Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi. Cheksiz koʻpaytmalar

Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi. Cheksiz koʻpaytmalar
Biz maktab kursida arifmetik va geomaetrik progressiyalar yordamida chekli sondagi yig`indilarni hisoblashni o`rgangan edik. Lekin biz yuqori kurslarga kelib cheksiz sondagi yig`indilarni hisoblashga duch kelamiz. Buning natijasida cheksiz sondagi yig`indilarni hisoblash masalasi yuzaga keladi. Bu masalani hal qilish natijasida matematika kursida sonli qator tushunchasi paydo bo`lgan. Shunga ko`ra bu sonli qatorlar bizga ixtiyoriy sondagi yig`indilarni hisoblash imkonini berdi. Endi sonli qator tushunchasiga izoh berib o`tsak. Bizga biror sonli ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Uning elementlaridan formal ravishda tuzilgan
ifodaga ko`rinishdagi ifodaga sonli qator (yoki oddiy qilib qator) deyiladi.Ketma-ketlikning elementlari qatorning hadlari deb ataladi. Ushbu qatorni belgidan foydalanib yana quyidagicha ham belgilashadi: (1) bunda yig`indining yuqori chegarasi qator hadlari sonining cheksiz ekanini anglatadi. Sonli qator yig`indisi tushunchasini aniqlash bo`yicha uchta yondashishni keltirish mumkin. Birinchisida cheksiz sondagi hadlarni, ular qanchalik kichik bo`lishidan qat`iy nazar , qo`shib chiqish jarayoni hech qachon tugamaydi deb hisoblab, bunday yig`indining biror ma`noga ega ekani umuman inkor etiladi. Bunday yondashish , Axilles va toshbaqa nomi bilan tanilgan, Zenon Eleyskiy (ermizdan avvalgi 490-430- yillarda yashagan) paradoksida o`z aksini yaqqol topgan. Bu paradoksga ko`ra, Axilles toshbaqa yetib olish maqsadida, avval toshbaqa boshlang`ich vaqtda turgan nuqtaga kelishi kerak, ammo toshbaqa bu vaqt ichida boshqa biror nuqtada bo`ladi. Axilles nuqtaga yetib kelganda esa, toshbaqa navbatdagi nuqtaga keladi va hokazo. Madomiki Axilles bosib o`tishi kerak bo`lgan yo`l cheksiz sondagi oraliqlardan ( ularning uzunligi istalgancha kichik bo`lishiga qaramasdan ) iborat ekan, ularni qo`shib chiqish jarayoni ( Zenon fikricha ) cheksiz ko`p vaqt talab qiladi va shuning uchun arifmetikaning oddiy qoidalari yetarli, deb hisoblaydilar. Ayniqsa o`rta asrlarda bunday qarash keng tarqalgan edi. Masalan,belgilash kiritib, biz deb yozishimiz mumkin, ya`ni Bundan ekani kelib chiqadi. Qizig`i shundaki, bu yondashish tarafdorlarini butun sonlar yig`indisining to`g`ri kasr bo`lib qolgani ajablantirmagan.
Ammo bu yondashishning qoniqarli emasligi quyidagi qator misolida yaqqol ko`zga tashlanadi. Chunki deb yozib olsak, bo`ladi va bundan esa shubhasiz noto`g`ri bo`lgan 0=1 natijani olamiz. Nihoyat, uchinchi yondashish shundan iboratki, unda barcha sonli qatorlar ichidan faqat biror qoniqarli ma`noda yig`indi tushunchasini kiritish mumkinlarigina ajratib olinib, qolganlarini esa o`rganilmaydi. Limitlar nazariyasiga tayangan bu yondashish XIX asr matematiklari tomonidan rivojlantirildi va u juda sernahsul bo`lib chiqdi. O`sha vaqtda kiritilgan sonli qator yig`indisi tushunchasi, yig`indiga ega bo`lgan qatorlar sinfini kengaytirish natijasida, doimo rivojlantirildi va hozir ham rivojlanib kelmoqda.Navbatdagi maqsadimiz (1) cheksiz yig`indiga, xuddi chekli sondagi hadlar yig`indisi xossalariga ega bo`ladigan qilib, ma`no berishdan iboratdir. Buning uchun, dastlabki n ta handing yig`idisini hisoblab, n cheksiz kattalashganda bu yig`indining o`zgarishini kuzatamiz. Agar qator absolyut yaqinlashsa, u hadlari o`rnini ixtiyoriy o`zgartirganda ham yaqinlashadi va bunda uning yig`idisi o`zgarmaydi. Boshqacha qilib aytganda, absolyut yaqinlashuvchi qator o`rin almashtirish xossasiga egadir. Lekin, shartli yaqinlashuvchi qator yig`indisi uning hadlarini qaysi tartibda qo`shilayotganiga
OSTROGRADSKY METOD noaniq integralning ratsional qismini ajratib olish usuli
