Normal va musbat operatorlar Chiziqli operator uchun bo’lsa, u normal deb ataladi. Bu holda va operatorlar L da umumiy xos e vektorga ega. Mos xos sonlar o’zaro kompleks qo’shma sonlar. Haqiqatan , , bo’lsa, u holda bundan .
Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli operator uchun xos bektorlardan iborat ortonormal basis mavjud bo’lishi uchun uning normal bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Chiziqli operator uchun - uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis va - ularga mos xos sonlar bo’lsin. Bu bazisda ushbu matrisaga, esa ushbu matrisaga ega. Dioganal A va matrisalar o’rin almashish xossasiga ega bo’lgani sababli ya’ni normal.
Teskari tasidiqni n=dimL bo’yicha induksiya ishlatib isbotlaymiz. Agar n=1 bo’lsa, tasdiqning to’g’riligi ravshan. Endi n>1 , - chiziqli va operatorlarning L dagi umumiy xos vektori, va bo’lsin. U holda bo’lib, fazo va ga nisbatan invariant bu ni chiziqli forma deb qaraymiz. Haqiqatan , agar bo’lsa, u holda va . Induksiya faraziga muvofiq da operatorning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazisdir.
Musbat operatorlar Agar chekli o’lchamli unitar L fazodagi chiziqli operator uchun tenglikni qanoatlantiruvchi maxsusmas chiziqli g operator mavjud bo’lsa, musbat deb ataladi. Ravshanki, ham maxsusmas va har qanday uchun .
Teorema . Chekli o’lchamli unitar L fazoda berilgan chiziqli operatorning musbat bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarning musbat bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Chiziqli operator musbat bo’lsin: . U holda , ya’ni o’z-o’ziga qo’shma, va demak, normal. Agar bo’lsa, u holda . Bundan .
Aksincha normal va barcha xos sonlari musbat bo’lsin. U holda biror ortonormal bazisda uning matrisasi quyidagi ko’rinishga ega:
.
Shunday qilib bu yerda g- matrisasi B bo’lgan chiziqli operator.
