O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti

Koshi masalasining qo’yilishi.
(2) tenglama berilgan bo’lib unda f(x,y) funksiya R² tekislikning Гsohasida aniqlangan, uzluksiz va I interval x o’qidagi interval bo’lsin, x₀ ni o’z ichiga oladigan I intervalni va shu I intervalda aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi hamda ushbu
` (4)
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish talab etiladi.
Bu masala qisqacha kabi yoziladi va (2) tenglama uchun Koshi masalasi (yoki boshlang’ich masala ) deyiladi.
3-shartni qanoatlantiruvchi funksiya I intervalda (k) Koshi masalasini yechimi deyiladi. Endi Г sohaning (k) masalasi yagona yechimga ega bo’ladigan (x,y) nuqtalaridan tuzilgan kesmini deb belgilaylik. Shunga ko’ra to’plamning har bir (x,y) nuqtasida (1) tenglamaning yagona integral chizig’i o’tadi.
4-ta’rif. (2) differensial tenglama x,c o’zgaruvchilarning biror o’zgarish sohasida aniqlangan hamda x bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi


(5)

funksiya berilgan bo’lsin. Agar nuqta uchun (5) munosabat c ning (5) qiymatini bir qiymatli aniqlasa va bu qiymatni ushbu (5) tenglikka qo’yish natijasida (2) tenglama hosil bo’lsa, u holda (5) funksiya (2) tenglamaning D₂ to’plamda aniqlangan umumiy yechimi deyiladi.

5-ta’rif. (2) tenglama va (5) chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin.
Agar
1) f(x,c) funksiya I intervalda x bo’yicha uzluksiz hosilaga ega bo’lsa;
2) Har bir nuqta uchun (4) munosabat c ning (5) qiymatini bir qiymatli aniqlasa;
3) funksiya (2) tenglamaning yechimi bo’lsa, uholda (5) funksiya (2)tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’ladigan yechim xususiy yechim deyiladi, (2) tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy masala hisoblanadi. Barcha yechimlarini topish jarayoni differensial tenglamani integrallash deyiladi. Agar (2) chi tenglamaning yechimini elementar funksiyalar va ularning integrallari yordamida yozish mumkin bo’lsa, u holda differensial tenglama kvadraturalarda integrallanadi deyiladi.
to’plamning har bir (x,y) nuqtasidan o’tadigan integral chiziqlar yagona emasligi kelib chiqadi. Har bir nuqtasidan yechimning yagonaligi buziladigan yechimlar maxsus yechimlar deyiladi.Umumiy yechish formulasi (4) maxsus yechimlarni o’z ichiga olmaydi. Agar Ф(x,y,c)=0 munosabat to’plamda umumiy yechimni aniqlasa, u holda (5) ni (2) differensial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Masalan: chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin. U holda izlangan differensial tenglama y`=y bo’ladi. Ravshanki, bu tenglamaning umumiy yechimi:
Agar umumiy yechim ma’lum bo’lmasa, Koshi masalasini yechish qiyinlashadi.Bunda differensial tenglama taqribiy integrallash metodlari yordamida yechiladi.