Sana: 201 y. Sinf: 9- sinf Fan: «Geometriya»

Proporsional kesmalarni yasash
8-sinfda proporsinal kesma tushunchasi, Fales teoremasi va uning teoremalarni isbotlashda hamda masalalarni yechishda tatbiqlari bilan tanishgan edik. Quyida Fales teoremasining umumlashmasidan iborat bo’lgan muhim xossasini isbotlaymiz.
Teorema. Burchakning har ikkala tomonini kesib o’tgan parallel to’g’ri chiziqlar uning tomonlaridan proporsional kesmalar ajratadi.
Isbot. C₁ va C₂ nuqtalardan AB ga parallel C₁A₁ va C₂A₂ to’g’ri chiziqlarni o’tkazmiz. U holda, birinchidan, 1 = 2 = 3 bo’ladi, chunki ular o’zaro parallel bo’lgan AB, C₁A₁ va C₂A₂ to’g’ri chiziqlarni AC kesganda hosil bo’lgan mos burchaklardir. Ikkichidan, 4 = 5 = 6, chunki ular tomonlari parallel bo’lgan burchaklardir.
Demak, uchburchaklar o’xshashligining BB alomatiga ko’ra AB₁C₁, C₁C₂A₁, C₂C₃A₂ bo’ladi.
U holda (1)
tengliklarni hosil qilamiz.
Bundan tashqari, B₁C₁A₁A₂ va B₂C₂A₂B₃ to’rtburchaklar parallelogramm, chunki
B₁C || B₂C₂ || B₃C₃ – shartga ko’ra
AB || C₁A₁ || C₂A­₂ – yasashga ko’ra.
Shuning uchun, bu parallelogrammlarning qarama-qarshi tomonlari o’zaro teng bo’ladi:
C₁A₁ = B₁B₂ va C₂A₂ = B₂B₃. (2)
(1) va (2) tengliklardan bo’lishi kelib chiqadi.
Teorema isbotlandi.
Savol, masala, topshiriqlar
1. Uzunligi 42 sm bo’lgan kesma berilgan. Uni a) 5 : 2; b) 3:4:7; d) 1:5:1:7 nisbatdagi bo’lakchaarga bo’ling.
2. Rasmda har bir bo’lak birlik kesmadan iborat bo’lsa, AB va CD, EF va MN, AC va DF, AN va CF, EN va BM kesmalarning nisbatlarini toping.