Mühazirə mətnləri Mövzu 1 : Ədədi ifadə. Ədədi bərabərlik və onun xassələri

Mövzu 7 . İrrasional ədəd anlayışı. Mənfi olmayan həqiqi ədədlər

çoxluğu və onlar üzərində hesab əməlləri

Qeyd edək ki, parçaların ölçülməsi nəticəsində sonsuz onluq kəsr alına bilər.

Lakin belə kəsrlərin həmişə dövrü kəsr olacağını hökm etmək olmaz. Asanlıqla isbat etmək olar ki, elə parçalar var ki, onların uzunluğunu rasional ədədlə ifadə etmək mümkün deyil. Beləliklə, biz ortaq ölçüsüz parçalar anlayışını daxil edə bilərik.

Tərif . vahid parça ( ölçü vahidi), verilmiş ixtiyari parça olduqda vahidində parçasının uzunluğunu rasional ədədlə ifadə etmək mümkün olmadıqda və parçalarına ortaq ölçüsüz parçalar deyilir.

Ortaq ölçüsüz parçaların varlığını asanlıqla isbat etmək olar. Bu məqsədlə əvvəlcə aşağıdakı teoremi isbat edək.

Teorem. Kvadratı 2- yə bərabər olan rasional ədəd yoxdur, yəni olarsa, rasional ədəd ola bilməz.

İsbatı : Əksini fərz edək. Fərz edək ki, şərtini ödəyən ədəd rasional ədəd ola bilər. Onda ədədi şəklində ixtisar olunmayan kəsrdir və yaza bilərik. Sonuncu bərabərlikdən alırıq. Bu bərabərlik isə onu göstərir ki, və . Ona görə də ədədi şəklində cüt ədəd olur. Bunu nəzərə aldıqda və ya olduğunu alırıq. Sonuncu bərabərlik isə onu göstərir ki, və . Bu da o deməkdir ki, də cüt ədəddir, yəni yazmaq olar. Beləliklə, şəklini alır. Bu halda isə kəsri ixtisar olunan kəsr olur.Bu da göstərir ki, fərziyyəmiz doğru deyil. Deməli, şərtini ödəyən ədəd rasional ədəd deyil.

Göstərilən şərti ödəyən ədədi qeyri – rasional, daha dəqiq desək, irrasional ədəd adlandırmaq qəbul olunmuşdur. Artıq aydındır ki, vahidində uzunluğun ifadə olunduğu ədəd şərtini ödəyən hər hansı parçası ilə ortaq ölçüsüz parça olar. Beləliklə, biz ortaq ölçüsüz parçaların varlığını aşkar etdik. Belə parçalara ən tipik misal tərəfi vahid parçasına bərabər olan kvadratın diaqonalını göstərmək olar. İsbat etdiyimiz teoremdən alınır ki, kvadratın tərəfi ilə diaqonalının ortaq ölçüsü yoxdur, yəni, diaqonal müsbət rasional ədədlə ifadə oluna bilmir. Belə parçanın uzunluğu dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrlə ifadə olunur.

Beləliklə, dövrü olmayan sonsuz onluq kəsr şəklində göstərilə bilən ədədlərə irrasional ədəd deyilir. Məsələn, .

Müsbət irrasional ədədlər çoxluğunu simvolu ilə, müsbət rasional ədədlər çoxluğunu isə simvolu ilə işarə edək. Onda bu iki çoxluğun birləşməsi olan çoxluğu bizə yeni bir ədədi çoxluq verir. Bu yeni çoxluq müsbət həqiqi ədədlər çoxluğu adlanır və simvolu ilə işarə edilir.

Beləliklə, natural ədədlər çoxluğu, mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu, mənfi olmayan rasional ədədlər çoxluğu və nəhayət, mənfi olmayan həqiqi ədədlər çoxluğu arasında aşağıdakı daxilolma münasibəti ödənilir.

Mənfi olmayan həqiqi ədədlər çoxluğunun aşağıdakı xassələri var.

1. 
   müsbət həqiqi ədədlər çoxluğu da digər çoxluqlar kimi nizamlı çoxluqdur.
   
2. 
   çoxluğunda ən kiçik və ən böyük ədəd yoxdur. çoxluğunun ixtiyari iki elementi arasında sonsuz sayda müsbət həqiqi ədəd yerləşir.
   

Həqiqi ədədlər üzərində əməlləri təyin etməzdən əvvəl həqiqi ədədin təqribi

qiyməti ( sonsuz onluq kəsrin onluq yaxınlaşması ) anlayışını təyin etmək lazımdır. Həqiqi ədədin təqribi qiymətini iki yolla – artığı ilə və əskiyi ilə təyin edirlər.

Tutaq ki, ixtiyari həqiqi ədəddir. ədədinin - ya qədər dəqiqliklə əksiyi ilə təqribi qiyməti ( - cı onluq yaxınlaşası ) sonlu onluq kəsrinə deyilir. Bu sonlu onluq kəsri almaq üçün verilmiş kəsrinin tam hissəsini və ilk sayda onluq işarəni saxlayıb, digər onluq işarələri atmaq kifayətdir. həqiqi ədədinin dəqiqliklə artığı ilə təqribi qiyməti isə ( yəni - nın dəqiqliklə əskiyi ilə təqribi qiymətinin sonuncu onluq işarəsini 1 vahid böyütməklə alınan ) ədədi olacaqdır.

Aşkardır ki, ixtiyari həqiqi ədədi üçün münasibəti doğrudur. Məsələn, ədədinin dəqiqliklə əskiyi ilə götürülmüş onluq yaxınlaşması , artığı ilə isə ədədləridir.

Göründüyü kimi, həqiqi ədədin hər bir onluq yaxınlaşması sonlu onluq kəsrdir. Deməli, həqiqi ədədlər üzərində hesab əməllərinin yerinə yetirilməsi qaydaları rasional ədədlər üzərindəki əməl qaydalarına gətirilir. Məsələn, ədədinin dəqiqlikləri ilə onluq yaxınlaşmalarını yazaq.

İndi isə həqiqi ədədlər üzərində hesab əməllərini təyin edək.

Tutaq ki, və verilmiş həqiqi ədədlərdir. Bu ədədlərin əskiyi ilə - cı onluq yaxınlaşmaları və , artığı ilə - cı onluq yaxınlaşmaları isə və olsun. Yəni ,

1.Toplama. və müsbət həqiqi ədədlərinin cəmi elə cəminə deyilir ki, bu ədəd bərabərsizliyini ödəsin.