O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent davlat pedagogika universiteti huzuridagi pedagog kadrlarni qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tarmoq markazi

Sonli to`plamlarning aniq chegaralari.
11-ta`rif. Agar shunday haqiqiy son mavjud bo`lsaki, to`plamning barcha elementlari haqiqiy sondan katta bo`lmasa, ya`ni
(1.4)
bo`lsa, u holda to`plam yuqoridan chegaralangan deb ataladi.
Bu ta`rifni qanoatlantiruvchi barcha haqiqiy sonlarga, to`plamning yuqori chegarasi deb ataladi.
Xuddi shunday to`plamning quyi chegarasi ta`riflanadi.
12-ta`rif. Agar to`plam ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo`lsa, ya`ni bo`lsa, u holda to`plam chegaralangan deb ataladi.
13-ta`rif. Yuqoridan chegaralangan to`plamning yuqori chegaralaridan eng kichigi uning aniq yuqori chegarasi deb ataladi va kabi belgilanadi, quyidan chegaralangan to`plamning quyi chegaralaridan eng kattasi uning aniq quyi chegarasi deb ataladi va kabi belgilanadi.
Ravshanki,


o`rinli.
1-misol. to`plamning aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini toping.
Yechish. bo`lgani uchun bo`lganda ga ega bo`lamiz va yetarlicha katta larda 1 ni, bo`lganda 0 ni olamiz. bo`lganda ga ega bo`lamiz va yetarlicha katta larda 1 ni, bo`lganda ni hosil qilamiz. Shunday qilib, quyi chegara 0, yuqori chegara .
1-teorema. Agar bo`sh bo`lmagan to`plam yuqoridan chegaralangan bo`lsa, u holda bu to`plamning aniq yuqori chegarasi, ya`ni mavjud bo`ladi; agar bo`sh bo`lmagan to`plam quyidan chegaralangan bo`lsa, u holda bu to`plamning aniq quyi chegarasi, ya`ni mavjud bo`ladi.
Isbot. Aniq yuqori chegaraning mavjudligini isbotlash bilan chegaralanamiz. Teorema shartiga ko`ra bo`sh bo`lmagan to`plam , ya`ni o`zida kamida bitta elementni saqlaydi. Quyidagi ikki hol bo`lishi mumkin:
1). to`plam o`zida kamida bitta manfiy bo`lmagan elementni saqlaydi. Faraz qilaylik to`plamning barcha elementlari manfiy bo`lmasin, teorema shartiga ko`ra (1.4) shart bajariladi. Faraz qilaylik bo`lsin, u holda butun manfiy bo`lmagan son bo`lib, , bu yerda . Demak (1.5)
Agar to`plamda ixtiyoriy element bo`lsa, u holda (1.5) ga asosan bo`ladi. to`plam elementlarining butun qismlari to`plami ni qaraylik. Bu to`plam chekli bo`sh bo`lmagan butun manfiymas sonlar to`plami bo`lgani uchun bu to`plamda eng katta element mavjud bo`ladi. Quyidagicha belgilash olamiz:

Bu to`plam to`plamning shunday elementlaridan tuzilganki, ularning butun qismlari ga teng; to`plam bo`she mas va .
to`plam to`plam elementlarining birinchi o`nli belgilaridan tuzilgan bo`lsin. Bu to`plam chekli va bo`sh bo`lmaganligi sababli to`plam elementlarining birinchi o`nli belgilari ichidan eng kattasi mavjud bo`ladi.
bo`lsin. U holda . Bu to`plam chekli va bo`sh bo`lmaganligi sababli to`plam elementlarining ikkinchi o`nli belgilari ichidan eng kattasi mavjud bo`ladi,
.
Bu jarayonni davom ettirsak, bo`sh bo`lmagan ketma-ketlikni va o`nli belgilarning shunday ketma-ketligini hosil qilamizki,
.
o`nli kasrni qaraylik. Agar u davrda 9 raqamga ega bo`lsa, u holda uni nol davrli o`nli davruy kasrga almashtirish mumkin. Ixtiyoriy uchun tengsizlik o`rinli. ekanligini, ya`ni
(1.6)
(1.7)
ekanligini ko`rsataylik. Ixtiyoriy olamiz va bo`lsin. Agar barcha to`plamlarga tegishli bo`lsa, u holda har qanday larda bo`lib, bo`ladi. Agar shunday soni mavjud va, , lekin bo`lsa, u holda
(1.8)
bo`ladi. Shunday qilib, (1.6.) shart tekshitildi. (1.7) shartni tekshiramiz. va bo`lsin.
(1.9)
tengsizlikdan
(1.10)
kelib chiqishini ko`rsatamiz.
Haqiqan, agar bo`lsa, u holda bo`ladi, lekin bo`lgani uchun
Agar va , u holda bo`ladi, lekin bo`lgani uchun bo`ladi. Agar bu jarayon davom ettirilsa, va (1.9) tengsizliklardan (1.10) ni olamiz.
Agar (1.9) tengsizlik har qanday uchun o`rinli bo`lsa, u holda bo`lib, bu shartga teskari bo`ladi.Demak, shunday soni mavjud bo`ladiki, bo`ladi, lekin, to`plamdagi har qanday son dan katta bo`ladi. Shunday qilib, (1.6) va (1.7) shartlar bajariladi, ya`ni . Agar to`plam kamida bitta manfiy bo`lmagan elementni o`zida saqlasa, u holda to`plam manfiy bo`lmagan sonlardan tuziladi va . Shuning uchun bo`sh bo`lmagan, yuqoridan chegaralangan to`plam aniq yuqori chegaraga ega bo`ladi.
2). to`plamning hamma elementlari manfiy bo`lsin. Bu holda uchun quyidagini yozish mumkin:
. (1.11)

uchun (1.11) yozuvdagi sonlarning ichidagi eng kichigi bo`lsin. to`plam elementlarining birinchi o`nli belgilaridan eng kichigi bo`lib, ; to`plam elementlarining ikkinchi o`nli belgilaridan eng kichigi bo`lib, ; va h.k. ko`rsatilgan usul bilan , va h.k. son hosil bo`ladiki, birinchi holdagidek ko`rsatish mumkinki, bu son to`plamning aniq yuqori chegarasi bo`ladi.