Bu yerda Q ko‘p ildizli n darajali ko‘phad, P (x) esa m≤n darajali ko‘phad. Agar P (x): Q (x) muntazam kamaytirilmaydigan kasr bo'lsa va maxraj Q (x) tub ko'paytmalarga ajralsa, ya'ni Q (x) = (x - a) k . ... ... (x 2 + px + q) m , keyin bu kasrning integrali quyidagi ikki turdagi kasrlarning integrallari yig'indisi sifatida ifodalanadi: Bu yerda A 1 , A 2 , ..., A k , M 1 , M 2 , .., M m , N 1 , N 2 ,…, N m baʼzi oʻzgarmas koeffitsientlar. Agar k (yoki m) birdan katta bo'lsa, birinchi turdagi barcha kasrlarning integrallari (birinchi kasrning integralidan tashqari) quyidagi formula bo'yicha topiladi: va ikkinchi turdagi barcha kasrlarning integrallari quyidagi shaklda ifodalanadi: Ushbu barcha natijalarni birlashtirgandan so'ng (jamlash) biz shaklning tengligini olamiz: bu yerda integralning ratsional qismi P 1 (x): Q 1 (x) yuqorida olingan ratsional qismlarni qo‘shish orqali olinadi va maxrajli oddiy kasrdir. Kasr P 2 (x): Q 2 (x) integral belgisi ostida qolgan, shakldagi kasrlarni qo'shishdan olinadi. va shuning uchun ham bir nechta omillarga (ildizlarga) ega bo'lmagan maxraj bilan ham to'g'ri bo'ladi , ya'ni bu Q 2 (x) maxraji dastlabki kasrning Q (x) maxraji kabi barcha bir xil omillarni (ildizlarni) o'z ichiga oladi, lekin faqat. birinchi darajada. Shubhasiz, Ostrogradskiy integral hisoblash usullaridan foydalanmasdan, sof algebraik usulda muntazam ratsional kasrlar integrallarining P 1 (x): Q 1 (x) ratsional qismini ajratish usulini topdi . Avvalo, Q (x) funksiya va uning hosilasi Q '(x) ning umumiy eng katta bo'luvchisi sifatida Q 1 (x) ni topamiz (masalan, Evklid algoritmidan foydalangan holda); belgilab Q 1 (x) , biz topish Q 2 (x) : = Q (x) Q 1 (x) . Shundan so'ng, Ostrogradskiy tengligida (formula) ikkita P 1 (x) va P 2 polinomini aniqlash qoladi.(x) . Istalgan darajali ko'phadlar P 1 (x) va F 2 (x) mos ravishda Q 1 (x) va < Q 2 (x) polinomlarining pastki darajalarini topdi . keyin ularni aniqlanmagan koeffitsientlar bilan Ostrogradskiy tengligiga yozamiz va keyin bu tenglikning ikkala tomonini farqlab, biz quyidagi o'ziga xoslikni olamiz: Umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, ushbu o'xshashlikning chap va o'ng tomonlari sonidagi x ning bir xil darajalaridagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirgandan so'ng, biz P 1 (x) kerakli polinomlarning aniqlanmagan koeffitsientlari uchun tenglamalar tizimini olamiz. ) va P 2 (x) . Ushbu tizimni yechish orqali biz noma'lum koeffitsientlarni topamiz (demak, ko'phadlarning o'zi ham). Endi, dastlab oldindan aniqlangan F (x) kasrning integralini olish uchun: Q (x) F 2 (x) : < Q 2 (x) kasr ustida integrallanadi , u allaqachon transsendental funktsiyalar (logarifmlar va arktangentlar) orqali ifodalangan. . Demak, Ostrogradskiy tengligida (formulada) bizda: P (x): Q (x), P1 (x) : Q1 (x) va F 2 (x) (x): < Q 2 (x) - to'g'ri ratsional kasr, Q 1 (x) - Q (x) va Q '(x) ning eng katta umumiy bo'luvchisi. ), va Q 2 (x) = Q (x): Q1 (x). P 1 (x) va P 2 (x) - aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topilgan ko'phadlar.
Biz ba'zi ratsional kasrlarni integrallash ko'pincha zerikarli ekanligini ko'rdik.
Ostrogradskiy usuli bu fraksiyalarning integrallashini ancha qisqarti
EYLER ALMASHTIRISHLAR
Lеjandrning taklifi bilan:ko‘rinishdagi intеgral birinchi tur Eylеr intеg­rali dеyiladi, bu yerda . Bu intеgral funksiyaning ikkita: va o‘zgaruvchi paramеtrlarning funksiyasidan iborat. Biz bilganimizdеk, ko‘rilayotgan intеg­ral va ning musbat (aqalli birdan kichik bo‘lgan) qiymatlari uchun yaqinlashadi, va dеmak, haqiqatan ham, funksiyaning ta’rifiga asos bo‘la oladi. Bu funksiyaning ba’zi bir xossalarini aniqlaymiz. 1° Eng avval, bеvosita almashtirish bi­lan) ushbuni hosil qilamiz: dеmak, funksiya va ga nisbatan simmеtrikdir. Hozir biz uchun boshqa analitik ifodani bеramiz, bu ifoda bilan ni almashtirilganda, tashqi ko‘rinish jihatdan ham o‘zgarmaydi.
