Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 8. Halqa vY meydan.

<sub>Qrup cYbrlYr içYrisindY Yn sadYsidir, belY ki, burada ancaq bir cYbri YmYl tYyin olunur. Lakin bir çox hallarda eyni bir coxluqda bir neçY cYbri YmYl tYyin etmYk vY belY cYbrlYrin xassYlYrini öyrYnmYk zYrurYti meydana gYlir.

Tutaq ki, hYr hansı K çoxluğu vY bu çoxluqda tYyin olunmuş iki binar YmYl verilmişdir. Bu YmYllYrdYn birini toplama, digYrini isY vurma YmYli adlandıraq. lbYttY, ixtiyari tYbiYtli çoxluqlarda tYyin olunmuş bu YmYllYr adi toplama vY vurma YmYllYrindYn fYrqlYnir.</sub>

TYrif 1. İki cYbri binar YmYl tYyin olunmuş cYbri o zaman halqa adlanır ki, aşağıdakı şYrtlYr ödYnilsin:

1. cYbri + YmYlinY nYzYrYn kommutativ qrup olsun;

2. cYbri qruppoid olsun, yYni K çoxluğu vurma YmYlinY nYzYrYn qapalı olsun: .

_{3. K-da tYyin olunmuş toplama vY vurma YmYllYri distributivlik qanununa tabe olsun:}

.

_{gYr YlavY olaraq, K-da tYyin olunmuş vurma YmYli kommmutativ olarsa, yYni}

_{münasibYti ödYilYrsY, onda K halqası kommutativ halqa adlanır. gYr}

münasibYti ödYnilYrsY, onda K halqası assosiativ halqa adlanır. HYr iki xassY ödYndikdY isY ona assosiativ-kommutativ halqa deyilir.

Qeyd edYk ki, halqanı (2,2,1) tipli cYbri şYklindY dY yazmaq olar.

<sub>Misallar. 1. a) bütün cüt YdYdlYr çoxluğu, b) bütün tam YdYdlYr çoxluğu, c) rasional YdYdlYr çoxluğu, ç) hYqiqi YdYdlYr çoxluğu adi toplama vY vurma YmYllYrinY nYzYrYn kommutativ halqa tYşkil edir.

2) Ymsalları hYqiqi YdYdlYr olan bütün çoxhYdlilYr çoxluğu çoxhYdlilYrin toplanması vY vurulması YmYllYrinY nYzYrYn kommutativ halqa YmYlY gYtirir.

3) asanlıqla yoxlamaq olar ki, riyazi analiz kursundan mYlum olan parçada tYyin olunmuş kYsilmYz funksiyalar çoxluğu funksiyaların toplanması vY vurulması YmYllYrinY nYzYrYn halqanın tYrifinY daxil olan şYrtlYri ödYyir. Bu çoxluq da assosiativ-kommutativ halqadır.

Halqanın sadY xassYlYri. HYr şeydYn öncY qeyd edYk ki, halqa additiv qrup olduğundan

additiv qrupun mYlum xassYlYri halqa üçün dY öz gücündY qalır. Buna görY dY vurma YmYli ilY

bağlı xassYlYrY baxaq.</sub>

XassY 1. n sayda vY elementlYri üçün

_{bYrabYrliklYri doğrudur.}

XassY 2. İxtiyari elementlYri üçün vY bYrabYrliklYri doğrudur.

XassY 3. İxtiyari halqada bYrabYrliklYri doğrudur.

XassY 4.

ElY halqalar vardır ki, vY elementlYri üçün münasibYti doğrudur. gYr halqada belY elementlYr varsa, onda bu elementlYr sıfrın bölYnlYri adlanır.

