Qrup: 1020s Fənn: Riyazi analiz və analitik həndəsə

3. Əyrinin qabarıq və çöküklüyu. Əyilmə nöqtəsi.

Müstəvi üzərində birqiymətli diferensiallanan f (x) funksiyasının qrafiki olan

y = f (x) əyrisinin nəzərdən keçirək.

Tərif 1. Əyrinin (a, b) intervalına daxil olan bütün nöqtələri bu intervalda əyriyə çəkilən istənilən toxunandan açağıda yerləşərsə, deyirlər ki, (a, b) intervalında əyriin qabarıqlığı yuxarıya doğrudur.

Tərif 2. Əyrinin (b, c) intervalına daxil olan bütün nöqtələri bu intervalda əyriyə çəkilən istənilən toxunandan yuxarıda yerləşərsə, deyirlər ki, (b, c) intervalında əyriin qabarıqlığı aşağıya doğrudur.

Əyrinin qabarıqlığı yuxarıya doğru olduqda ona qabarıq əyri, açağıya doğru olanda isə çökük əyri deyəcəyik.

y

a 0 x₀ b c x

Teorem 1. (a, b) intervalının bütün nöqtələrində f (x) funksiyanın ikinci tərtib törəməsi mənfidirsə , onda y = f (x) əyrisi bu intervalda qabarıqdır.

Teorem 2. Əgər (b, c) intervalının bütün nöqtələrində f (x) funksiyanın ikinci tərtib törəməsi müsbətdirsə , onda y = f (x) əyrisi bu intervalda çökükdür.

Tərif 3. Kəsilməz əyrinin qabarıq hissəsini çökük hissəsindən ayıran nöqtəyə onun əyilmə nöqtəsi deyilri.

Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində toxunan əyrini kəsir, çünkü bu nöqtədən bir tərəfdə əyri toxunanda aşağıda, digər tərəfdə isə yuxarıda yerləşir.

Teorem 3. Tutaq ki, əyri y = f (x) tənliyi ilə verilmişdir və f ꞌꞌ(a) = 0, yaxud

f ꞌꞌ(a) yoxdur. Əgər x = a nöqtəsindən keçəndə f ꞌꞌ(x) törəməsi öz işarəsini dəyişirsə, onda əyrinin bu nöqtəsi əyilmə nöqtəsidir.

4. Asimptotlar.

Bir çox hallarda dəyişən nöqtənin absisinin, yaxud ordinatının və ya həm absisinin, həm də ordinatının birlikdə qeyri-məhdud artdığı (mütləq qiymətcə) yerlərdə y = f (x) əyrisinin formasını və deməli uyğun funksiyasının dəyişməsinin xarakterini tədbiq etmək lazım gəlir. Burada isə vacib xüsusi hal, dəyişən nöqtənin sonsuzluğa getməsi (yaxınlaşması) ilə həmin əyrinin müəyyən bir düz xəttə sonsuz yaxınlaşmasıdır.

Tərif. Əyri üzərindəki M dəyişən nöqtəsi sonsuzluğa yaxınlaşarkən, həmin M nöztəsindən A düz xəttinə qədər olan d məsafəsi sıfıra yaxınlaşarsa, onda A düz xəttinə həmin əyrinin asimptotu deyilir

( şəkil 1)

y Asimptot

d M (x,y)

0 x

( Şəkil 1)

Biz şaquli – ordinat oxuna paralel olan və maili – ordinat oxuna paralel olmayan asimptotları nəzərdən keçirəcik.