Bu maqsadda avval almashtirishni bajaramiz, bu yerda u yangi o‘zgaruvchi bo‘lib, dan gacha o‘zgaradi. Biz formulaga ega bo‘lamiz va undan kеlgusida ko‘p mar­ta foydalanamiz. Agar intеgralni yig‘indi shaklida tasvirlasak, u holda almashtirish bilan ikkinchi intеgral ham oraliqqa kеltiriladi: dеmak, natijada 2° Bo‘laklab intеgrallash yordami bilan, (1) formuladan da, quyidagini topamiz:bundan bo‘lganda, ni kamaytirish maqsadida bu formulani qo‘llanish mumkin; shunday qilib, doim ikkinchi argumеntning bo‘lishiga erishish mumkin. Ikkinchi argumеntga nisbatan ham shunga erishish mumkin, chunki simmеtrik funksiya bo‘lganidan, yana ushbu kеltirish formulasiga ega bo‘lamiz. Agar paramеtr natural songa tеng bo‘lsa, u holda (3) formulani kеtma-kеt qo‘llanish bilan formulaga kеlamiz. Lеkin Shu sababli uchun, va bir paytda, uchun ham: ifodani hosil qilamiz.Agar ham natural songa tеng bo‘lsa, ushbuni topamiz:Agar simvolni dеb tushunsak, bu formulani yoki bo‘lganda ham qo‘llanish mumkin. 3° (2) formulada hisoblab, faraz qilamiz; u holda: Uning qiymatini o‘rniga qo‘yib, ushbu formulaga kеlamiz:
Nyuton-Leybnits formulasi Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi. [ , ] a b kesmada uzluksiz y f x  ( ) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz. [ , ] a b kesmani 0 1 2 1 , , ,..., , , n n a x x x x x b    bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda 0 1 2 ... , n x x x x     va 1 0 1 2 1 2 1 , ,...., n n n x x x x x x x x x           So’ngra, y f x  ( ) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz 0 1 [ , ] x x m1 va M1 , 1 2 [ , ] x x m2 va M2 , ............................ 1 [ , ] n n x x  mn va M n Quyidagi yig’indilarni tuzamiz: 1 1 2 2 1 ... n n n n i i i s m x m x m x m x            (1) 1 1 2 2 1 ... n n n n i i i s M x M x M x M x            (2) n s - yig’indi quyi integral yig’indi, n s -yig’indi esa yuqori integral yig’indi deb ataymiz. Agar f x( ) 0  bo’lsa, u holda quyi integral yig’indi sonma-son 0 1 1 2 1 ... AC N C N C N BA n n  “ichki chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng, yuqori integral yig’indi sonma-son 0 1 1 1 1 ... AK C K C K C BA n n n   “tashqi chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng. Quyi va yuqori integral yig’indilarning ba’zi xossalarini sanab o’tamiz: a)m M i i  bo’lganligi uchun i i n ( 1,2,..., )  , (1) va (2) formulalar asosida topamiz n n s s  . (agar f x const ( )  bo’lsagina tenglik belgisi bo’ladi). b) 1 2 , ,..., , m m m m m m    n bo’lganligi uchun, bu yerda m - f x( ) funksiyaning [ , ] a b dagi eng kichik qiymati, 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ( ... ) ( ) n n n n n s m x m x m x m x m x m x m x x x m b a                         Shunday qilib, ( ) n s m b a   v) 1 2 , ,..., , M M M M M M    n bu yerda M - f x( ) funksiyaning [ , ] a b dagi eng katta qiymati, 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ( ... ) ( ) n n n n n s M x M x M x M x M x M x M x x x M b a                        Shunday qilib, ( ) n s M b a   Olingan tengsizliklarni birlashtirib, topamiz ( ) ( ) m b a s s M b a      n n Agar f x( ) 0  bo’lsa, u holda oxirgi tengsizlik sodda geometrik ma’noga ega, chunki m b a ( )  va M b a ( )  ko’paytmalar mos ravishda “ichki chizilgan” AL L B 1 2 va “tashqi chizilgan” AL L B 1 2 to’gri to’rtburchaklarning yuzalariga teng
Chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar
20. Differensiallanuvchanligi.
10. Uzluksizligi. ([1], 11.9 The two fundamental theorems of calculus, 338-bet) funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda aniq integrallning 1)– xossasiga ko’ra funksiya istalgan oraliqda ham integrallanuvchi bo’ldi. Ravshanki, integral ga bog’liq. Uni deb belgilaymiz:
Endi funksiyaga ko’ra funksiyaning xossalarini (uzluksizligi, differensiallanuvchi bo’lishini) o’rganamiz.
8—teorema. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, funksiya shu oraliqda uzluksiz bo’ladi.
◄ funksiya integrallanuvchi bo’lgani uchun bo’ladi. nuqta olib, unga shunday orttirma beraylikki, bo’lsin. U holda funksiyaning orttirmasi uchun quyida-giga ega bo’lamiz:
Aniq integrallning 7)–xossasidan foydalanib, topamiz:
Demak,
Bundan esa limit kelib chiqadi. bo’lganda ham xuddi yuqoridagiga o’xshash bo’lishi ko’rsatiladi. Bu esa funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi. ►
20. Differensiallanuvchanligi.
—teorema. ([1], Theorem 11.9.1 (First Fundamental Theorem of Calculus, 338-bet) Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya nuqtada differensialanuvchi bo’ladi va ◄ funksiyaning nuqtadagi orttirmasi:ni olib, quyidagi ayrimani qaraymiz. Aniq integrallning xossalaridan foydalanib topamiz:Bu munosabatdan tengsizlik kelib chiqadi Shartga ko’ra funksiya nuqtada uzluksiz. Ta’rifga asosan, olinganda ham shunday son topiladiki bo’lganda bo’ladi. Agar deb olsak, u holda uchun bo’ladi. Natijada tengsizlik quyidagi ko’rinishga keladi. Demak,
Bundan ya’ni tenglik kelib chiqadi. Yuqordagidek bo’lganda ya’ni tenglik ham o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi. ► Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, va nuqtalarda uzluksiz (bunda funksiyaning da o’ngdan da esa chapdan uzluksizligi tushuniladi) bo’lsa, u holda bo’lishi yuqoridagiga o’xshash ko’rsatiladi.