<sub>Misal 1. KYsilmYz funksiyalar halqasında f(x) vY g(x) funksiyalarını aşağıdakı kimi tYyin edYk.



vY

Aydındır ki, bu funksiyalarının hYr biri eyniliklY sıfıra bYrabYr olmadığı halda f(x)g(x)=0 -dır. DemYli, baxılan halqada bu elementlYr sıfrın bölYnlYridir. Bütün YdYdi halqalar (yYni kompleks YdYdlYr halqasının alt halqaları) sıfırın bölYnlYrinY malik olmayan halqalardır.

TYrif 2. gYr assosiativ, kommutativ vY vahidi olan halqada sıfrın bölYnlYri yoxdursa, onda belY halqa tamlıq oblastı vY ya tamlıq halqası adlıanır.</sub>

MYsYlYn, tam YdYdlYr halqası tamlıq oblastıdır. Eyni qayda ilY rasional YdYdlYr vY hYqiqi YdYdlYr halqası tamlıq oblastıdır.

faktor-qrupu YmYli ilY halqaya çevrilir vY bu halqada sıfrın bölYnlYri vardır. MYsYlYn, vY elementlYri sıfırdan fYrqlidir, lakin . DemYli, halqası tamlıq oblastı deyil.

_{Alt halqa. FYrz edYk ki, K halqa , M isY bu halqanın müYyyYn alt çoxluğudur.}

TYrif 3. M çoxluğu K-da tYyin olunmuş YmYllYrY nYzYrYn halqa YmYlY gYtirirsY, onda cYbrinY halqasının alt halqası deyilir.

_{Asanlıqla yoxlamaq olar ki, hYr bir halqanın sıfır elementdYn ibarYt bir elementli alt çoxluğu halqa tYşkil edir. Bu halqaya sıfır alt halqa deyilir.}

Verilmiş _{çoxluğunun K halqasının alt halqası olub olmamasını aşağıdakı YlamYtin kömYyi ilY yoxlamaq olar.}

<sub>Teorem 1. K halqasından götürülmüş M çoxluğu onda vY yalnız onda althalqa YmYlY gYtitir ki,

münasibYti ödYnilsin.

Isbatı. gYr M althalqa olarsa onda o, toplamaya nYzYrYn alt qrup olacaqdır. Buna görY dY M çoxluğu toplama, çıxma vY vurma YmYllYrinY nYzYrYn qapalıdır. ZYrurilik isbat olundu.

TYrsinY, tutaq ki, (*) münasibYti ödYnir. İsbat edYk ki, M althalqa tYşkil edir. İsbat etmYk üçün YvvYlcY M-in additiv qrup olmasını göstYrmYk lazımdır.

münasibYtlYrindYn görünür ki, M çoxluğu toplama, Yks elementY keçmY YmYllYrinY görY qapalıdır vY 0 elementini daxilinY alır. DemYli o, altqrupdur.

(*) şYrtinY YsasYn M çoxluğu vurma YmYlinY nYzYrYn qapalıdır vY onun elementlYri üçün distributivlik xassYsi doğrudur. YYni M alt halqadır. Teorem 1 isbat olundu.

Göründüyü kimi, alt çoxluğun alt halqa YmYlY gYtirmYsi üçün zYruri vY kafi şYrt onun çıxma vY vurma YmYllYrinY nYzYrYn qapalı olmasıdır.

Halqanın additiv qrupunun xassYlYrinidYn alırıq:</sub>

a) _;

b) _;

c) .

Tutaq ki, assosiativ, kommutativ vY vahidi olan halqası verilmişdir. Aydındır ki, ixtiyari elementlYri üçün aşağıdakı münasibYtlYr ödYnilir:

TYrif 4. gYr tamlıq oblastı olmaqla, onun hYr bir elementinin tYrsi varsa, onda belY halqa meydan adlanır.

<sub>Misallar. 1. Rasional YdYdlYr çoxluğu burada tYyin olunmuş toplama vY vurma YmYllYrinY nYzYrYn meydan tYşkil edir.

2. HYqiqi YdYdlYr çoxluğu bu çoxluqda tYyin olunmuş toplama vY vurma YmYllYrinY nYzY-

rYn meydan tYşkil edir.</sub>

3. Bütün şYklindY rasional Ymsallı YdYdlYr çoxluğuna baxaq:

.

