O liy o'q u V yurtlarining arxitektura V a qurilish ta ’lim y o ‘n alish I talabalari uchun darslik

1 
_ Adf(jc)
y = f ( x )
(8.1)
(8.2)
8.2. E gilgan o ‘qnin g d ifferen sial tenglam asi

---

E g rilik n i v u ju d g a k elish id a k o 'n d a la n g k u ch lam in g t a ’siri kam
boMganligi uchun, ko'ndalang egilishning umumiy holida ham yuqoridagi 
formuladan foydalansa bo'ladi.
Bu yerda r (x) - balkaning egrilik radiusi;
M (x) - egriligi aniqlanayotgan kesimdagi eguvchi moment;
EJ - balkaning bikrligi.
Egilgan o'q n in g tenglam asini tuzish uchun egri chiziq funksiyasi va 
uning egrilik radiusi orasidagi matematik bog'lanishdan foydalanamiz:
Egrilikni yuqoridagi qiymatini o 'z o 'm ig a qo'ysak, 
x, у,
M (x) va EJ ni 
o'zaro bog'laydigan differensial tenglama kelib chiqadi:
Mazkur tenglama 
egilgan o 'qning aniq differensial tenglam asi
deb ata­
ladi. Bu tenglama ikkinchi tartibli chiziqsiz differensial tenglama boMganligi 
uchun, uni integrallash ancha mehnat talab qiladi. Aksariyat amaliy masala- 
larda solqiliklar kichik qiymatlarga ega boMganligi sababli, (8.5) tenglamani 
kichik ko'chishlar uchun taqribiy tenglama bilan almashtiramiz.
(8.5) tenglam aning maxraji ikki qo'shiluvchidan iborat:
Uncha katta boMmagan defonnatsiyalarda ikkinchi qo'shiluvchi birinchi 
qo'shiluvchiga nisbatan ko'p marotaba kichik bo'ladi. Mashinasozlik, samolyot- 
sozlik va binokorlik elementlarida ruxsat etilgan solqilik miqdori balka uzun- 
ligining 1/100 - 1/1000 ulushi qadar belgilanadi. Solqilikning eng katta che­
garasi 1/100 ni olgan taqdirimizda ham q ning qiymati juda kichik son bo'ladi:
d x
2
(8.4)
M { x ) _ ± 
d x 2
E J
(8.5)
y d x )

---

Uning kvadrati esa yanada kichikroq boMadi: tgJq = 0,0004. Bu raqam 
esa I dan ancha kichkina. Shuning uchun bu miqdomi e ’tibordan chetda 
qoldirsak uncha katta xato boMmaydi. N atijada 
balka egilgan о ‘q in in g
taqribiy differensial tenglamasiga
ega boMamiz:
d x2
E J
(8.6)
Bu tenglamani ba’zan elastik chiziqning differensial tenglamasi deb ham 
ataladi. (8.6) formula balkaning istalgan kesimidagi ko‘chishlarni aniqlash 
imkonini beradi.
Eguvchi m om entlam ing ishoralari koordinata o ‘qlarining y o ‘nalishiga 
bogMiq emas. Egilgan o ‘qning botiqligi 
у
o ‘qining musbat tom oniga qara- 
gan boMsa, ikkinchi tartibli hosilaning ishorasi musbat boMadi; buning teska- 
risi boMsa - ishora manfiy olinadi (8.2-rasm).
Y±
d \y
dx2
>0
d x
2
->X
<0
8.2-rasm.
Agar 
у
o ‘qi yuqoriga yo‘nalsa (8.6) formula (+) ishora bilan, pastga yo‘nalsa 
( - ) ishora bilan olinadi. Bundan buyon 
у
o ‘qini ham m a vaqt yuqoriga 
yo‘na!tiramiz va differensial tenglamani musbat ishorali deb qabul qilamiz.
Burilish burchagi 0 (x) va solqilik 
у
(x) ni aniqlash uchun (8.6) ni ket- 
ma-ket integrallaymiz. Bir marta integrallasak, burilish burchagi 0 (x) ni 
aniqlaydigan ifoda kelib chiqadi:
d x + C
(8.7)
d x
J 
E J
Ikkinchi m arta integrallasak, solqilik 
у
(x) ni aniqlaydigan ifodaga ega 
boMamiz:
M { x )
y { x ) = l d x \ ^ - d x + C x + D .
(8.8)
Tenglam alar tarkibiga kirgan ixtiyoriy o ‘zgarmas sonlar С va D tayanch- 
larning xiliga qarab aniqlanadi. Bulami aniqlash tartibi quyida misollar orqali 
tushuntirib beriladi.

---