6–natija. funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda uchun bo’ladi.
Demak, oraliqda uzluksiz funkisya shu oraliqda boshlang’ich funkisyaga ega, jumladan funksiya ning dagi boshlang’ich funksiyasi bo’ladi.
Endi quyi chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan integralni qaraymiz. funkisya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda bu funksiya oraliqda ham integrallanuvchi va bu integral ga bog’liq bo’ladi. Uni deb belgilaymiz. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz.
Bundan esa bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglik funksiyaning xossalarini hamda funksiyalarning xossalari orqali o’rganish mumkinligini ko’rsatadi. Jumladan, agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda mavjud va u chekli son, funksiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra da hosilaga ega bo’ladi.
Frullani integrallari
manba, litsenziya asosida mavjud cc by-sa 3.0, tarjima - batafsil ma'lumot
Yilda matematika, Frullani integrallari ning o'ziga xos turi noto'g'ri integral italiyalik matematik nomi bilan atalgan Giuliano Frullani. Integrallar shaklga ega qayerda a funktsiya barcha salbiy bo'lmaganlar uchun aniqlangan haqiqiy raqamlar bu bor chegara da buni biz belgilaymiz .Ularning umumiy echimining quyidagi formulasi ma'lum sharoitlarda amalga oshiriladi:
Formuladan uchun integral tasvirini olish uchun foydalanish mumkin tabiiy logaritma ruxsat berish orqali va :
Formulani bir necha xil usullar bilan umumlashtirish ham mumkin.[1]
Laplas integrali va uni hisoblash
Laplas konvertatsiyasi matematik va astronom Per-Simon, markiz de Laplas, ehtimollar nazariyasi bo'yicha ishida shunga o'xshash transformatsiyadan foydalangan. Laplas ishlab chiqarish funktsiyalaridan foydalanish haqida keng yozgan Essai philosophique sur o'laksa probabiliticksx (1814) va Laplasning ajralmas shakli natijada tabiiy ravishda rivojlandi.
Laplasning ishlab chiqarish funktsiyalaridan foydalanishi hozirgi z-transformatsiya deb nomlanuvchi narsaga o'xshash edi va u muhokama qilingan doimiy o'zgaruvchan holatga ozgina e'tibor bermadi nazariyasi yanada Matias Lerch tomonidan 19 va 20-asr boshlarida ishlab chiqilgan, Oliver Heaviside, va Tomas Bromvich. Transformatsiyaning hozirgi keng qo'llanilishi (asosan muhandislikda) ikkinchi Jahon urushi paytida va undan ko'p o'tmay paydo bo'ldi,[10] oldingi Heaviside operatsion hisobini almashtirish. Laplas konvertatsiyasining afzalliklari Gustav Doetsch tomonidan ta'kidlangan, Laplas konvertatsiyasi nomi kimga tegishli.
1744 yildan boshlab Leonhard Eyler shaklning integrallarini o'rganib chiqdimn differensial tenglamalar yechimlari sifatida, lekin juda uzoq masalani ta'qib qilmadi.[12] Jozef-Lui Lagranj Eylerning muxlisi edi va ehtimollik zichligi funktsiyalarini birlashtirish bo'yicha ishida shaklning ifodalarini o'rganib chiqdi ba'zi zamonaviy tarixchilar zamonaviy Laplas konvertatsiyasi nazariyasi doirasida talqin qilishgan. Ushbu turdagi integrallar birinchi bo'lib Laplasning e'tiborini 1782 yilda jalb qilganga o'xshaydi, u erda u Eyler ruhida integrallarning o'zlarini tenglamalar echimi sifatida ishlatishda ergashdi. biroq, 1785 yilda Laplas oldinga tanqidiy qadam tashladi, shunchaki integral shaklida echim izlash o'rniga, u o'zgarishlarni keyinchalik mashhur bo'lish ma'nosida qo'llashni boshladi. U shaklning integralidan foydalangan o'zgartirilgan tenglamaning echimlarini izlash uchun butun farq tenglamasini o'zgartirish uchun Mellin konvertatsiyasiga o'xshash. Keyin u Laplas konvertatsiyasini xuddi shu tarzda qo'llashni davom ettirdi va uning potentsial kuchini qadrlay boshlagan holda uning ba'zi xususiyatlarini olishni boshladi.[16] Laplas, shuningdek, Jozef Furyening diffuziya tenglamasini echish uchun Furye seriyasining usuli faqat cheklangan kosmik mintaqaga taalluqli bo'lishi mumkinligini tan oldi, chunki bu echimlar davriy edi. 1809 yilda Laplas kosmosda cheksiz tarqalgan echimlarni topish uchun o'z konvertatsiyasini qo'lladi. kkita integral funktsiyalar bir xil Laplas transformatsiyasiga ega, agar ular to'plamda farq qilsalar Lebesgue o'lchovi nol. Bu shuni anglatadiki, transformatsiya diapazonida teskari transformatsiya mavjud. Aslida, integral funktsiyalardan tashqari, Laplas konvertatsiyasi a birma-bir xaritalash boshqa ko'plab funktsiyalar bo'shliqlarida ham bitta funktsiya maydonidan boshqasiga, garchi odatda diapazonni oson tavsiflash mavjud emas.
