətti operatorun ranqı onun istənilən bazis üzrə matrisinin ranqına bərabərdir.

İsbatı: Fərz edək ki, sistemi fəzasının bazisi­dir. n ölçülü hesabi vektorları, vektorlarının sütunları olsun.

Onda

.

Deməli,

.

Buradan . Digər tərəfdən,

olduğundan,

.

Deməli,

.