Template paper varehd 12

3.5 FUNCŢIILE PRINCIPALE ALE PROCEDURILOR AUTOMATE

Pe baza algoritmului general descris anterior au fost realizate subprograme funcţii în mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric diverse probleme de contact elastic. Pentru prezentarea rezultatelor modelării numerice şi vizualizarea graficelor au fost realizate mai multe proceduri distincte, privind: calculul coeficienţilor de influenţă, construirea sistemului liniar în presiuni, scalarea sistemului, rezolvarea sistemului în presiuni prin metode directe, iterative şi de tip gradient, analiza convergenţei metodelor iterative.

3.6 SCHEMĂ GENERALĂ ASOCIATĂ ALGORITMULUI

Se prezintă schema logică asociată algoritmului de rezolvare a problemelor de contact elastic, pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică.

3.7 CONCLUZII

Pe baza metodei clasice a coeficienţilor de influenţă, se propune un studiu extins privind modelarea numerică a contactului elastic. Au fost realizate mai multe proceduri automate în mediul de programare Matlab, ale căror funcţiuni sunt prezentate, succint, în continuare.

• 
  procedura date: în dialog cu utilizatorul aplicaţiei, se solicită elemente de identificare a problemei de contact;
  
• 
  procedura discret: realizează discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniformă sau impusă);
  
• 
  procedura analit: în scopul validării modelului numeric, sunt stocate, într-un fişier pe disc, rezultate analitice din literatura de specialitate;
  
• 
  procedura geoin: descrie geometria iniţială a suprafeţelor în contact;
  
• 
  procedura cinf: realizează calculul coeficienţilor de influenţă, în variantele: analitic (Love) şi combinat (analitic pe diagonala principală şi aproximativ, în rest);
  
• 
  procedura initial: stabileşte matricea iniţială a sistemului în presiuni, în raport de varianta de modelare numerică dorită;
  
• 
  procedura scalare: analizează condiţionarea sistemului în presiuni şi, după caz, scalarea sistemului;
  
• 
  procedura rezsist: rezolvă sistemul liniar în presiuni pe baza metodelor prezentate anterior;
  
• 
  procedura reznum: determină numeric elementele contactului elastic; rezultatele aplicaţiei sunt salvate în fişiere pe disc şi vizualizate la cerere.
  

CAPITOLUL 4
VALIDAREA MODELĂRII NUMERICE PROPUSE PRIN REZULTATE ANALITICE ŞI EXPERIMENTALE EXISTENTE

4.1 VALIDARE PE CONTACTE HERTZIENE
Pentru câteva exemple clasice de contacte elastice se pun în evidenţă aspectele urmărite prin modelare, iar rezultatele numerice şi concordanţa acestora cu cele hertziene sunt prezentate, pentru exemplificare, numai pentru contactul dintre două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale.

4.1.1 Contactul dintre doi paraboloizi eliptici

Se consideră contactul dintre doi paraboloizi eliptici, încărcat normal cu sarcina N. Se pun în evidenţă următoarele aspecte:

• 
  concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian;
  
• 
  efectul dimensionării ariei estimate de contact asupra rezultatelor modelării;
  
• 
  scalarea matricei sistemului în presiuni.
  

4.1.2 Contactul sferei de rază cu sfera de rază

Se consideră contactul dintre două sfere de raze diferite, încărcat normal cu sarcina N. Sunt cercetate:

• 
  concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian;
  
• 
  efectul modului de calcul al coeficienţilor de influenţă (analitic sau variantă combinată) asupra rezultatelor modelării.
  

4.1.3 Contactul elipsoid - semispaţiu elastic

Se consideră contactul elipsoid - semispaţiu elastic, încărcat normal cu sarcina N. Se analizează:

• 
  concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este inclusă în sistem) şi modelul analitic hertzian;
  
• 
  concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este în afara sistemului) şi modelul analitic hertzian;
  
• 
  analiza comparativă a rezultatelor.
  

4.1.4 Contactul dintre doi cilindri de raze şi având axele

perpendiculare

Se consideră contactul dintre doi cilindri de raze şi , având axele perpendiculare, încărcat normal cu sarcina 2000 N. În cadrul acestei probleme, se pun în evidenţă:

• 
  concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda iterativă Gauss-Seidel şi modelul analitic hertzian;
  
• 
  analiza comparativă a modelărilor realizate cu metoda iterativă Gauss-Seidel, respectiv metoda directă Gauss.
  

În toate problemele de contact prezentate mai sus s-a obţinut o foarte bună concordanţă

între rezultatele modelării numerice şi cele date de teoria hertziană.

4.1.5 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe toroidale

În cadrul acestei probleme de contact elastic, se analizează:

• 
  concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda gradientului conjugat şi modelul analitic hertzian.
  

Torul este suprafaţa generată prin rotirea unui cerc în jurul unei axe conţinută în planul cercului şi exterioară lui. Sunt determinate reprezentările analitice ale suprafeţelor nominale în contact şi curburile principale, în punctul iniţial de contact. Modelarea numerică a problemei se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este în afara sistemului, reţeaua de discretizare este uniformă cu 47x23 noduri, se utilizează o dimensionare optimă a ariei estimate de contact, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic şi sistemul în presiuni se rezolvă cu metoda gradientului conjugat. Elementele contactului elastic (analitic, numeric şi eroarea relativă) sunt prezentate în Tab. 4.15.