GöstYrYk ki, bu çoxluq toplama vY vurma YmYllYrinY nYzYrYn qapalıdır.

;

.

K-nın elementlYri hYqiqi YdYd olduğu üçün cYbri assosiatv, kommutativ, vahidi olan (a=1; b=0 olduqda 1 elementi alınır) vY sıfrın bölYnlYri olmayan halqadır. GöstYrYk ki, o, meydandır.

HYr şeydYn YvvYl qeyd edYk ki, bu halqada . Doğrudan da, Yksini fYrz edYrYk, olduğunu qYbul edYk. gYr, mYsYlYn, olarsa, yaza bilYrik:

.

Lakin bu ola bilmYz. Çünki, bu bYrabYrliyin sol tYrYfi rasional, sağ tYrYfi isY irrasional YdYddir. BelYliklY, vY demYli .

İndi isY tYrs elementin varlığını göstYrYk. Aydındır ki,

.

(isbat edin). DemYli, vY buna görY dY

.

Yoxlayaq ki, bu YdYd YdYdinin tYrsidir:

.

TYrif 5. gYr halqasında müYyyYn natural n YdYdi üçün

olarsa, onda n YdYdinY bu halqanın xarakteristikası deyilir. gYr belY natural YdYd yoxdursa, onda halqanın xarakeristikası sıfra bYrabYr hesab olunur. halqasının xarakteristikası 12-yY bYrabYrdir, çünki,

.

meydanının xarakteristikası 0-a bYrabYrdir.

MühazirY 11. Kompleks YdYdin aksiomatik tYrifi

Riyaziyyatın inkişaf tarixindY dYfYlYrlY YdYd anlayışının genişlYndirilmYsi zYrurYti yaranmışdır. Tam Ymsallı Yn sadY xYtti tYnliklYrin hYlli zamanı rasional YdYdlYrdYn istifadY etmYli oluruq. HYqiqi YdYdlYr meydanınada ixtiyarı hYqiqi Ymsallı ( ) xYtti tYnliyinin hYlli vardır. Lakin, diskriminantı mYnfi olan kvadrat tYnliyin, xüsusi halda, Yn sadY tYnliyinin hYqiqi YdYdlYr meydanında hYlli yoxdur. CYbri tYnliklYr nYzYriyyYsinin bir sıra mYsYlYlYrinin hYlli hYqiqi YdYdlYr meydanın elY genişlYndirilmYsini tYlYb edirdi ki, bu genişlYnmYdY hYmin kvadrat tYnliklYrin hYlli mümkün olsun.

TYrif 1. meydanı o zaman kompleks YdYdlYr meydanı adlanır ki, aşağıdakı şYrtlYr ğdYnsin:

a) meydanı meydanının alt meydanıdır;

b) elY elementi var ki, ;

c) ixtiyari elementini yeganY qayda ilY kimi yazmaq olar.

Teorem. Kompleks YdYdlYr meydanı vardır.

İsbatı. vvYlcY hasilindY aşağıdakı kimi iki binar YmYl tYyin edYk:

;

.

Asanlıqla görmYk olar ki, cYbri kommutativ qrupdur. GöstYrYk ki, cYbri dY kommutativ qrupdur. Vurma YmYlinin tYrifindYn onun kommutativ YmYl olduğu aydındır. Assosiativliyi yoxlayaq.

.

DigYr tYrYfdYn,

.

Alınan bYrabYrliklYr assosiativliyinin doğtuluğunu göstYrir. cütü vahid elementdir:

.

cütü toplama YmYli üçün neytral elementdir.

MYlumdur ki, . münasibYti yalnız vY yalnız a vY b YdYdlYrindYn heç olmazsa biri sıfırdan fYrqli olduqda doğrudur. Bu halda asanlıqla yYqin etmYk

olar ki,

.

