Riyazi analiz
Yüklə 225,36 Kb.
|
| Funksiyanın limiti
Tutaq ki, y=f(x) funsiyası a nöqtəsinin bir ətrafında və ya bu ətrafın bəzi nöqtələrində təyin olunmuşdur. Əgər istənilən kiçik müsbət ε ədədi üçün elə müsbət δ ədədi var ki, x-ina-dan fərqli və |x-a|< δ bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətləri üçün |f(x)-A|< ε bərabərsizliyi ödənərsə onda deyirlər ki, x arqumenti a-ya yaxınlaşdıqda( x →a) y=f(x) funksiyası A limitinə yaxınlaşır (f(x) →A). Bunu qısa olaraq şəklində yazırlar . Teorem. Əgər A ədədi x arqumenti a-ya yaxınlaşdıqda f(x) funksiyasının limitidirsə, onda f(x)=A+ (x) və ya f=A+a burada α=α(x)kəmiyyəti x→a şərtində sonsuz kiçiləndir. Bunun əksi də doğrudur əgər yuxarıdakı bərabərlik ödənirsə, onda =A . Təhrif- x dəyişəni a ədədindən yalnız kiçik qiymətlər alaraq ona yaxınlaşdıqda, f ( x) funksiyası limitinə yaxınlaşarsa, = yazırlar və ədədinə f ( x) funksiyasının a nöqtəsində sol limiti deyilir. Əgər x kəmiyyəti yalnız a-dan böyük qiymətlər alırsa, onda yazırlar və ədədinə funksiyanın a nöqtəsində sağ limiti deyilir. Tərif . Əgər kiçik müsbət ε ədədi üçün elə müsbət N ədədi göstərmək olarsa ki,|x|>N bərabərsizliyini ödəyən bütün x-lər üçün|f(x)-A|< ε bərabərsizliyi ödənərsə, onda A ədədinə x sonsuzluğa yaxınlaşdıqda f ( x) funksiyasının limiti deyilir və aşağıdakı kimi işarə edilir . Törəmənin tərifi 1. f(x) funksiyasının nöqtəsində törəməsi dedikdə nöqtəsində funksiyanın f artımının x arqument artımına nisbətinin x 0 şərti daxilində limiti başa düşülür. f(x) funksiyasının nöqtəsində törəməsi f/ ( ) kimi işarə edilir və “ef ştrix ” kimi oxunur. Beləliklə, . 2. Törəmənin tərifindən aydındır ki, funksiya nöqtəsində yalnız o vaxt törəməyə malik ola bilər ki, bu funksiya nöqtəsinin müəyyən ətrafında təyin edilsin ( da daxil olmaqla). 3. Funksiyanın verilmiş nöqtədə törəməyə malik olması üçün zəruri şərt bu funksiyanın həmin nöqtədə kəsilməzliyidir. Qeyd edək ki, bu hökmün tərsi doğru deyil. Məsələn, f(x) = x1 funksiyası (; +) aralığında kəsilməzdir, lakin bu funksiya = 1 nöqtəsində törəməyə malik deyil. Doğrudan da, asanlıqla isbat etmək olar ki, = Başqa sözlə, verilmiş funksiyanın x 0 şərti daxilində limiti yoxdur. 4. f(x) funksiyasının törəməsinin tapılmasına bu funksiyanın differensiallanması deyilir. 5. y = f(x) funksiyasının törəməsinin tərifə əsasən hesablanması aşağıdakı ardıcıllıqla yerinə yetirilir: a) x arqumentinin qiymətini qeyd edirlər və f(x)-i tapırlar; b) x arqumentinə x artımı verirlər və f(x+ x)-i tapırlar; c) funksiyanın f = f(x + x) f(x) artımını tapırlar; d) f funksiya artımını x arqument artımına bölürlər, yəni nisbətini qururlar; e) x 0 şərti daxilində bu nisbətin limitini hesablayırlar:
