O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika ta‘lim yo‘nalishi 152-guruhi talabasi Rustamova Muniraning tayyorlagan kurs ishi

§.Gilbert fazosida to’la uzluksiz operatorlar
Gilbert fazosidagi to‘la uzliksiz operatorlar ko‘pgina qo‘shimcha xossalarga egadir. Bunda Gilbert fazosi o‘z - o‘ziga qo‘shma fazo ekanligi katta rol o‘ynaydi. Quyidagi teoremadan Gilbert fazosida to‘la uzluksiz operatorning boshqa teng kuchli ta’rifi kelib chiqadi. Bu yerda separabel Gilbert fazosi deb faraz qilamiz.
1-teorema. Gilbert fazosidagi operator to‘la uzluksiz bo‘lishi uchun u ixtiyoriy sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka aks ettirishi zarur va kifoyadir.
Isbot. to‘la uzluksiz operator bo‘lib, ketma-ketlik elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda ketma-ketlik norma bo‘yicha chegaralangan , demak, ketma-ketlik nisbiy kompaktdir, ya’ni uning ixtiyoriy cheksiz qismidan kuchli yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik tanlab olish mumkin.
uzluksiz bo’lgani uchun ketma –ketlik elementga sust yaqinlashuvchidir, ya’ni ketma-ketlik faqatgina yagona limit nuqtaga ega. Demak, ketma-ketlik elementga kuchli yaqinlashuvchidir, aks holda dan farqli nuqtaga kuchli ( va demak, sust) yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik tanlab olish mumkin bo‘lar edi.
Natija. operator to‘la uzluksiz, ketma-ketlik elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda
.
Isbot . ixtiyoriy natural son uchun

.
1-teoremaga asosan ketma-ketlik ga sust yaqinlashgani uchun ketma-ketlik ga kuchli yaqinlashadi, ya’ni va chegaralanganligi sababli ketma-ketlik ga sust yaqinlashishini hisobga olsak, ixtiyoriy uchun ; xususan,

.
Demak,
.*
Endi biz o‘z-o‘ziga qo’shma bo‘lgan to‘la uzluksiz operatorlarni batafsilroq o'rganamiz. Xususan, bunday operatorlar uchun chiziqli algebra kursidan ma’lum bo’lgan matritssalarni diagonal ko’rinishga keltirish teoremasiga o’xshash teoremani isbotlaymiz. Avval quyidagi ikki lemmeni keltiramiz.
1-Lemma. kompleks Gilbert fazosi bo’lib, undagi o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan operator bo‘lsin. U holda bu operatorning xos qiymatlari haqiqiy bo’lib, har xil xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlar ortogonaldir.
Isbot. son operator uchun xos qiymat bo’lsa, u holda
.
Demak,
,
bu yerda bo’lgani uchun , ya’ni -xaqiqiy son.
Endi , sonlar operatorning xos qiymatlari bo’lib, va mos ravishda ularning xos vektorlari bo’lsin. Bu holda
,
bo’lgani uchun , ya’ni .*