O`zbekiston respublikasi

0. Ketma-ketlik limitining mavjudligi.
Faraz qilaylik, fazoda ketma-ketlik va nuqta берилган
bo`lsin.
1-teorema.Agar fazoda
ketma-ketlik
limitga ega bo’lsa;
,
u holda
bo’ladi.
◄ Aytaylik 
bo’lsin.
Limit ta’rifiga binoan uchun
bo’ladi. Ravshanki, 
bunda 
Keyingi munosabatlardan , uchun
ya’ni 
bo’lishini topamiz. Bundan esa
bo’lishi kelib chiqadi.►
2-teorema.Agar fazodagi

---

ketma-ketlik va nuqta uchun
bo’lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bo’lib,
bo’ladi.
◄ Teoremaning sharti hamda limit ta’rifidan foydalanib topamiz: bo’ladi.
bo’ladi.
........................................................................................
bo’ladi.
Agar 
deyilsa, unda da bir yo’la
tengsizliklar bajariladi. U holda 
yani,
bo’ladi. Demak 
.►
Bu teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
fazoda
ketma-ketlik limitga,
ega bo’lishi uchun bir yo’la
bo’lishi zarur va yetarli.
Bu muhim tasdiq bo’lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini o’rganishni sonlar ketma-ketliklar
limitlarini o’rganishga olib keladi. Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-
ketlik deyiladi.

---

Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim teoremani keltiramiz. Avvalo
fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.
3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bo’lsin . Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun
tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.
3-teorema (Koshi teoremasi).ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental
bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teorema 9-ma’ruzada keltirilgan 3-teorema kabi isbotlanadi.
3