Reja: Birinchi tur egri chiziqli integrallar. Birinchi tur egri chiziqli integralning ta’rifi. Birinchi tur egri chiziqli integralni aniq integral yordamida hisoblash Tayanch iboralar

3. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
orasidagi bog’liqlik

Teorema. L=AB (I) tenglamalar bilan berilgan silliq egri chiziq, bo’lsin funktsiyalar AB chiziqda uzluksiz, birlik vektor AB chiziqga uning M(x,y) nuqtasida o’tkazilgan urunma vektor bo’lib, yo’nalishi A dan B ga qarab bo’lsin, burchak M(x,y) nuqtada vektor bilan Ox o’qi orasidagi burchak bo’lsin. U holda

(6)
tenglik o’rinlidir, bunda
Izoh: Fazoviy egri chiziq esa


8-chizma
bo’ladi, bu yerda va bo’lib vektor bilan mos ravishda Ox, Oy va Oz o’qlari orasidagi burchaklardir.
4. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning fizikaga tadbiqi
4.1 Massasi birga teng moddiy nuqtaning A dan B ga qarab ko’chirishda, kuchning bajargan ishini A desak, u vaqtda ma’lumki bo’ladi.
4.2 vektor M(x,y) nuqtadan oqib o’tuvchi suyuqlik tezligi bo’lsin.
U holda, birlik vaqt ichida G sohadan oqib o’tuvchi suyuqlik miqdori
bo’ladi, bu yerda vektor M(x,y) nuqtada L chiziqga o’tkazilgan tashqi normal vektorning birlik vektoridir.
Agar bo’lib, urunma vektorning L da yo’nalishi musbat yo’nalish bilan mos tushsa, u holda

bo’lib,
bo’lib,
5. Endi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblashga
oid misollar qaraymiz
1-misol. ikkinchi tur egri chiziqli integralni A(0,0) va B(1;1) nuqtalarni 9-chizma
tutashtiruvchi quyidagi 3 ta chiziq bo’yicha hisoblang


1) AB chiziq y=x tenglama bilan berilgan bo’lsin, u holda y’=1 va (5) formuladan foydalanamiz.
bo’lgani uchun

2) AB chiziq y=x² tenglama bilan berilgan bo’lsin (5) formulaga asosan,

3) ACD- siniq chiziq bo’yicha integralni hisoblash uchun, integralni AC va CB lar bo’yicha olingan integrallar yig’indisi shaklida ifodalaymiz.
AC chiziqda y=0 va y’=0, bo’lgani uchun

СB chiziqda shuning uchun

Demak:
Shunday qilib I₁=I₂=I₃=1 ekanligini ko’rdik.Bu esa egri chiziqli integraning integrallash yo’liga bo’g’liq emasligini ko’rsatadi.
2-misol. Agar va nuqtalarni tutiruvchi chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsa ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang. Berilgan integralni (5) formula formula yordamida
10-chizma hisoblaymiz

Bu yerda o’zgaruvchi x, +1 dan -1 gacha o’zgaradi va uning uchun