Streometriyada vektorlar metodi

3. Stereometrik masalalarni yechishning vektor usuli

Geometrik masalalarni echishda algebra va trigonometriyadan foydalangan holda an'anaviy usullardan tashqari, boshqa usullardan, xususan, vektordan foydalanish mumkin. Vektorlardan foydalanish qobiliyati ma'lum ko'nikmalarni talab qiladi. Biz geometrik gaplarni vektor tiliga tarjima qilishni va aksincha, vektor munosabatlarini geometrik talqin qilishni o'rganishimiz kerak. Vektor usuli, har qanday boshqa kabi, har doim ham qo'llanilmaydi. Muayyan muammoni hal qilish uchun mos keladimi yoki yo'qligini oldindan ko'rish qobiliyati tajriba bilan rivojlanadi.
Planimetrik masalalarni yechishda avval vektorlarni qo'llashni o'rganish tabiiy. Bunday masalalarni muallifning “Planimetriya masalalari va ularni yechish usullari” kitobida va boshqa darsliklarida topish mumkin.
Ushbu bobda planimetrik masalalar, 3.1-§da - parallellik, uchta nuqtaning bir chiziqqa va to'rt nuqtaning bir xil tekislikka tegishliligi va parallel chiziqlar segmentlarining nisbati masalalari mavjud. Bunday muammolar affin deb ataladi. Ularni yechish uchun vektorlarni qo'shish va ayirish, vektorni songa ko'paytirish amallari va ularning xossalari qo'llaniladi. § 3.2 da keltirilgan masofalarni, burchaklarni va boshqa ba'zi narsalarni hisoblash masalalarini faqat ushbu amallar yordamida hal qilish mumkin emas va vektorlarning skalyar mahsulotidan foydalanishni talab qiladi. Bunday muammolar metrik deb ataladi.

3.1 Stereometriyada affin masalalari

Affin transformatsiyalarining xossalari:
1) Koordinatalarning xossalariga ko'ra, affin o'zgarishi - bu tekislikni tekislikka birma-bir tasvirlash:
- har bir nuqta tasvirga ega va bundan tashqari, faqat bitta;
- turli nuqtalarda turli xil tasvirlar mavjud;
- diapazonning har bir nuqtasi oldindan tasvirga ega.
2) Affin xaritalash nuqtalarning koordinatalarini saqlaganligi sababli, raqamlar tenglamalarini saqlaydi. Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa aylanadi.
3) Affinga teskari transformatsiya yana afin transformatsiya hisoblanadi.
4) Bir to’g’rida yotmaydigan nuqtalar bir to’g’rida yotmaydigan nuqtalarga boradi, ya’ni kesishuvchi to’g’rilar kesishuvchi chiziqlarga, parallel chiziqlar esa parallel bo’ladi.
5) Affin transformatsiyalarda bir yoki parallel chiziqlarda yotgan segmentlar uzunliklarining nisbatlari saqlanib qoladi.
6) Ko'pburchaklar maydonlarining nisbatlari ham saqlanadi.
7) Parallel bo'lmagan to'g'ri chiziqlar, burchaklar segmentlari uzunliklarining nisbati saqlanishi shart emas.
Affin xossalari bo'yicha masalalarni yechishda oddiyroq raqamlarga, masalan, muntazam uchburchakka o'tish uchun afin transformatsiyalaridan foydalanish qulaydir. Va keyin, teskari afin transformatsiyasidan foydalanib, natijani kerakli raqamga o'tkazing.





Vazifa 5(Olimpiada 11-sinf). Uchburchak piramida tekislik bilan kesiladi, shunda yon yuzlarning medianalari piramidaning tepasidan hisoblangan holda 2:1,3:1 va 4:1 nisbatda kesishish nuqtalariga bo'linadi. Piramidaning tepasidan hisoblaganda, yon qirralari qanday nisbatda singan? (Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universiteti materiallaridan). Javob: 12:7, 12:5, 12:1
1) Masalada ixtiyoriy piramida paydo bo'ladi, unda medianalar chiziladi (va mediana bo'lish affin xususiyatdir), medianalar bo'yicha proportsional segmentlar olinadi (affin o'zgarishi bilan, birida yotgan segmentlar uzunliklarining nisbati). to'g'ri chiziq saqlanib qoladi). Bu shuni anglatadiki, bu muammoni "qulay" piramida uchun hal qilish mumkin, so'ngra affin transformatsiyasidan foydalanib, natijani o'zboshimchalik bilan o'tkazing.
2) Cho'qqisida uchta tekis burchakli to'g'ri bo'lgan piramida uchun masalani hal qilaylik. Yangi piramidani OXYZ to'rtburchaklar koordinatalar sistemasiga joylashtiramiz (6-rasm).
3) Yuzlarning biriga OO1 medianasini chizing. O1A1 va O1B1 - AOB uchburchagining o'rta chiziqlari. shunday nuqta .U holda K() nuqtaning koordinatalari yoki A1 va B1 mos ravishda OA va OB ning vositalari ekanligini hisobga olsak, K( ).Boshqa tomondan, biz o'rtacha OO2 ni chizamiz. Unda M nuqtani shunday belgilaymizki, OM:MO2=3:1. Xuddi shunday M(yoki M) koordinatalarini topamiz. Nihoyat, N nuqta OO3 va ON:NO3=2:1 medianasida yotadi, keyin N yoki N(0.
Tahlil qilib, A(40;0;0), B(0;15;0), C(0;0;24) nuqtalari uchun qulay sonli koordinatalarni tanlaymiz.
Tekislik (MNK) piramidaning chetlarini ba'zi X`, Y`, Z` nuqtalarda kesib o'tadi. Avval X` (x; 0; 0) nuqtaning koordinatalarini topamiz. PointX` (KMN) mavjud bo'lsa shunday qilib, aytaylik (bular vektorlar). (15; -5; 1), (16; 1; -8), (x; -5; -8) vektorlarining koordinatalarini yozamiz. Keyin quyidagi tenglamalar tizimi amal qiladi. Biz buni hal qilamiz: ikkinchi tenglamani 8 ga ko'paytiramiz, biz olamiz. X ni qayerdan topamiz .
Biz munosabatlarni topishimiz kerak .Demak, X` nuqta OA chetini 12:1 nisbatda ajratadi. Hisob-kitoblar ham munosib, ammo tushunarli. Qolgan ikki tomonning nisbatlarini xuddi shunday topish mumkin.
Muammoni "qulay" piramidada hal qilib, ushbu piramidani ixtiyoriy piramidaga aylantiradigan affin transformatsiya mavjudligini hisobga olib, natijani ixtiyoriy piramidaga o'tkazamiz.
Agar ushbu masala sharoitida “qulay” piramida taklif qilinganida, ehtimol, talabalardan biri hech bo'lmaganda masalani yechishga urinib ko'rgan bo'lardi.Affin o'zgartirishlar usuli qiyin faktlarni oson isbotlash uchun qisqartirish imkonini beradi.