Bu haqiqiy bo'lgan odatda vazifasi joylar chegaralangan uzluksiz vazifalari joylar o'z ichiga oladi, kosmik L(0,), yoki ko'proq odatda temperli taqsimlash bo'yicha (0,). Laplas konvertatsiyasi, shuningdek, temperli taqsimotlarning mos joylari uchun aniqlangan va in'ektsion hisoblanadi.
Laplas konvertatsiyasi chiziqli dinamik tizimlarni tahlil qilish uchun foydali bo'lgan bir qator xususiyatlarga ega. Eng muhim afzallik shundaki, differentsiatsiya ko'paytiriladi va integratsiya bo'linishga aylanadi s (logarifmlarning ko'paytirishni logarifmlarni qo'shishga o'zgartirish usulini eslatadi).
Ushbu xususiyat tufayli Laplas o'zgaruvchisi s sifatida ham tanilgan operator o'zgaruvchisi ichida L domen: yoki lotin operatori yoki (uchun s−1) integratsiya operatori. Transformatsiya integral tenglamalar va differentsial tenglamalarni polinom tenglamalariga aylantiradi, ularni echish ancha oson.
ANIQ INTEGRALNING BA'ZI BIR TATBIQLARI
Annotasiya. Ushbu maqolada aniq integralni ta 'rif yordamida hisoblashga oid misollar yechilgan. Shuningdek, aniq integral yordamida ba'zi bir limitlarga doir misollarni hisoblash o'rganib chiqilgan.
Kalit so'zlar: interval, limit, uzluksiz funksiya, aniq integral.
Аннотация. В этой статье приведены некоторые примеры того, как вычислить определенный интеграл по определению. А также исследуются некоторые примеры пределов с использованием определенных интегралов.
Ключевые слова: интервал, предел, непрерывная функция, определенный интеграл.
SOME APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL.
Abstract. This article provides some examples of how to calculate a definite integral by definition. And some examples of limits using definite integrals are also explored.
Keywords: interval, limit, continuous function, definite integral.
KIRISH
Limitlarga oid misollarni yechish matematik analizni o'qitishning muhim yo'nalishini tashkil etadi va bu sohada talabalarni o'rganishni qo'llab-quvvatlovchi o'quv yondashuvlari bo'yicha tadqiqotlarga ehtiyoj bor.
Ushbu maqolada ba'zi bir limitlarga doir misollarni aniq integral yordamida yechishni o'rganib chiqildi.
TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI
Quyidagi masala, chegaralangan oraliqda uzluksiz funksiyasining aniq integralining ta'rifini o'z ichiga oladi. [a,b] oralig'ida y — f (x) uzluksiz funksiya berilgan bo'lsin. Ushbu bo'laklar
a — x0, xl, X2,..., x„_ 2, x„_i, xn — b
[a, b] oralig'ining ixtiyoriy (tasodifiy tanlangan) bo'laklari bo'lib, u intervalni n ichki intervallarga (bo'laklarga) ajratadi. Ichki intervallardan
C1, C2, •••, Cn_2, Cn_1, Cn
nuqtalar ixtiyoriy tanlangan bo'lib,
c, e [x„, x ], c e [x, x. ],..., c 0e[ x ,, x 0], c , e [x x ,], c e[x ,, x ] bo'ladi.
1 L 0' 1J> 2 L 1' 2 7 n_2 L n_37 n_2J> n_1 L n_2> n_1 n L n_17 n J iw-v**.
Har bir ichki intervalning uzunligi kxw — xw _xw_1 (w —1,2,3,...,n) va eng katta ichki intervalning uzunligi Ä — max kxw orqali belgilaymiz.
1< wy — f (x) funksiyaning [a,b] oralig'idagi aniq integrali odatda quyidagicha aniqlanadi.
b n
J f (x) dx = lim £ f (cw )kxw.
a w—1
Shunday qilib, har bir ichki intervalning uzunligi bor
b - a
Ax„
, (w —1,2,3,..., n)
(s)
bo'lib, hisoblashni qulaylashtirish uchun cw (w —1,2,3,...,n) ni n ta ichki intervallarning
o'ng tomonidagi so'nggi nuqtalarni tanlagan nuqtalaridan foydalaniladi. O'ng tomondagi so'nggi nuqta formulasi
f u \
b - a
cw = a +
V n
■ w, (w —1,2,3,..., n)
(S3)
y — f (x) funksiyaning [ a, b] oralig'idagi aniq integrali quyidagicha
bn
J f (x)dx — lim £ f (cw )AXw
a w—1
aniqlanadi.
