Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1964. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В. И. М., Инфра -м, 2008

y  _{+ p}y  ₊ qy ₌ 0 (1)
tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlərdir. Bu tənliyin həlli şəklində axtarılır, burada k axtarılan sabit ədəddir. Onda
.
Törəmələrin bu qiymətlərini (1) tənliyində yerinə yazaq
e^kx(k²₊pk₊q) ₌ 0,
burada e^kx0 olduğundan alırıq ki,
. (2)
(2) tənliyinə (1) diferensial tənliyinin xarakteristik tənliyi deyilir. Bu tənlikdən k-nı tapaq
(3)
Burada aşağıdakı hallar mümkündür.
1. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri həqiqi və müxtəlifdirsə, onda və funksiyaları xüsusi həllərdir. Deməli, (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunur:
y ₌ C₁ +C₂ . (4)
2. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin kökləri həqiqi və bərabərdirsə (k_{1 =} k₂ ), onda (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunar:
(5)
3. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri kompleks olarsa ( k_{1 =}  ₊i , k_{2 =}  –i), onda (1) tənliyinin ümumi həlli
(6)
şəklində olur.
İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins olmayan tənliklər

Tutaq ki, bircins olmayan ikitərtibli

(1)
tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlər, – məlum funksiyadır. Aşağıdakı teorem doğrudur.
Teorem 1. Bircins olmayan (1) tənliyinin ümumi həlli
(2)
bircins tənliyinin ümumi həlli ilə verilən bircins olmayan (1) tənliyin xüsusi həllinin cəminə bərabərdir.
İsbatı. Əgər y₀ bircins (2) tənliyinin ümumi həlli və y* uyğun bircins olmayan (1) tənliyinin xüsusi həllidirsə, onda
və y*^_{+ p}y*^₊qy* ₌ .
Bu iki tənliyi tərəf-tərəfə toplasaq və cəmin törəməsinin törəmələrin cəminə bərabər olduğunu nəzərə alsaq
(y_{0 +} y*)^_{+ p}( y_{0 +} y*)^₊q( y_{0 +} y*) ₌ .
Buradan aydındır ki,
y ₌ y_{0 +} y* (3)
funksiyası (1) tənliyinin ümumi həlli olacaq.
Teorem 2. Tutaq ki, bircins olmayan
y  _{+ p}y  ₊ qy ₌ f₁(x) ₊ f₂(x) (4)
_{tənliyinin sağ tərəfi} f₁(x) və f₂(x) funksiyalarının cəmidir. Əgər y₁
y  _{+ p}y  ₊ qy ₌ f₁(x)
tənliyinin xüsusi həlli və y₂ isə
y  _{+ p}y  ₊ qy ₌ f₂(x)
tənliyinin xüsusi həllidirsə, onda y_{1 +} y₂ cəmi verilmiş (4) tənliyinin xüsusi həllidir.
Biz sabit əmsallı xətti bircins tənliyin ümumi həllini tapa bilirik. İndi isə uyğun bircins olmayan (1) tənliyinin xüsusi həllinin tapılma üsulunu göstərək. Qeyd edək ki, funksiyasının bəzi xüsusi şəkilləri üçün xüsusi həlli qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə tapmaq olar.
Aşağıdakı sadə hallarda tənliyin sağ tərəfindəki funksiyasının şəklinə görə (1) tənliyinin y* xüsusi həllinin şəklini əvvəlcədən gös­tərmək olar.
1-ci hal. ₌ P(x), burada P(x) – çoxhədlidir. Bu halda, əgər xarakteristik tənliyinin kökü sıfra bərabər olmazsa, onda y* xüsusi həlli P(x) ilə eyni tərtibə malik olan Q(x) çoxhədlisi şəklindədir; əgər sıfır ədədi xarakteristik tənliyin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda y* ₌ x^rQ(x).
2-cü hal. ₌ e^mxP(x). Burada P(x) müəyyən dərəcəli çoxhədlidir. Bu halda əgər m ədədi xarakteristik tənliyin kökü olmazsa, onda y*₌e^mxQ(x) və əgər m xarakteristik tənliyin r dədə təkrarlanan kökü olarsa, y^*₌x^re^mxQ(x) olar. Burada Q(x) çoxhədlisi P(x) ilə eyni dərəcəli çoxhədlidir.
Xüsusi hal. ₌ ae^mx (a, m – sıfırdan fərqli müəyyən ədədlərdir). Bu halda əgər m xarakteristik tənliyin kökü olmazsa, onda y^*₌Ae^mx və əgər m xarakteristik tənliyin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda y^*₌Ax^re^mx olar. Burada A axtarılan əmsaldır.
3-cü hal. . Bu halda əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olmazsa, onda

və əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olarsa, onda
.
Burada və çoxhədlilərin dərəcəsi və çoxhədlilərin dərəcəsinin ən böyüyünə bərabərdir.
Xüsusi hal. (a, b, ,  – sıfırdan fərqli müəyyən ədədlərdir). Bu halda əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olmazsa, onda

və əgər ədədləri xarakteristik tənliyin kökləri olarsa, onda
.
Burada A və B axtarılan əmsallardır.