O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika ta‘lim yo‘nalishi 152-guruhi talabasi Rustamova Muniraning tayyorlagan kurs ishi

§. To’la uzluksiz operatorlarning xossalari
Banax fazosi bo’lib, ketma ketlik ni o’zini o’ziga aks ettiruvchi chiziqli operatorlar ketma – ketligi bo’lsin.
Teorema – 1. Agar to’la uzluksiz operatorlarning ketma – ketligi biror operatorga norma bo’yicha yaqinlashsa, u holda, ham to’la uzluksiz operatordir.
Isbot. fazodagi birlik shardan ixtiyoriy ketma-ketlikni olamiz. operatorning to’la uzluksizligini ko’rsatish uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo’lgan ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini ko’rsatish kifoya.
operator to’la uzluksiz, demak ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi

qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin, bu yerda ketma-ketlik

ketma-ketlikning qism ketma-ketligidir. Endi ketma- ketlikni olamiz. to’la uzluksiz bo’lgani sababli ketma-ketlikdan shunday qism ketma-ketlik ajratish mumkinki, ushbu

Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi.

Demak, ixtiyoriy m uchun ketma-ketlik yaqinlashuvchi. Endi ketma-ketlik yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun ketma-ketlikning fundamental ekanligini isbotlash kifoya (chunki E- To’la fazo ).
ketma-ketlik birlik shardan olinganligi tufayli munosabat ixtiyoriy uchun o’rinli. ketma-ketlik operatorga norma bo’yicha yaqinlashgani uchun shunday natural son mavjudki, ushbu

tengsizlik barcha uchun o’rinli.

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lgani tufayli , u fundamentaldir, yani shunday son mavjudki, ushbu

tengsizlik ixtiyoriy va sonlar uchun bajariladi. Demak , , uchun

Shunday qilib, yaqinlashuvchi ketma-ketlik, ya’ni —to’la uzluksiz.

Natija. Normalangan fazoda to’la uzluksiz operatorlar yopiq qism fazo hosil qiladi.
Darxaqiqat, to’la uzluksiz operatorlarning chiziqli kombinatsiyasi xam to’la uzluksizligi bevosita tekshiriladi. Chunki, agar kompakt to’plamlar bo’lsa, u holda aks ettirish uzluksiz bo’lgani sababli, to’plam xam kompaktdir. Bu qism fazoning operator normasiga nisbatan yopiqligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
2-teorema. operator Banax fazosida to’la uzluksiz, esa shu fazoda chegaralangan operator bo’lsa u holda va operatorlar to’la uzluksizdir.

Isbot. birlik shar bo’lsa, u holda chegaralangan to’plamdir. (chunki —chegaralangan operator). Demak, -nisbiy kompakt to’plam, ya’ni - to’la uzluksiz. to’la uzluksiz bo’lgani uchun - nisbiy kompakt to’plam. operator uzluksiz bo’lgani uchun ham nisbiy kompaktdir, ya’ni to’la uzluksiz operator. Natija. Cheksiz o’lchamli normalangan fazoda to’la uzluksiz operator chegaralangan teskari operatorga ega emas.

Darxaqiqat aks holda birlik operator to’la uzluksiz bo’lar edi. Demak, cheksiz o’lchamli fazoda birlik shar nisbiy kompakt to’plam bo’lar edi. Bu esa quyidagi lemmaga zid.
Lemma. (F. Risslemmasi). Normalangan cheksiz o’lchamli fazoda chiziqli erkli elementlarni olib, En orqali elementlarning chiziqli qobig’ini belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik mavjud:
1) ,

2) ,
3) , bu yerda

.
Isbot. sifatida vektorni olamiz; sistema chiziqli erkli bo’lgani uchun . Ixtiyoriy chekli o’lchamli qism fazo yopiq bo’lgani tufayli

.
fazodan shartni qanoatlantiruvchi vektorni tanlab olamiz .

Endi vektorni olamiz. Uning uchun 1) va 2) shartlarning bajarilishi ravshan. Ushbu

munosabatga asosan

Demak vektor uchun 3) shart ham bajariladi.

Lemmadan ko’rinib turibdiki, cheksiz o’lchamli normalangan fazoning birlik sharida

tengsizlikni qanoatlantiradigan ketma-ketlik mavjud, ya’ni birlik shar nisbiy kompakt to’plam emas.
3-teorema. E, F Banax fazolar bo’lsin. chiziqli operator to’la uzluksiz bo’lishi uchun uning qo’shma operatori to’la uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.
Isbot. to’la uzluksiz operator bo’lsin fazoning birlik sharidan biror ketma-ketlikni olamiz. fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

Ravshanki to’plam har bir nuqtada chegaralangan:

Ushbu tengsizlikdan sistemaning tekis darajada uzluksizligi kelib chiqadi. to’plam fazodagi birlik shar bo’lsa, to’plam fazoda nisbiy kompaktdir. Demak funksionallar sistemasi kompakt to’plamda tekis darajada uzluksiz va uning har bir nuqtasida bu Sistema birgalikda chegaralangan. Akoli teoremasiga asosan to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lgan qism ketma-ketlik mavjud. Ushbu
Munosabatlardan ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi. to’la bo’lgani uchun yaqinlashuvchi, ya’ni -to’la uzluksiz.

to’la uzluksiz bo’lsa , ham to’la uzluksiz bo’lishi shunga o’xshash isbotlanadi.

tenglamani olamiz.
4-teorema. Banax fazosida aniqlangan to’la uzluksiz operator va ixtiyoriy musbat son berilgan bo’lsin. operatorning absolyut qiymati dan katta bo’lgan xos qiymatlaridan iborat to’plamni bilan belgilaymiz. U holda ning elementlariga mos keluvchi chiziqli erkli xos vektorlarning soni cheklidir.
Isbot . to’plamdan biror

Ketma-ketlik tanlab olamiz( ular orasida tenglari ham bo’lishi mumkin)

, ya’ni har bir son ning xos qiymati va . Endi ularga mos keluvchi xos vektorlarning chiziqli erklilarining soni chekiz deb faraz qilaylik . orqali vektorlarning chiziqli qobig’ini belgilaymiz. Yuqoridagi F.Riss lemmasiga asosan ushbu
1) ,
2) ,
3)
shartlarni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik mavjud. Ixtiyoriy natural son uchun ushbu

munosabatlar o’rinli , ya’ni chegaralangan ketma-ketlik. to’la uzluksiz bo’lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin

So’ngra bo’lgani uchun .Bundan
bu yerda

3-