Bizga quyidagi taniqli yig'indi qoidalari kerak bo'ladi.
n
1. £c — c + c + c +... + c — n■ c, bu yerda c o'zgarmas ;
w—1
-n , ^ ^ 1 + n
2. ^ w — 1 + 2 + 3 +... + n —--n;
w—1
2
3. £ w2 — 12 + 22 + 32 +... + n2 —
n ■(! + n)■(2n +1)
w—1
n
4. £ w3 — 13 + 23 + 33 +... + n3 —
n
■(1 + n )2
w—1
4
5. £c ■ f (w) — c ■£ f (w), bu yerda c o'zgarmas;
w—1
w—1
6. (w)± g(w)]—£ f (w)±£g(w) .
w—1 w—1 w—1
ADQIQOT NATIJALARI
Quyidagi muammolarning aksariyati o'rtacha va ba'zilari biroz murakkab. Agar siz ushbu muammolarni hal qilish yo'llarini izlashdan oldin sinab ko'rmoqchi bo'lsangiz, yuqoridagi formulalarni xuddi shunday ishlatib, keng tarqalgan xatolardan qochishingiz mumkin. Quyidagi muammoni hal qilishda yuqoridagi (3) va (33) tengliklarda ko'rsatilganidek, teng o'lchamdagi
ichki intervallar va ichki nuqtalari sifatida o'ng nuqtalardan foydalaniladi.
0
Misol 1: Aniq integralni ta'rifidan foydalanib toping. J (x - 2) dx .
-4
Yechish. [-4,0] oralig'ni n ta teng qismlarga bo'lamiz
n
6
0_(_4) 4 , A*w — —— -, (w —1,2,3,...,n). n n
Ichki intervallarning o'ng tomonidagi so'nggi nuqtalarini cw sifatida tanlaymiz 0_(_-)
c, — _4 +
n
, 4 • w , л „ „ \
• w — _4 +-, (w —1,2,3,..., n).
n
Funksiya f (x) — x _ 2 bo'lib, aniq integral quyidagicha hisoblanadi:
0 n n f
j( x _ 2 ) dx — lim X f ( cw K, — Im V f l_4 +
w—1
4 • w | ( 4 _
w—1 v n J V nJ n^0
r f
4 • w
n
V n у
l im V
_4 +
4 • w
w—1 V
n
_ 2
J J
Agar [ , ] a b kesmada f x( ) 0  bo’lsa, u holda, y f x  ( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a  , x b  to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ( ) b a Q f x dx   (1) Agar f x( ) 0  [ , ] a b da bo’lsa, u holda ( ) b a f x dx  aniq integral ham  0 bo’ladi. Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng: ( ) b a   Q f x dx  Agar f x( ) funksiya [ , ] a b kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [ , ] a b kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz.
Integral f x( ) 0  bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0  bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda | ( ) | b a Q f x dx   bo’ladi. Misol 1. y x  sin sinusoid ava Ox o’q bilan 0 2  x  bo’lganda chegaralangan Q yuzani toping. Yechish. 0  x  da sin 0 x  va    x 2 da sin 0 x  bo’lganligi uchun 2 2 0 0 Q xdx xdx x dx sin sin | sin |           0 0 sin cos | (cos cos0) ( 1 1) 2 xdx x               2 2 sin cos | (cos 2 cos ) 2 xdx x               Demak, Q     2 | 2 | 4 Agar 1 y f x  ( ), 2 y f x  ( ) egri chiziqlar va x a  , x b  ordinatalar bilan chegaralangan yuza 1 2 f x f x ( ) ( )  shart bajarilganda 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] b b b a a a Q f x dx f x dx f x f x dx        (2) bo’ladi. Misol 2. y x  va 2 y x  egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping. Yechish. Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz: 2 x x  ; 4 x x  , bu yerdan 1 x  0 va 2 x 1.
Demak, 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 ( ) 3 3 3 3 3 x Q xdx x dx x x dx x             Endi tenglamasi x t ( ), y t ( ) (3) parametrik ko’rinishda bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini topamiz, bu yerda    t va  ( )  a,  ( )  b. (3) tenglamalar [ , ] a b kesmada biror y f x  ( ) funksiyani aniqlash va demak egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ( ) b b a a Q f x dx y dx     formula bilan hisoblanishi mumkin. Bu integralda o’zgaruvchini almashtiramiz: x t ( ),dx t dt '( ) . (3) tenglamalar asosida topamiz: y f x f t t    ( ) [ ( )] ( )   Demak, ( ) '( ) b a Q t t dt     (4) Bu parametric ko’rinishda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish formulasidir.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping. x a t y b t   cos , sin Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va a dan agacha o’zgaradi, demak, t  dan 0 gacha o’zgaradi: 0 0 2 2 0 0 0 2 ( sin )( sin ) 2 sin 2 sin 1 cos 2 sin 2 2 2 2 2 4 Q b t a tdt ab t dt ab t dt t t t ab dt ab ab                            2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq    f ( ) tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( )  -      da uzluksiz funksiya.    f ( ) egri chiziq hamda       , radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz. Berilgan yuzani 0 1 , ,...,          n radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari 1 2 , ,...,      n bilan belgilaymiz. i1 va i orasida joylashgan qandaydir i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini i bilan belgilaymiz. Radiusi i va markaziy burchagi i bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi 1 2 2    Q i i i   ga teng. Ushbu 2 2 1 1 1 1 [ ( )] 2 2 n n n i i i i i i Q f              esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi. Bu yig’indi      kesmada 2 2 [ ( )] i     f funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max 0  i bo’lgandagi limiti 1 2 2 d      aniq integral bo’ladi. U biz i burchakning ichida qaysi i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas. Shunday qilib, OAB sektorning yuzi 1 2 2 Q d       (1) yoki 1 2 [ ( )] 2 Q f d i       (1’) formula bilan topiladi. Misol.   a cos20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping. Yechish. Agar  burchak 0 dan 4  gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak qismiga teng: 4 4 2 2 0 0 2 2 4 0 1 1 1 cos 20 4 2 2 sin 20 2 2 4 Q d a d a a              Demak, 2 Q a Qutb koordinatalarida berilgan egri chiziq yoyining uzunlgi.