Doğrudan da,

.

BelYliklY, cYbrinin meydan olması üçün ancaq distributivlik xassYsinin ödYnildiyini yoxlamaq qalır. Bunun üçün ayrı-ayrılıqda vY cYmlYrini hesablayaraq, nYticYlYri müqayisY etmYklY bYrabYrliyin doğruluğunu yoxlayaq.

.

DigYr tYrYfdYn, isY

.

Göründüyü kimi alınmış ifadYlYr eynidir.

meydanında hYqiqi YdYdlYr meydanı ilY izomorf olan alt meydan vardır.

çoxluğu meydanında tYlYb olunan alt meydan YmYlY gYtirir. Doğrudan da, asanlıqla yoxlaya bilYrik ki, vY .

İndi isY işarY edYk. bYrabYrliyi göstYriri ki, . DigYr tYrYfdYn,

(1)

vY bu göstYriliş yeganYdir. Doğrudan da,

olarsa, onda yaza bilYrik: .

Teoremin isbatını başa çatdırmaq üçün meydanı ilY izomorf olan elY meydanı quraq ki, olsun. Bu halda, C meydanı üçün tYrif 1-in b) vY c) şYrtlYri ilY birlikdY a) şYrti dY ödYnmiş olar, yYni tYlYb olunan meydan qurulmuş olar. (1) bYrabYrliyi göstYrir ki, hYr bir şYklindY elementi a ilY YvYz etsYk, biz yeni simvolik cYmlYr çoxluğunu alarıq. C çoxluğunda toplama vY vurma YmYllYrini aşağıdakı kimi tYyin edYk:

;

.

Onda, U vY C çoxluqları arasındakı inikası biyektivdir. Bu biyektiv inikas ilY yeni meydanını alırıq vY o, meydanı ilY izomorfdur. Asanlıqla görmYk olar ki, meydanında . Qurmaya görY . Teorem isbat olundu.
Kompleks YdYdlYrin cYbri, hYndYsi vY triqonometrik şYkli

meydanının elementlYri kompleks YdYdlYr adlanır. Tutaq ki, hYr hansı kompleks YdYddir. vvYlki paraqrafdakı teoremY YsasYn bu YdYdi yeganY qayda ilY

şYklindY yazmaq olar. Kompleks YdYdin belY yazılışı onun cYbri şYkli adlanır. a YdYdinY z kompleks YdYdinin hYqiqi hissYsi deyilir vY kimi işarY olunur. b YdYdinY isY z kompleks YdYdinin xYyali hissYsinin Ymsalı deyilir vY kimi işarY olunur. Kompleks YdYdlYrin müxtYlif göstYrilişlYrindYn istifadY olunur. Bu vY ya digYr göstYriliş baxılan konkret mYsYlYdYn asılıdır.

O

x

y

ŞYkil 2.

BYzYn kompleks YdYdlYri müstYvinin nöqtYlYri vY ya vektorları şYklindY tYsvir etmYk faydalı olur. MüstYvi üzYrindY düzbucalı Dekart koordinat sistemi götürYk. HYr bir nöqtY onun koordinatları adlanan bir yeganY nizamlı cütY qarşı qoyulur vY tYrsinY. BelYliklY, müstYvinin nöqtYlYr çoxluğu ilY cütlYr çoxluğu arasında qarşılıqlı biriymYtli uyğunluq müYyyYn olunur. DigYr tYrYfdYn müstYvinin nöqtYlYri ilY onların radius vektorları arasında biyektiv uyğunluq mövcuddur. HYr bir kompleks YdYd isY bir nizamlı cütlY tYyin olunduğundan kompleks YdYdlYr çoxluğu ilY müstYvi nöqtYlYri vY belYliklY, radius vektorları çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymYtli uyğunluq vardır. Buna görY dY hYr bir kompleks YdYdini koordinatları olan nöqtY vY ya bu nöqtYnin radius vektoru ilY (şYkil 2) göstYrmYk olar. BelY göstYriliş kompleks YdYdin hYndYsi şYkli adlanır.

