Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

“ALI RIYAZIYYAT” fənnindən Mühazirə mətinləri.

Matrislər və onlar üzərində əməllər.

mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m×n) ölcülü matris deyilir. Matris

və ya (1)
şəklində yazılır. Bəzən qısa olmaq ücün şəklində yazılır. Matrisi təşkil edən a_ij ədədlərinə onun elementləri deyilir.

Eyni (m×n) ölçülü

və B= (

matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

C_ij =
kimi təyin olunan C= matrisinə deyilir ki, ilə işarə olunur. (2) matrisin hasilini təyin edək;

(2)
C (3)
kimi təyin olunan (m×p) ölçülü C= matrisinə deyilir və C=AB ilə işarə olunur.

∙




Çoxluq anlayışı. Çoxluq və onlar üzərində əməllər.

Çoxluq riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir, çoxluğa tərif verilmir ancaq izah edilir, əsas xassə və əlamətləri göstərilir.

Eyni əlaməti və ya xassəsi olan əşyalar, obyektlər çoxluq təşkil edir. Hər bir çoxluq onu təşkil edən elementlərdən ibarətdir. Adətən çoxluqlar böyük həriflə ( A, B, X, Y,...) , onları təşkil edən elementlər isə kiçik hərflə ( a, b, x, y, ...) , göstərilir.

A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun da elementi olduqda deyirlər ki, A çoxluğu B çoxluğuna daxildir. kimi yazılır, və deyirlər ki, A çoxluğu B-nin alt çoxluğudur.

1. 
   Çoxluqların birləşməsi____A və B çoxluğunun hec olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət çoxluğa həmin çoxluğun çəmi və ya birləşməsi deyilir. Bunu A+B və ya kimi işarə edirlər.
   

Çoxluğun birləşməsi aşağıdakı xassələrə malikdir;

1) . =

2).

3).

2. Çoxluqların kəsişməsi____A və B çoxluğunun hər birinə daxil olan elementlərdən ibarət çoxluğa həmin çoxluğun hasili və ya kəsişməsi deyilir. və AB kimi göstərilir.

Çoxluqların kəsişməsi aşağıdakı xassələrə malikdir;

1).

2). (BC)=(AB) (AC)

3). A(BC)=(AB)C

4). BA AB=B.

3. Çoxluqların fərqi. A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan elementlərdən ibarət çoxluğa A- ilə B-nin fərqi deyilir və A \ B ilə işarə edilir.

Determinantlar və onların əsas xassələri.


(1) matrisinin elementlərindən düzəldilmiş fərqinə (1) matrisinin determinantı deyilir və (2) kimi yazılır. (1) matrisinin (2) determinantına ∆(A₂) və ya det A₂ ilə işarə olunur. Üçtərtibli determinant aşağıdakı kimi işarə olunur:

∆(A₃)= (3)

determinantın hər hansı elementinin olduğu sətir və sütun üzərindən düz xətlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər (nisbi vəziyyətini dəyişmədən) bir determinant ( tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan) əmələ gətirir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir.a_ij elementinin minorunu M_ij ilə işarə edilir. M_ij minorunun (-1) vuruğu ilə hasilinə a_ij elemenyinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və

A_ij= ilə işarə olunur.

Teorem 1. Hər bir determinant hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.

Xassə1. Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz.

∆=

Xassə 2. Determinantın iki sətrinin və ya sütunun bir- biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işarəsi dəyişər.

Xassə 3. İki sətri eyni olan determinant sıfıra bərabərdir.
∆=
Xassə 4. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar;



Xassə 5. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar,: bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinçi toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinçi toplananlar götürülür.

=
Xassə 6. Determinantın hər hansı sətirinin bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyiş-məz;




Tərs matris.

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisdir. Bu halda

(1)

bərabərliyini ödəyən A^-1 matrisinə A matrisinin tərsi deyilir.

(A^-1)^-1 = A (2)

Yəni A və A^-1 matrisləri qarışılıqlı tərs matrislərdir. Verilmiş A matrisinin tərs A^-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərqli olması zəruri və kafi şərtdir.

∆ (3)

Determinantı sıfıra bərabər , yəni ∆(A)=0 olan kvadrat A matrisinə cirlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfıra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cirlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

Matrisin ranqı.
Tutaq ki, (m×n) ölçülü A=matrisi verilmişdir. Bu matrisin ixtiyari k sayda sətrinin ixtiyari k sayda sütunu ilə kəsişdiyi elementlər k-tərtibli bir kvadrat matris təşkil edir. Bu k-tərtibli matrisin determinantına A martisinin k-tərtibli minoru deyilir. Burada k ədədi m və n ədədlərinin kiçiyindən böyük ola bilməz.