Egri chiziq    f ( ) (8) qutb koordinatalarda berilgan bo’lsin, bu yerda  - qutb radiusi,  - qutb burchagi. (8) egri chiziqning qutb burchagi 1 dan  2 gacha o’zgargandagi yoyining uzunligi 1 0 2 2 s d '         formula bilan topiladi. Misol 4.     a(1 cos ) koordinataning uzunligini toping. Yechish.  qutb burchagi 0 dan  gacha o’zgarganda chiziqning yarmini olamiz. Bu yerda   ' sin  a Demak, 2 2 2 2 0 0 0 0 2 (1 cos ) sin 2 2 2cos 4 cos 8 sin | 8 2 2 s a a d a d a d a a                         4.Aniq integrallarni taqribiy hisoblash Ma’lumki, [ , ] a b intervalda uzluksiz bo’lgan har qanday y f x  ( ) funksiya shu intervalda boshlang’ichga ega, ya’ni F x f x '( ) ( )  tenglikni qanoatlantiradigan F x( ) funksiya mavjuda. Ammo har qanday boshlang’ich funksiya, hattoki u mavjud bo’lgan holda ham, elementar funksiyalar orqali chekli ko’rinishda ifodalanmaydi. Bunday hollarda aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash ancha mushkul ish va aniq integralni hisoblashning turli taqribiy usullar qo’llaniladi. Hozir biz taqribiy integralning bir necha usullarini keltiramiz.
I.To’g’ri to’rtburchaklar formulasi [ , ] a b kesmada uzluksiz y f x  ( ) funksiya berilgan bo’lsin. Ushbu ( ) b a f x dx  aniq integralni hisoblash talab etiladi. [ , ] a b kesmani 0 1 2 , , ,..., n a x x x x b   nuqtalar yordamida uzlukligi x bo’lgan n ta teng qismlarga bo’lamiz: b a x n    0 1 2 1 , , ,..., , n n y y y y y  bilan f x( ) funksiyaning 0 1 2 , , ,..., n x x x x nuqtalardagi qiymatlarini belgilaymiz: 0 0 1 1 ( ), ( ),..., ( ) n n y f x y f x y f x    Endi 0 1 1 ... n y x y x y x       1 2 ... n y x y x y x       yig’indilarni tuzamiz. Bu yig’indilardan har biri f x( ) funksiya uchun [ , ] a b kesmada integral yig’indi bo’ladi va shuning uchun ( ) ...  0 1 2 1  b n a b a f x dx y y y y n         (1) ( ) ...  1 2  b n a b a f x dx y y y n       (1’) Mana shu to’g’ri to’rtburchaklar formulasidir. Rasmdan ko’rinib turibdiki, agar f x( ) - musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula ichlaridan to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinasimon figuraning yuzasini ifodalaydi. (1’) formula esa tashqariga chiqib turgan zinasimon figurani yuzasini ifodalaydi. n soni qanchalik kata bo’lsa, (ya’ni b a x n    bo’lishi qadami qanchalik kichik bo’lsa) integralni to’g’ri to’rtburchaklar formulasi yordamida hisoblashdagi hatolik shunchalik kam bo’ladi. II.Trapetsiyalar formulasi. Agar berilgan y f x  ( ) egri chiziq o’rniga zinasimon funksiyani emas, balki ichki chizilgan aniq chiziqni olsak (2-rasm) biz aniq integralning yanayam aniqroq qiymatini olamiz.
Bu holda aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi o’rniga yuqoridan 1 1 2 1 , ,..., AA A A A B n vatarlar bilan chegralangan to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzalarining yig’indisini olamiz. Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzasi 0 1 2 y y x   ga ikkinchisiniki 1 2 2 y y x   g ava v.h.zga teng bo’lganligi uchun 0 1 1 2 1 ( ) ... 2 2 2 b n n a y y y y y y f x dx x x x                   yoki 0 1 1 2 1 ( ) ... 2 b n a b a y y f x dx y y y n                (2) Bu trapetsiyalar formulasidir. (2) formulaning o’ng tomonida turgan son (1) va (1’) formulalarning o’ng tomonlarida turgan sonlarning o’rta arifmetigidir. n soni ixtiyoriy tanlanadi. Bu son qanchalik kata bo’lsa, demakki, b a x n    qadam shunchalik kichik bo’ladi, (2) taqribiy tenglikning o’ng tomonida turgan yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi. III.Parabolalar formulasi (Simpson formulasi). [ , ] a b kesmani juft sondagi n m  2 teng bo’laklarga bo’lamiz.
