Propuesta para Trabajo de Grado

9. Circuncentro

El circuncentro, es el centro del círculo circunscrito conformado por los vértices de un triángulo [10], como se observa en la figura 4.


Figura 4. Circuncentro 1
Dados 3 puntos en ; , y ; los cuales representan los vértices de un triángulo, para encontrar el circuncentro , primero se debe encontrar el vector normal al triángulo . Esto se realiza sencillamente a partir del producto cruz entre 2 vectores formados por los lados de los triángulos:

Y se convierte el vector resultante, en un vector unitario:


Una vez que se tiene la normal del triángulo, se toman 2 lados del triángulo, y se encuentran sus puntos medios. En este caso los puntos de denominarán y :



Finalmente, se encuentran 2 vectores cuyo origen son los puntos y , y cuya dirección es perpendicular al lado adyacente del triángulo. En este caso los puntos de denominarán y . Estos vectores se encuentran fácilmente como el producto cruz entre el vector normal , y la diferencia entre un vértice y el punto medio hallado en el triángulo; de la siguiente manera:



En la figura 5 se pueden apreciar estos vectores:


Figura 5. Circuncentro 2
Finalmente, se puede observar que se tiene el vector , y su punto de origen ; y el vector , y su punto de origen . Bastará con aplicar la ecuación para hallar la interseccion entre 2 líneas para encontrar el circuncentro :

10. Mallas poligonales

Una malla poligonal es una superficie representada por un conjunto de vértices en el espacio tridimensional, unidos entre sí por líneas, las cuales dan la forma a la superficie. Las mallas poligonales permiten representar objetos tridimensionales en diversos sistemas, como los computadores. Una cara es polígono plano ubicado sobre la malla, conformado por una sucesión cerrada de líneas y puntos; siendo el triángulo la representación de una cara que implica menos vértices. Toda la superficie de una malla poligonal, está compuesta de polígonos. Cuando se tiene una malla triangular, todas las mallas de la cara son triángulos. Del mismo modos, si la malla es cuadrangular, pentagonal, etc.; se compondrá de caras con el mismo número de lados cada una, dependiendo del polígono que la caracteriza. En la figura 6 se muestran 2 ejemplos de mallas triangulares:


Figura 6. Ejemplos de mallas triangulares

11. Malla triangular Delaunay

Una malla triangular Delaunay, es aquella en la que el círculo circunscrito de cada cara no contiene los vértices de otros triángulos. En la figura 7 se muestra un ejemplo de una malla triangular Delaunay:



Figura 7. Malla triangular Delaunay.

Se puede observar en la imagen que el círculo circunscrito de cada cara no contiene los vértices de ningún otro triángulo. Por lo tanto, esta malla cumple con la característica de Delaunay [12].

Para comprobar si una malla triangular es Delaunay, para cada cara triangular se calcula el circuncentro , como ya se ha visto anteriormente. El radio del círculo circunscrito se puede calcular fácilmente, ya que simplemente es la distancia del circuncentro a cualquier vértice del triángulo:


Finalmente, para asegurarse de que la malla es Delaunay, basta con comparar el radio del circulo circunscrito, con las distancias del centro del círculo a los demás vértices: si en algún momento la el radio es mayor que la distancia obtenida, la malla no es Delaunay. En el caso contrario, si no existe una distancia menor al radio calculado para cada vértice, la malla será Delaunay.

12. Mallas Simplex

En términos generales, una malla simplex se define a partir de una -celda en , la cual es la unión de -celdas tal que cada vértice que pertenece a , pertenece a diferentes -celdas. Así, una -celda es un vértice en , una -celda es una recta en ; y como se define recursivamente, una -celda es la unión de rectas en [3] [5].
Una malla -simplex (malla simplex de grado ) en se define como una -celda en compuesta de la unión de -celdas. Así, cada vértice de tiene vértices vecinos.
El concepto de malla simplex en 3 dimensiones se representa por una malla -simplex, donde cada vértice tiene coordenadas espaciales , y . Así, la malla -simplex está definida como una -celda compuesta de la unión de -celdas, donde cada vértice tiene 3 vecinos. La figura 8 muestra 2 ejemplos de mallas 2-simplex; una sección de una superficie y una esfera:


Figura 8. Ejemplos de mallas 2-simplex
Una malla 2-simplex también se conoce como el dual de una malla triangular [3], y se puede construir a partir de esta [13]. Primero se generan los vértices, los cuales se definen como los centros de las caras en la malla triangular. Luego, cada vértice generado se conecta con los vértices vecinos, teniendo en cuenta que son los centros de las caras vecinas en la malla triangular. La figura 9 muestra un ejemplo de esta construcción:



Figura 9. Dualidad triangulación-simplex
Se puede observar que la línea no puntuada representa la malla triangular, mientras que la línea puntuada representa la construcción de la malla simplex. Una vez que se tiene cada vértice, este simplemente se une con sus respectivos vecinos para formar las líneas. Así que el problema consiste en encontrar los centros de los triángulos.
Dados 3 puntos en ; , y ; los cuales representan los vértices de un triángulo, para encontrar el punto del centro del triángulo , se utiliza la siguiente ecuación:


Cabe destacar que se producirá una malla 2-simplex más estable, si la triangulación cumple con la propiedad de Delaunay. En este caso, las caras de la malla 2-simplex tendrán siempre entre 5 y 6 lados.