Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social

MUHOKAMA VA NATIJALAR

Keyinchalik Teylor usuli bilan ko’p matematik olimlar: Lagranj, Koshi, Shlemilha, Rosh, Peano va boshqalar ilmiy izlanishlar olib bordilar. Mana shundan so’ngra usul Teylor qatori darajasiga yetdi. Hozirgi vaqtda bu qator oliy matematikaning asosini tashkil qiluvchi tushunchalardan biri bo’lib hisoblanadi. Teylor qatori yordamida har qanday funksiyani tabiatini o’rganishda juda katta yordam beradi. Quyida mana shunday masalalarni ko’rib chiqamiz.

1. 
   Funksiya limitini hisoblash.
   

Matematik tahlil fanida limitlarni hisoblashning turli usullari mavjud bo’lib , ular bir-biri bilan o’ziga xosligi bilan ajralib turadi.
Aytaylik bizga limit berilgan bo’lib,
bo’lsin. Biz f(x) va g(x) funksiyalarni nuqta atrofida
qatorga yoyib olamiz:

U holda

Boshqa ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda ham shu usulni qo’llash mumkin.

2. 
   Nyuton formulasi va uning Teylor formulasi bilan aloqadorligi.
   

Aytaylik bizga funksiya berilgan bo’lsin, bu yerda .
Makloren formulasini tadbiq etib ,

larni hosil qilib, bulardan

ni hosil qilamiz. U holda bu funksiya uchun Makloren formulasi quyidagicha bo’ladi: + + +
+ + , bu yerda
= .
Agar mєN bo’lsa, u holda (n+1) -chi tartibli xosilalardan boshlab keyingi hadlar nolga teng bo’ladi, ya’ni Nyuton binomini hosil qilamiz:
=1+mx+ + +…+ , =0.
Demak, Nyuton binomi formulasi Teylor formulasining xususiy xoli ekan.

3. 
   F(x,y)=0 tenglamani yechishga tadbiqi.
   

Bizga F(x,y)=0 ko’rinishdagi oshkormas funksiya berilgan bo’lsin. Agar bu tenglamadan y yoki x o’zgaruvchini topish imkoni bo’lsa masala xal bo’lgan bo’ladi, aksincha o’zgaruvchilarga nisbatan yechish imkoni bo’lmasa, uni yechish uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. dagi Teylor formulasini olaylik:
Buni tenglamaga olib borib, algebraik tenglamaga kelamiz. Noma’lum koeffisientlar usulidan foydalanib, koeffisientlarni topamiz va tenglamaning dastlabki taxminiy
yechimini hosil qilamiz. Koeffisientlarning ko’proq topilishi yechimning aniqligini oshirishga olib keladi.
Misol . tenglamani yeching.
Yechish: ni tenglamaga qo’yamiz:



yoki

Noma’lum koeffisientlar usuliga ko’ra:

Bu sistemadan , larni topib,

yechimni hosil qilamiz.
4. ni hisoblashga tadbiqi.
Agar f(x) funksiyaga boshlang’ich funksiya topish mumkin bo’lsa, masala hal, aksincha bo’lsa, Teylor formulasidan foydalanishga to’g’ri keladi.
Misol. ni toping.
Yechish. Ma’lumki,
U holda bo’ladi.
Bu integral o’ziga xos nomga ega bo’lib, u integral sinus deyiladi. Integral sinus nazariy fizikaning ayrim bo’limlarini o’rganishda uchraydi.
5. differensial tenglamani yechishga tadbiqi.
Bizga differensial tenglama berilgan bo’lsin. Uning xususiy yechimini topish uchun boshlang’ich shartlar berilgan bo’lishi kerak. Shu shartlarga asosan nuqta atrofida
funksiyani ko’raylik. Uni ketma-ket n marta differensiallab, ularni tenglamaga qo’yamiz. Boshlang’ich shartlarga asosan, noma’lum koeffisientlarni topib, yechimni hosil qilamiz.
Misol. tenglamani yeching.
Yechish. ekanligini e’tiborga olib,

ko’rinishdagi yechimni olishimiz kerak. Noma’lum koeffisientlarni boshlang’ich shartlardan topamiz: . Ikki marta

differensiallab



Uni tenglamaga qo’yamiz:

.
va x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisientlarni tenglab,

ekanligini ko’ramiz.
Shuning uchun , va
umuman .
Demak , berilgan differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
6. Funksiya qiymatini taqribiy hisoblashdagi tadbiqi.
Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo’lsin. O’zining aniqlanish sohasiga tegishli biror nuqtada funksiya qiymatini hisoblash zarur bo’lsin. Bu masalani yechishga Teylor formulasi taqribiy hisoblash imkonini beradi. Buni misolda ko’rib chiqaylik.
Misol. ni 0,0001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. deb olamiz.
U holda formulaga asosan
deb olib,

0,0001 aniqlikda bo’lishini hisobga olib, natijani olamiz. Oliy matematika kursida barcha elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyilmasini topish mumkin.