N° d'ordre 1053

6.4 Relation projection parallèle / centrale

Pour visualiser l'influence de l'approximation d'une projection centrale en projection parallèle, nous avons fait varier la distance des plans de projection à l'objet observé et calculé la variation des résultats obtenus.
Nous avons modélisé les appareils de prise de vue selon un modèle perspectif, c'est à dire un plan de projection Pi et un centre de projection associé Ci.

Les deux appareils de prise de vue sont caractérisés par:

P1: (0,10,-d) (0,0,-d) (10,0,-d) et C1: (5,5,-d-f)

P2: (10-d,0,-d) (10-d,10,-d) (40-d,0,10-d) et C2: (25-d-f,5,5-d-f)

Nous avons fixé f=50 ce qui correspond à la focale et nous avons fait varier d, ce qui revient à déplacer les appareils de prise de vue dans l'espace.

Pour chaque variation de d, nous avons projeté l'ensemble de points 3D de l'exemple précédent central_loin, qui est aussi celui de l'exemple optique pyramide. Nous avons reconstruit les points 3D avec la méthode en 4 points qui suppose la projection parallèle. Cette méthode nous a donné l'erreur relative de la reconstruction, et nous l'avons reportée sur la figure suivante qui représente d sur l'axe des X en échelle logarithmique, et le pourcentage d'erreur de reconstruction sur l'axe des Y.



La profondeur de l'objet étant de l'ordre de 10, on observe qu'à une distance supérieure à 200, les erreurs deviennent faibles. Elles sont négligeables au dessus de 1000. Ces valeurs correspondent respectivement à un rapport distance / taille de 20 et 100.

Ces résultats résument les exemples précédents et montrent que la projection peut être approximée par une projection parallèle dès que l'on se trouve à une certaine distance de l'objet observé. Ces résultats mériteront d'être approfondis afin d'analyser plus finement les influences de la distance, la taille de l'objet et la focale de l'appareil de prise de vue.

6.5 Exemple pyramide (optique)

X1	Y1	X2	Y2	X3D	Y3D	Z3D
15	150	89	41	0	0	0
454	106	395	186	5	8.8	0
343	188	169	202	7.5	4.4	0
164	34	255	26	2.5	4.4	5
93	128	121	61	2.5	1.1	1.9
306	100	272	126	4.8	5.8	2.1
336	50	457	97	0	8.8	0
112	213	16	124	5	0	0
206	133	157	111	4.7	3.2	2
312	58	370	96	2.1	7.2	1.9

Coordonnées des points sur les plans image et dans l'espace

Les points de cet ensemble sont issus des images de la pyramide que nous avons présentées au cours de ce rapport. La projection est donc centrale, mais elle a aussi subi les distorsions dues à l'optique de l'appareil de prise de vue. D'autre part, la position exacte des points sur l'image peut être entachée d'erreur, ainsi que l'évaluation de la position des points correspondants dans l'espace.

L'objet observé est assez compact et éloigné de l'appareil de prise de vue.

La première étape de calcul de la relation entre les plans images donne:

Homographie entre plans images: a=0.997 b=0.986 c=1 errmc=0 errcoef=0.03

Epipôles calculés: I=(1860, -1177) I'=(1573, -922) errmc=0.0001

Les erreurs aux moindres carrés ainsi que l'autocontrôle sur les coefficients de l'homographie montrent que la résolution est correcte, ce qui permet d'envisager une bonne reconstruction 3D.
Dans la deuxième étape du calcul résumée par les deux tableaux suivants, nous observons une quasi identité des résultats de reconstruction avec les deux méthodes.

- La projection parallèle donne:

Distance totale entre points 3D et points calculés : 2.766678

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=9.25 soit 3.48 % de S

- La projection centrale donne:

Homographie du plan de l'espace vers le plan image de référence: u=0.0174 v=0.0183 w=0.017

Centre optiques calculés: C=(50,5, -5.9, 37.9) C'=(79.9, 26.3, 80.7)

Distance totale entre points 3D et points calculés : 2.659343

Somme des distances réelle S=265.41

Somme des différences E=9.67 soit 3.64 % de S
On remarque que les centres optiques calculés sont aberrants, ce qui montre leur grande instabilité qui s'explique par leur mode de calcul. Le gain par rapport à la méthode à quatre point est minime. Ceci pose le problème des déformations des plans images et de la robustesse de la méthode de calcul.

Xréel	Yréel	Zréel	Xcalc.	Ycalc.	Zcalc.	errmc	dist.
0.00	0.00	0.00	0.00	-0.00	0.00	0.00	0.00
5.00	8.80	0.00	5.00	8.80	0.00	0.00	0.00
7.50	4.40	0.00	7.50	4.40	0.00	0.00	0.00
2.10	7.20	1.90	2.10	7.20	1.90	0.00	0.00
2.50	4.40	5.00	1.80	4.32	5.10	0.03	0.71
2.50	1.10	1.90	2.08	1.38	1.80	0.02	0.51
4.80	5.80	2.10	4.52	5.72	2.16	0.00	0.30
0.00	8.80	0.00	0.00	8.54	-0.06	0.00	0.27
5.00	0.00	0.00	4.44	-0.14	-0.46	0.03	0.74
4.70	3.20	2.00	4.54	3.04	2.09	0.02	0.24

Résultat du calcul avec la méthode à 4 points (projection parallèle)

Xréel	Yréel	Zréel	Xcalc.	Ycalc.	Zcalc.	errmc	dist.
-0.00	-0.00	-0.00	0.00	-0.00	0.00	0.00	0.00
5.00	8.80	0.00	5.00	8.80	0.00	0.00	0.00
7.50	4.40	0.00	7.50	4.40	0.00	0.00	0.00
2.10	7.20	1.90	2.10	7.20	1.90	0.00	0.00
2.50	4.40	5.00	2.50	4.40	5.00	0.00	0.00
2.50	1.10	1.90	2.52	1.53	1.82	18.21	0.44
4.80	5.80	2.10	4.90	5.70	2.17	17.08	0.16
0.00	8.80	-0.00	-0.94	8.72	-0.29	1.07	0.99
5.00	0.00	0.00	4.42	0.12	-0.48	3.61	0.76
4.70	3.20	2.00	5.00	3.17	2.07	41.42	0.31

Résultat du calcul avec la méthode à 5 points (projection centrale)