Tutaq ki, cYbri şYkildY iki kompleks YdYd verilmişdir: . Yuxarıda deyilYnlYrY YsasYn bu iki kompleks YdYd o zaman bYrabYr olar ki, a=c vY b=d bYrabYrliklYri doğru olsun. YdYdinY YdYdinin kompleks qoşması deyilir. MYsYlYn, YdYdinin komleks qoşması YdYdidir; üçün isY olar. hYqiqi YdYd olduqda .

inikası meydanının özünY biyektiv inikasıdır.

Teorem 1. inikası meydanının özünY izomorfizmidir.

Isbatı. Yuxarıda deyildiyi kimi, bu inikas biyektiv inikasdır. GöstYrYk ki, o, homomorfizmdir. olarsa, onda,

.

Eyni qayda ilY,

;

.

Göründüyü kimi inikası baş YmYllYri saxlayır vY demYli, izomorfizmdir. Teorem 1 isbat olundu.

Qeyd edYk ki, inikası meydanının özünY hYqiqi YdYdlYr meydanını yerindY saxlayan yeganY avtomorfizmidir.

Qoşma kompleks YdYdlYrin Ysas xassYlYri içYrisindY aşağıdakı iki münasibYti qeyd edYk:

1) İxtiyari kompleks YdYdi üçün ; ;

2) İxtiyari kompleks YdYdi üçün .

Toplama YmYlinin tYrifinY görY iki kompleks YdYdi, hYndYsi olaraq, vektorların toplanması qaydası – paraleloqram qaydası – ilY toplamaq olar (şYk. 2). Vurma YmYli isY belY sadY hYndYsi interpretasiyaya malik deyil. Lakin vurma YmYlini dY Yyani olaraq tYsvir etmYk mümkündür. Bunun üçün kompleks YdYdin triqonometrik şYkli daha Ylverişlidir.

Tutaq ki kompleks YdYdinin müstYvi üzYrindY hYndYsi tYsviri verilmişdir (şYk. 2). Radius vektorun absis oxunun müsbYt istiqamYtli ilY YmYlY gYtirdiyi bucağı ilY işarY edYk. MüstYvi üzYrindY polyar koordinat sistemini elY daxil edYk ki, polyar ox absis oxunun müsbYt yarım hissYsi ilY üst-üstY düşsün. Analitik hYndYsYdYn mYlum olduğu kimi müstYvinin koordinat başlanğıcından fYrqli hYr bir nöqtYsi bir cüt YdYdlY (polyar koordinatlarla) birqiymYtli tYyin olunur: . Burada hYmin nöqtYnin radius vektorunun uzunluğunu, isY bu radius vektorla absis oxu arasındakı bucağı göstYrir. Qeyd edYk ki, polyar bucağı aralığında dYyişir. MYlumdur ki, radius vektorun uzunluğu düsturu ilY hesablanır. vY koordinatları üçün yaza bilYrik:

. (2)

Onda alarıq:

. (3)

Çox vaxt alınmış ifadYdY bucağı üzYrindY yuxarıda qoyulan mYhdudiyyYt atılaraq, qYbul olunur.

TYrif 1. (3) bYrabYrliyindY sonuncu ifadYyY kompleks YdYdin triqonometrik şYkli deyilir; YdYdi kompleks YdYdin modulu, isY onun arqumenti adlanır.