Məhz bu limit y = f(x) funksiyasının törəməsidir. 6. Sabitin törəməsi sıfra bərabərdir: C = 0, burada C = const. 7. y = x funksiyasının törəməsi 1-ə bərabərdir: x = 1. 8. y funksiyasının törəməsi -ə bərabərdir ( )’= (x>0). İstənilən funksiyanın törəməsinin törəmənin tərifinə görə hesablanması çətinlik törədir. Buna görə də tərifə əsasən törəmə qaydaları və bəzi funksiyaların törəməsi cədvəli tapılır. Sonra isə hər hansı funksiyanın diferensiallanmasında bundan istifadə edilir. Törəmə qaydaları Cəmin, hasilin, nisbətin törəməsi Cəmin törəməsi. Tutaq ki, u, eyni bir aralıqda təyin edilmiş funksiyalardır və törəməyə malikdirlər. Onda bu funksiyaların cəminin törəməsi, onların törəmələri cəminə bərabərdir, yəni (u(x)+v(x))’=u’(x)=v(x)’. Hasilin törəməsi. Tutaq ki, u və funksiyaları verilmişdir, u və törəmələri mövcuddur. Onda bu funksiyaların hasilinin də törəməsi var və hasilin törəməsi (uv)’=u’v+v’u Sabit vuruğu törəmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. (kf(x))’=kf’(x). Nisbətin törəməsi. Tutaq ki, u və funksiyaları x nöqtəsində törəməyə malikdirlər və (x) 0 şərti ödənilir. Onda bu nöqtədə nisbətinin də törəməsi var və bu törəmə düsturu ilə hesablanır. y=3-2x y’ = ; y’= ; y’=0-2+ y’=-2+ y=cos5x ; y’= ; y’= * ; y’= -sin(g)*5 ; y’= -sin(5x)*5 y’=-5sin(5x) Mürəkkəb funksiyanın törəməsi Fərz edək ki, y dəyişəni u dəyişəninin, u dəyişəni isə öz növbəsində x dəyişəninin funksiyasıdır, yəni y = f(u) və u = (x). Göründüyü kimi y dəyişəni aralıq u dəyişəni vasitəsilə x dəyişənindən asılıdır: y = f((x)). Bu halda deyirlər ki, y x-in mürəkkəb funksiyasıdır. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq dəyişənə nəzərən törəməsi ilə bu aralıq dəyişənin sərbəst dəyişənə nəzərən törəməsinin hasilinə bərabərdir: Mürəkkəb funksiyanın törəməsini hesablayarkən aşağıdakı düsturlardan istifadə etmək əlverişlidir: (u(v(x)))’=u’(v(x))*v’(x); (cosu)’=-sinu*u’; (tgu)’= ( = ( ( (sinu)’=cosu*u’ (ctgu)’=- (lnu)’= ; X’=2 Y=3* Bəzi hallarda verilən riyazi funksiyanın parçalanaraq müxtəlif funksiyaların cəmi şəklində göstərilməsi bir çox əməliyyatların və hesablamaların aparılmasında daha faydalı olur. Bu parçalanmanı həyata keçirməkdə ən çox tətbiq olunan riyazi düstur Teylor sırası adlanan sonsuz cəm funksiyasıdır.Bu cəm funksiyası ilk dəfə 1715-ci ildə Bruk Teylor tərəfindən irəli sürülmüşdür və onun şərəfinə adlandırılmışdır.Bu sonsuz cəm funksiyası həmçinin funksiya arqumenti ilə funksiya qiyməti arasında birbaşa əlaqənin olmadığı hallarda da funksiya qiymətinin təyin olunmasına imkan yaradır. f(x)=f(a)+ İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu göstərək. Fərz edək ki, verilən funksiya aşağıdakı qüvvət sıralarının cəmi (polinomlar cəmi) şəklində göstərilə bilər. F(x)= Aydındır ki, verilən bərabərlik x=a halında -a bərabər olur və buna görə f(a)= bərabərliyini yaza bilərik.Bu o deməkdir ki, qüvvət sırasının birinci( ) həddi x=a nöqtəsində f(a)-nın özünə bərabərdir. Birinci addım olaraq verilmiş funksiyanın birinci tərtib törəməsini əldə edək Yüklə 225,36 Kb. Dostları ilə paylaş:
|