A matrisinin heç olmasa bir elementi sıfırdan, fərqlidirsə, onda onun sıfırdan fərqli minorları içərisində elə birisi vardır ki, onun tərtibi ən böyükdür. A matrisinin sıfırdan fərqli minorları tərtiblərinin ən böyüyünə həmin matrisin ranqı deyilir. A matrisinin ranqını r(A) ilə işarə etsək, onun üçün

0 (1)

bərabərsizliyi doğru olar.

Xətti tənliklər sistemi və onların həlli üsulları.

1. 
   Kramer qaydası
   

{ (1)

Buradakı iki tərtibli determinantları

∆= , ∆₁=, ∆₂=ilə işarə etsək, sistemin yeganə (∆) x=, y= (2)

həlli (1) sisteminin yeganə həlli olur. (2) düsturuna Kramer düsturları, ∆ determinantına isə (1) sisteminin determinantı deyilir.

Üçməchullu üç xətti tənlik sistemi.

(3)

∆= , ∆₁=, ∆₂= , ∆= ,

Onda (3) sistemi

(4)

kimi yazılır. ∆ olduqda bu sistemin yeganə həlli var.

x=, y= , z= (5)

Kramer düsturudur.

2. 
   Xətti tənliklər sisteminin tərs matrisin köməyi ilə həlli.
   

Tutaq ki, A və B verilmiş matrislərdir.

AX=B (6) tənliyinə matris tənlik deyilir.

} (7)
Bu sistemi matris şəklində yazaq;

Onda bu sistem Ax=B olar. ∆(A)≠0 olduqda x=A^-1B olar. Bu xətti tənliklər sisteminin tərs matrisin köməyi ilə həllidir.

3. 
   Qauss üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli.
   

Xətti tənliklər sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olmadıqda yəni sistem

.


(1)

şəklində olduqda isə onun həllinə Kramer qaydasını bilavasitə tətbiq etmək olmur.Buna görədə (1) şəklində xətti tənliklər sistemini çox zaman məchulların ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Qauss üsulu ilə həll edirlər. , Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vursaq , alınan tənliyini sistemin 2-ci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxırıq. Aldığımız tənlikdə x₁ məchulu iştirak etmir.

.

Sonra sistemin 1-ci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq alınan tənliyi sistemin ücüncu tənliyindən tərəf- tərəfə çıxırıq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini

. (2)
yeni (2) sisteminin ikincidən sonrakı tənliklərindən də yuxarıdakı qayda ilə, x₂ məchulu yox edilir. Prosesi bu qayda ilə davam etməklə (1) sistemi ona ekvivalent olan

(3)
sisteminə gətirilir. (3) sisteminə pilləvari sistem, və s. əmsallarına isə sistemin baş elementləri deyilir.

Kroneker- Kapelli teoremi.
. (1)
Bu sistemin əsas və genişlənmiş matrislərini yazaq.
A= və B=
Teorem ; (1) sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olması zəruri və kafidir, belə ki,

1. 
   r(B) r(A)=k, ( k min (m,n) olduqda (1) sistemi uyuşmayandır.)
   
2. 
   r(B)=r(A) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda ;
   

1. 
   r(B) = r(A)=n olduqda sistemin həlli yeganədir və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır.
   
2. 
   r(B) = r(A)=k, (k min(m,n) olduqda isə sistemin həlli sonsuz saydadır.)
   

Bazis minoru haqqında teorem.
Ranqı r olan A matrisinin sıfırdan fərqli olan r tərtibli minoruna onun bazis minoru deyilir.A matrisinin sıfırdan fərqli bir neçə r-tərtibli minoru ola bilər. Bu halda, həmin minorların hər biri həmin matrisin bazis minotu olur.

A matrisin, kəsişmələrində bazis minorun elementləri yerləşən sətir və sütunlarına bazis sətirləri və bazis sütunları deyilir.

Teorem ; Bazis sətirləri ( sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin istənilən sətri

(sütunu) onun bazis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasıdır.

Deməli, A matrisinin xətti asılı olmayan sətirlərinin sayı onun ranqına bərabərdir.


Xətt və onun tənliyi.

Tərif 1.___Verilmiş Oxy koordinat sistemində L xəttinin tənliyi elə F(x,y)=o (1) tənliyinə deyilir ki, onu yalnız və yalnız bu xətt üzərindəki nöqtələrin koordinatları ödəyir.

Tərif 2.____x və y dəyişənlərinə nəzərən iki dərəcəli tənliklə təyin olunan xətt (əyri) ikitərtibli xətt(əyri ) adlanır.
Düz xəttin polyar koordinat sistemində tənliyi.
Düz xəttin polyar koordinat sistemində tənliyini cıxarmaq üçün,müstəvi üzərində polyar koordinat sistemi və hər hansı L düz xəttini götürək. Polyusdan L düz xəttinə ON perpendikulyarı çəkib bu perpendikulyar üzərində O nöqtəsindən L düz xəttinə tərəf istiqamət təyin edək. və vektorunun OP oxu ilə əmələ gətirdiyi müsbət bucağı α ilə işarə edək.