kompleks YdYdinin modulu kimi işarY olunur. 0 YdYdinin modulu 0-a bYrabYrdir, arumenti isY tYyin olunmamışdır. Trionometrik şYkildY yazılış yeganY deyil. VerilYn kompleks YdYdin arqumenti (2) sistemindYn YdYdinin tam misillYri dYqiqliyi ilY tYyin olunur. Bu o demYkdir ki, YgYr hYr hansı YdYdi (2) sistemini ödYyirsY, yYni arqumentdirsY, onda YdYdlYrinin hYr biri dY arqumentdir. DemYli, kompleks YdYdin arqumenti bir qiymYtli tYyin olunmamışdır. Onu biriymYtli olaraq, yuxarıda olduğu kimi, ancaq uzunluqda yarım intervalda tYyin etmYk olar. BelY yarım interval olaraq, mYsYslYn, götürülY bilYr. Kompleks dYyişYnli funksiyalar nYzYriyyYsindY adYtYn belY interval olaraq aralığı qYbul olunur. Arqumentin bu şYrti ödYyYn qiymYtlYri onun baş qiymYti adlanır vY kimi işarY olunur. (2) bYrabYrliklYrindYn asanlıqla I vY IV koordinar bucaqlarında yerlYşmiş kompleks YdYdlYr üçün (ordinat oxu üzYrindY yerlYşYn nöqtYlYr istisna olmaqla):

alınır. II vY III koordinat bucaqları daxilindY yerlYşmiş kompleks YdYdlYr üçün isY uyğun olaraq,

bYrabYrliklYri doğrudur.

Koordinat oxları üzYrindY (koordinat başlanğıcı istisna olmaqla) yerlYşmiş YdYdlYr üçün isY arqument belY tYyin olunur: müsbYt hYqiqi YdYdin arqumenti 0-a, mYnfi YdYin arqumenti -yY bYrabYr qYbul olunur; xYyali ox üzYrindY yerlYşYn kompleks YdYdin arqumenti xYyali hissYnin Ymsalı müsbYt olduqda -yY, mYnfi olduqda isY -yY bYrabYrdir.

YdYdinin tam misllYri çoxluğu hYqiqi YdYdlYrin additiv qrupunda alt qrup tYşkil edir.

aralığından olan hYr bir hYqiqi YdYd bu alt qrupa görY bir qonşu sinif müYyyYn edir vY bu siniflYr cüt-cüt kYsişmir. YdYdinin doğurduğu qonşu sinif kimi işarY olunur.

Misallar. 2, -1, -i, -1+i kompleks YdYdlYrini triqonometrik şYklY gYtirYk. Bunun üçün onların modulunu vY arqumentini tapaq. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki,

.

Yuxarıdakı deyilYnlYrY YsasYn:

.

BelYliklY, bu YdYdlYrin triqonometrik şYkli aşağıdakı kimi olacaqdır:

.

Modulun Ysas xassYlYri aşağıdakı teoremlY ifadY olunur.

İxtiyari vY kompleks YdYdlYri üçün aşağıdakı münasibYtlYr doğrudur:

1) 2) , 3) .

Arqumentin xassYlYrini ifadY edYn aşağıdakı bYrabYrliklYr isY dYqiqliyi ilY ödYnilir:

1. 
   , 2) , 3) .
   

MühazirY 12. Muavr düsturu. Kompleks YdYdin kökü

Kompleks YdYdlYrin vurulmasını triqonometrik şYkildY verilmiş YdYdlYr üzYrindY yerinY yetirmYk daha sadYdir.

Toerem 1. Tutaq ki, triqonometrik şYkildY iki kompleks YdYd verilmişdir:

.

Onda,

.

İsbatı. VerilYn YdYdlYrin hasilini tapaq.

.

Teorem 1 isbat olundu.

NYticY. İxtiyari n natural YdYdi üçün

.

Alınan düstur Muavr düsturu adlanır.

Teorem 1-Y YsasYn inikası multiplikativ qrupunun faktor-qrupuna süryektiv homomorfizmidir. Onun nüvYsi şYrtlYrini ödYyYn kompleks YdYdlYrdYn ibarYtdir, yYni . HomomorfizmlYr haqqında Ysas teoremY görY aşğıdakı izomorfizmi alırıq:

.

Kompleks YdYdin kökü. Tutaq ki, n natural YdYddir.

