Mustaqil ish mavzu : Natural sonlar to‘plamiga akslantirish prinsipi

Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi  Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar.
  Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan.
Ko'pincha matematika va tabiiy fanlarda biz kabi binomial darajalarni hisoblashimiz kerak.
(x + 3) 2 yoki (2x - 7) 5
(Binomial (x + a) ga o'xshash narsa, bu kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.)
Birinchi misol, binomial kvadratlar juda oddiy, biz buni doimo bajaramiz. Ikkinchi variant esa, xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biroz ishlab chiqishni talab qiladi.
Yaxshi yangilik shundaki, ushbu kengaytmalar har doim ma'lum bir naqshlarga ega va biz ularni oson bajarilishini ta'minlash uchun foydalanishimiz mumkin.
Kvadrat: (x + a) 2
Umumiy nuqtai nazar uchun kvadratik binomiyaning kvadratik funktsiyaga ajralishi quyidagicha ko'rinadi.

Ba'zida biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan barcha juftlarni eslab qolish uchun "birinchi, tashqi, ichki, oxirgi" ma'nosini anglatuvchi Fo-l mnemonikasidan foydalanamiz.

Natijada har doim faqat bitta x, bitta y va bitta aralash a'zo, ikkalasini ham o'z ichiga oladi.

kengaytirilgan atamalar (x + a) 4 orqali chapdan o'ngga o'qishda koeffitsientlar 1, 4, 6, 4 va 1 ga teng.

Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,., ,.. u1 u2 un. Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,..., ,... u1 u2 un . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan U1+U2+…+Un+…=  __k=1 u k
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb ataladi.
Sn= u1+ u2+…+ un yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan S1, S2,…,SN,…
ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi.