2-teorema: segmentdagi absolyut uzluksiz funksiya bu segmentda o`zgarishi chegaralangandir. Isbot: funksiya segmentda absolyut uzluksiz bo`lsin. U holda funksiya uchun ga mos son mavjudki, uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`lgan o`zaro kesishmaydigan va soni chekli intervallarning
sistemasi uchun
tengsizlik o`rinli.
Bu son bo`yicha shunday natural son topish mumkinki, segmentni har birining uzunligi dan kichik bo`lgan ta qismga bo`lish mumkin, ya`ni
va
So`ngra, segment o`zaro kesishmaydigan va soni chekli qanday qismlarga bo`linmasin, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
va demak,
ya`ni ning o`zgarishi chegaralangan. Teorema isbot bo`ldi.
3-teorema:Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita o`suvchi absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifoda qilish mumkin:
Isbot: Teoremani isbotlash uchun 2 - va 3- teoremalarga asosan va funksiyalarning absolyut uzluksizligini isbotlash kifoya. Agar ning absolyut uzluksizligini ko`rsatsak, 1 teoremaga asosan,
absolyut uzluksiz bo`ladi. ning absolyut uzluksizligini isbotlaymiz.
Ixtiyoriy ni olib, absolyut uzluksizligi shartidan ni topamiz.
Uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`lgan oraliqlar olib
(3)
yig`indini ko`ramiz.
Bu yig`indi
(4)
yig`indilarning yuqori chegarasiga teng, bu yerda esa oraliqlarning ixtiyoriy bo`linmasidir. Ravshanki,
Barcha oraliqlarning uzunliklarini yig`indisi dan kichik bo`lgani sababli ning absolyut uzluksizlikligiga ko`ra ifoda ifadalarning yuqori chegarasi bo`lgani uchun har bir ifoda dan katta emas. Bu holda ifoda ham dan katta bo`lmaydi, bu esa ning absolyut uzluksizligini ko`rsatadi.