TYrif. u kompleks YdYdi o zaman hYr hansı z kompleks YdYdinin n-ci dYrYcYdYn kökü adlanır ki, bYrabYrliyi doğru olsun.

MYsYlYn, olduğu üçün i YdYdi 1–in 4-cü dYrYcYdYn köküdür. Eyni qayda ilY yoxlamaq olar ki, YdYdi 8-in 3-cü dYrYcYdYn köküdür.

Muavr düsturunu tYtbiq etmYklY kompleks YdYdin n-ci dYrYcYdYn köklYrini tapaq.

Teorem 2. Vahidin n-ci dYrYcYdYn n sayda kökü vardır vY bu köklYr aşağıdakı düsturla hesablanır:

.

İsbatı. Aydındır ki, vahidin n-ci dYrYcYdYn ixtiyari kökü sıfırdan fYrqlidir. Buna görY dY onu triqonometik şYkildY yazmaq olar. BirqiymYtli yazılışdan istifadY edYrYk onu

kimi göstYrYk. ŞYrtY YsasYn . Muavr düsturuna görY yaza bilYrik:

.

Triqonometrik şYkildY göstYrilişin yeganYliyinY YsasYn . müsbYt YdYd olduğu üçün buradan alırıq. YenY dY, yeganYliyY görY

.

BelYliklY,

.

olduğundan . DemYli,

.

Yoxlama göstYrir ki, tapılan YdYdlYr vahidin n-ci dYrYcYdYn köklYridir. Teorem 2 isbat olundu.

TYrif. Vahidin n-ci dYrYcYdYn ibtidai kökü onun elY kökünY deyilir ki, yerdY qalan köklYrin hYr biri hYmin kökün müYyyYn natural qüvvYtinY bYrabYrdir.

Vahidin n-ci dYrYcYdYn köklYrinin aşağıdakı xassYlYri vardır.

1^o. Vahidin n-ci dYrYcYdYn köklYri 1 radiuslu, mYrkYzi koordinat başlanğıcında olan düzgün n- bucaqlının tYpY nöqtYlYrindY yerlYşmişdir.

2^o. Vahidin n-ci dYrYcYdYn köklYri üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

.

3^o. Vahidin n-ci dYrYcYdYn köklYri doğuranı  olan n tYrtibli dövrü qrupdur. Bu qrup C_n kimi işarY olunur.

4^o. Vahidin n-ci dYrYcYdYn hYr bir ibtidai kökü C_n qrupunun doğuranıdır.

5^o. olarsa, vahidin n-ci dYrYcYdYn ibtidai köküdür.

Bu xassYlYr Muavr düsturu vY teorem 2-nin bilavasitY nYticYsidir.

Teorem 3. Sıfırdan fYrqli z kompleks YdYdinin n-ci dYrYcYdYn ixtiyari kökü onun hYr hansı bir qeyd olunmuş kökü ilY vahidin n-ci dYrYcYdYn müYyyYn bir kökünün hasilnY bYrabYrdir.

İsbatı. Tutaq ki, z YdYdinin hır hansı qeyd olunmuş köküdür. Onda, . gYr n-ci dYrYcYdYn başqa bir kök olarsa, onda . İkinci bYrabYrliyi birinciyY tYrYf-tYrYfY bölsYk alarıq . BelYliklY, vahidin n-ci dYrYcYdYn müYyyYn bir köküdür. Buradan alırıq: . Teorem 3 isbat olundu.

NYticY. Triqonometrik şYkildY verilmiş sıfırdan fYrqli kompleks YdYdinin n-ci dYrYcYdYn n sayda kompleks kökü vardır vY bu köklYr

düsturları ilY hesablanır.

İsbatı. Muavr düsturuna YsasYn

.