L düz xətti üzərində nöqtəsi götürsək onda n

və

ifadələrinin sol tərəfləri bərabər olduğundan , alarıq. N

(1) p M

<sub>(1) ifadəsi L düz xəttinin polyar koordinat sistemində α φ p

tənliyi adlanır. 0

L

Düz xəttin ümumi tənliyi.
Düz xəttin ümumi tənliyi (1) şəklindədir. Burada A,B və C əmsallarının qiymətlərindən asılı olaraq həmin tənliyin təyin etdiyi düz xəttin verilmiş koordinat sisteminə görə necə yerləşdiyini tədqiq edək.
1 . olsun . Onda (1) tənliyini .

və ya (2) olar.

(2) tənliyi bucaq əmsalı və ordinat oxundan ayırdığı parçanın qiyməti olan düz xəttin tənliyidir.

2. olsun. Bu halda (1) tənliyini (3) şəklində yazmaq olar. (3) tənliyi absis oxuna paralel olan düz xəttin tənliyidir.

3. olduqda (1) tənliyini (4)



şəklində yazmaq olar, bu da ordinat oxuna paralel düz xəttin tənliyidir.

4. A≠0, B≠0 və C=0 olduqda (1) tənliyini (5)

şəklində yazmaq olar, buda koordinat başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyidir.

5. A≠0, B=0 və C=0 olduqda (1) tənliyini x=o (6) şəklində yazmaq olar

bu da ordinat oxunun tənliyidir.

6. A=C=O və B≠O olduqda (1) tənliyi obsis oxunun y=o (7) tənliyinə çevrilir.
Düz xəttin parçalarla tənliyi.
Koordinat oxlarının hec birinə paralel olmayan koordinat baş-

lanğıcından keçməyən L düz xətti götürək. Düz xəttin obsis və

ordinat oxlarını kəsdiyi nöqtələr uyğun olaraq M(a,o) və y

N(o,b) olsun.L düz xəttinin tənliyini L N(o,b)



(1)
şəklində yazsaq, şərtə görə A≠0, B≠0 və C≠0 olar.

M(a,o) və N(o,b) nöqtələri L düz xətti üzərində yerləşdiyin- M(a,0)

dən, onların koordinatları (1) tənliyini ödəyir. 0 x

Aa+C=o, Bb+C=o Buradan ;

və (2) z



(1) tənliyini Ax+By=- C şəklində yazaraq, bərabərliyin hər iki tərəfini

(- C) –yə bölsək

və (2) bərabərliklərini nəzərə alsaq ;



(3)
olar. Bu tənliyə düz xəttin parçalarla tənliyi deyilir.</sub>


Müstəvi üzərində düz xətt. Düz xəttin normal tənliyi.
Müstəvi üzərində (0×y) koordinat sistemi və ∀ L düz xətti götürək. Koordinat başlanğıcını polyus və absis oxunu polyar ox hesab etsək , alınan polyar koordinat sistemində L düz xəttinin tənliyi y

ρ cos(α-φ)=p (1)

olacaqdır. (1) tənliyinin sol tərəfini açsaq n

ρ cosφ∙cosα+ρ sinφ∙sinα=p N

və polyar koordinatlarla düzbucaqlı koordinatlar

arasındakı x=ρcosφ və y=ρsinφ əlaqə düsturla- p α ρ M(x,y)

rından istifadə etsək φ

x cosα+ysinα-p=0 (2) 0 x

tənliyini alarıq. Bu tənlik düz xəttin normal tənliyi L

və ya düz xəttin tənliyinin normal şəkli adlanır. P

və α ədədlərinə normal tənliyin parametirləri deyilir.

Düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi.



y=kx+b (1)

Tənliyinə düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi deyilir.

b=0 olduqda (1) tənliyi y=kx şəklinə düşür, y=kx isə koordinat başlanğıcından keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyidir.

k=0 olduqda (1) tənliyi y=b şəklinə düşür , bu da absis oxuna paralel olan düz xəttin tənliyidir.

M₀ (x₀, y₀) nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi

y - y₀ = k (x-x₀)

şəklindədir.

M₁ (x₁, y₁) və M₂ (x₂, y₂) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyi

olar.

Nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə.
Verilmiş M_o (x_o, y_o) nöqtəsindən Ax + By + C =0 (1) düz xəttə qədər olan məsafəni tapmaq üçün əvvəlcə düz xəttin (1) tənliyini normal şəklə salmaq , hər iki tərəfini μ ədədinə vururlar.

Bu tənliyin normal tənlik olması üçün

olmalıdır. Birinci iki bərabərlikdən μ vuruğunu tapaq;

μ =

μ ədədinə normallaşdırıcı vuruq deyilir. (1) tənliyini normal şəklə gətirdikdən sonra M₀ (x₀, y₀ ) nöqtəsindən həmin düz xəttə qədər olan məsafə

düsturu ilə hesablanır.