Dastlabki ikkita 0 1 [ , ] x x va 1 2 [ , ] x x kesmalarga mos kelgan va berilgan y f x  ( ) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini 0 0 1 1 1 2 2 2 M x y M x y M x y ( , ), ( , ), ( , ) uchta nuqtalar bilan chegaralangan va Oy o’qqa parallel o’qqa ega bo’lgan egri chiziqli trapetsiya yuzasi bilan almshtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolic trapetsiya deyiladi. O’qi Oy o’qqa parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi 2 y Ax Bx C    ko’rinishida bo’ladi. A B C , , koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtalardan o’tish shartidan topiladi. Kesmalarning boshqa juftlari uchun ham shunga o’xshagan parabolalarni quramiz. Parabolic trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz. Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz. Lemma.
Agar egri chiziqli trapetsiya 2 y Ax Bx C    parabola, Ox o’q va oralaridagi masofalari 2h bo’lgan ikkita ordinatalar bilan chegaralangan bo’lsa, u holda uning yuzasi  0 1 2 4  3 h S y y y    (3) Bu yerda 0 y va 2 y - chetki ordinatalar, 1 y -egri chiziqning kesma o’rtasidagi ordinatasi. Isbot. Yordamchi koordinatalar sistemasini rasmda ko’rasatilgandan joylashtiramiz. 2 y Ax Bx C    parabola tenglamasidagi koeffitsientlar quyidagi tenglamalardan topiladi: Agar 0 x h   bo’lsa 2 0 y Ah Bh C    Agar 1 x  0 bo’lsa 1 y C (4) Agar 2 x h  bo’lsa 2 y Ah Bh C    A B C , , koeffitsientlarni ma’lum deb hisoblab, parabolic trapetsiyaning yuzasini aniq integral yordamida topamiz:   3 2 2 2 (2 6 ) 3 2 3 h h h h Ax Bx h S Ax Bx C dx Cx Ah C                  Ammo (4) tenglikdan 2 0 1 2 y y y Ah C     4 2 6 Kelib chiqadi. Shunday qilib 2 (2 6 ) 3 h S Ah C   Shuni isbotlash talab etilgan edi. Endi o’zimizning asosiy masalamizga qaytamiz. (3) formuladan foydalanib, biz quyidagi taqribiy tengliklarni yozishimiz mumkin ( h x   ): 2 0 4 2 2 2 2 0 1 2 2 3 4 2 2 2 1 2 ( ) ( 4 ) 3 ( ) ( 4 ) 3 ................................................. ( ) ( 4 ) 3 m m x a x x x x b m m m x x f x dx y y y x f x dx y y y x f x dx y y y                     Chap va o’ng tomonlarni yig’ib, chap tomonda izlanayotgan integralni chap tomonda esa uning taqribiy qiymatini topamiz: 0 1 2 3 2 2 2 1 2 ( ) ( 4 2 4 ... 3 ... 2 4 ) b a m m m x f x dx y y y y y y y             (5) yoki 0 2 2 4 2 2 1 3 2 1 ( ) ( 2[ ... 2 ] 6 4[ ... ]) b m m a m b a f x dx y y y y y m y y y               
Bu Simpson formulasidir. Bu yerda 2m bo’linishlar soni ixtiyoriy, ammo bu son qanchalik kata bo’lsa, (5)ning o’ng tomonidagi yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi. Misol. Taqribiy hisoblang: 2 1 ln 2 dx x   Yechish. [1,2] kesmani 10ta teng bo’laklarga bo’lamiz.2 1 0.1 10 x     deb olib, integral ostidagi funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzamiz: x y x 1/ x y x 1/ 0 1 2 3 4 5 1,0 1,1 1, 2 1,3 1, 4 1,5 x x x x x x       0 1 2 3 4 5 1,00000 0,90909 0,83333 0,76923 0,71429 0,66667 y y y y y y       6 7 8 9 10 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 x x x x x      6 7 8 9 10 0,62500 0,58824 0,55556 0,52632 0,50000 y y y y y      1.To’g’ri to’rtburchaklar (1) formulasi bo’yicha topamiz: 2 0 1 9 1 0,1( ... ) 0,1 7,18773 0,71877 dx y y y x         To’g’ri to’rtburchaklar (1’) formulasi bo’yicha 2 1 2 10 1 0,1( ... ) 0,1 6,68773 0,66877 dx y y y x         Rasmdan bevosita kelib chiqadiki, bu holda birinchi formula integralning qiymatini ortig’i bilan, ikkinchisi esa kami bilan beradi. II.Trapetsiyalar (2) formulasi bo’yicha 2 1 1 0,5 0,1( 6,18773) 0,69377 2 dx x      III.Simpson (5) formulasi bo’yicha 2 0 10 2 4 6 8 1 3 5 7 9 1 0,1[ 2( ) 4( )] 3 0,1(1 0,5 2 2,72818 4 3,45955) 0,69315