DemYli, YdYdi z-in n-ci dYrYcYdYn köküdür. gYr başqa kök olarsa, onda vahidin n-ci dYrYcYdYn mYyyYn kökü üçün olmalıdır. TYrsinY, bilavasitY yoxlama ilY görmYk olar ki, belY müYyyYn olunan hYr bir YdYdi z-in n-ci dYrYcYdYn köküdür. DemYli, üçün n sayda qiymYt mümkündür vY bunlar götürmYklY alınır:

.

NYticY isbat olundu.

Misal. 1. Vahidin 3-cü dYrYcYdYn bütün köklYrini tapaq. Teorem 2-yY YsasYn yaza bilYrik:

.

parametrinY göstYrilYn qiymYtlYri verYrYk üç müxtYlif kök tapırıq:

,

,

.

CYbr olaraq elY cütünü götürYk ki, burada, , ; baş YmYl olaraq kompleks YdYdlYrin vurulması YmYlini götürYk. , olduğu üçün cYbri kommutativ qrup olacaqdır. Bu qrup vahidin 3-cü dYrYcYdYn köklYri qrupu adlanır. Analoji olaraq

,

olduqda (burada ), vahidin -ci dYrYcYdYn köklYri qrupu alınır.

2. YdYdinin 4-cü dYrYcYdYn bütün kompleks köklYrini tapaq.

.

VerilYn YdYd IV koordinat bucağında yerlYşir. Buna görY dY onun arqumenti

olacaqdır. DemYli,

.

k-ya uyğun qiymYtlYri vermYklY bütün köklYri tapa bilYrik:

,

,

,

.
Kompleks YdYdin kvadrat kökü.

Yuxarıda triqonometrik şYkildY verilmiş kompleks YdYddYn kökalma qaydası ilY tanış olduq. Burada cYbri şYkildY verilmiş kompleks YdYddYn kvadrat kökalma qaydasını öyrYnYcYyik.

Tutaq ki, kompleks YdYdindYn 2-ci dYrYcYdYn kök almaq tYlYb olunur. HYmin köklYrdYn ixtiyari birini kimi işarY edYk. Onda:

.

Buradan:

.

BelYliklY, x vY y hYqiqi YdYdlYri bu sistemdYn tYyin oluna bilYr. gYr ikinci bYrbYrliyin hYr iki tYrYfini kvadrata yüksYldYrYk, Yks işarY ilY götürsYk aşağıdakı sistemi alarıq:

DemYli, Viyet teoreminY YsasYn vY aşağıdkı kvadrat tYnliyin köklYridir:

.

Bu tYnliyin iki kökü vardır:

.

olduqda birinci kök müsbYt, ikinci kök isY mYnfidir. DemYli,

vY .

Buradan yaza bilYrik:

.

gYr bütün mümkün hallara baxcaq kökü üçün dörd müxtYlif qiymYt alarıq ki, bunlardan ancaq ikisi götürülY bilYr (bax §3). HYr şeydYn YvvYl qeyd edYk ki, YgYr kök olarsa, ikinci kök olacqdır. DemYli, yalnız bir kökü tapmaq lazımdır. gYr olarsa, YdYdi yuxarı yarımmüstYvidY yerlYşmişdir vY buna görY dY . Onda , yYni olmalıdır. gYr olarsa, YdYdi aşağı yarımmüstYvidY yerlYşmişdir vY buna görY dY . Onda , yYni olmalıdır. BelYliklY, alırıq: 1) olarsa, iki kompleks kök belY tapılır:

; (1)

2) olduqda isY köklYr

(2)

düsturları ilY tapılır (hYr iki düsturda köklYr üçün eyni zamanda üst işarYlYr vY ya eyni zamanda alt işrYlYr götürülür).

Misal. kompleks YdYdinin kvadrat köklYrini tapaq. olduğu üçün (2) düsturlarını tYtbiq etmYk lazımdır.

.

BelYliklY, kompleks YdYdinin iki kvadrat kökü vardır:

.

Yoxlama ilY yYqin etmYk olar ki, bu YdYdlYr hYqiqYtYn axtarılan kvadrat köklYridir.