Tabel 4.15 Elementele contactului elastic

Tip rezultate	Presiunea hertziană de contact, [GPa]	Apropierea normală, [m]	Semiaxa mare a elipsei, [m]	Semiaxa mică a elipsei, [m]
analitic numeric	3,91312 3,91406	5,25891 e-06 5,25775 e-06	2,19377 e-04 2,19377 e-04	5,56059 e-05 5,56059 e-05
er. relativă	0,02414 %	0,02209 %	7,41 e-14 %	2,44 e-14 %

Din analiza datelor conţinute în tabel, se constată o foarte bună concordanţă între cele două modele. În cazul presiunii maxime de contact şi a apropierii normale, se înregistrează erori relative cu valori mai mici de 0.25 ‰. În continuare, sunt prezentate rezultatele grafice ale validării.



Fig. 4.26 (4.27) Geometria iniţială de contact şi geometria contactului echivalent



Fig. 4.28 (4.29) Distribuţia spaţială de presiuni: model numeric şi analitic (Hertz)


Fig. 4.30 (4.31) Distribuţia presiunii în lungul axei mari, respectiv axei mici a elipsei de contact

4.2 VALIDARE PE CONTACTE NEHERTZIENE
Admitem că, pentru contacte concentrate punctuale, geometria iniţială de contact este nehertziană, adică separarea dintre suprafeţe nu se poate reduce la o formă pătratică, [Cr03].

4.2.1 Contact pe vârf conic

Contactul con circular - semispaţiu elastic este un contact neconform punctual cu discontinuităţi de suprafaţă de ordinul unu. Abordări analitice ale problemei lui Boussinesq, privind penetrarea semispaţiului elastic de către un con circular rigid, au realizat Love, citat de Johnson, [Jo85], Sneddon, [Sn48], Shtaerman, [Sh49]. Modelarea numerică propusă se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este inclusă în sistem, reţeaua de discretizare este uniformă cu 35x35 noduri, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic, sistemul în presiuni se rezolvă cu metoda Gauss, unghiul exterior al conului este grade, iar raza exterioară a ariei circulare de contact este m. Rezultatele numerice, analitice şi eroarea relativă sunt prezentate în Tab. 4.17, iar graficele modelării, în Fig. 4.32 - Fig 4.33.

Tabel 4.17 Rezultatele modelării contactului pe vârf conic

Tip rezultate	Presiunea maximă, [GPa]	Presiunea medie, [GPa]	Apropierea normală, [m]
analitic numeric	3,73077	0,69231 0,69231	9,42478 e-05 9,42443 e-05
er. relativă	………	1,2 e-13 %	0,00373 %

a) b)

Figura 4.32 a) Geometria iniţială de contact b) Distribuţii diametrale ale presiunii



a) b)

Figura 4.33 Distribuţia spaţială de presiuni: a) model numeric b) model analitic

În vecinătatea vârfului conului apar concentrări puternice în distribuţia presiunii de contact. Pentru atenuarea acestor efecte, se utilizează, de regulă, racordări locale ale suprafeţelor în contact prin suprafeţe convenabil alese. Pentru o problemă generală de contact normal axisimetric, Shtaerman, [Sh49], a stabilit expresii analitice ale elementelor contactului elastic, reluate în [Ci99]. În cazul contactului pe vârf conic, Ciavarella, [Ci99], realizează racordarea generatoarelor conului, în secţiune radială, prin arce de cerc, (Fig. 4.34), şi analizează efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni. Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului În Tab. 4.22 se dau elementele contactului elastic, analitic şi numeric, pentru o valoare intermediară ale raportului , iar Fig. 4.39 pune în evidenţă rezultatele grafice ale modelării realizată în teză.

Tabel 4.22 Rezultatele modelării contactului pentru

Tip rezultate	Presiunea maximă, [GPa]	Presiunea medie, [GPa]	Apropierea normală, [m]	Forţa normală, [KN]
analitic numeric	1,38284 1,38359	0,68261 0,68248	7,89088 e-05 7,89058 e-05	214,449 214,449
er. relativă	0,05401 %	0,02000 %	0,00386 %	0

Erorile relative înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice, ceea ce implică validarea modelului numeric şi a codului calculator aferent.

Efectul creşterii razei de curbură a profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat în Fig. 4.45.

Figura 4.34 Poanson conic cu vârf racordat, [Ci99]



a) b) c) d)

Figura 4.39 Rezultatele modelării pentru

a) geometria iniţială de contact b) distribuţia diametrală a presiunii

c) distribuţia spaţială de presiuni, numeric d) distribuţia spaţială de presiuni, analitic



Figura 4.45 Distribuţii radiale ale presiunii de contact (numeric şi analitic),

în funcţie de raza profilului de racordare

În Fig.4.45 sunt trasate şi graficele corespunzătoare cazurilor limită şi , care reprezintă contactul pe vârf conic ascuţit, respectiv, contactul pe vârf conic cu racordare completă (contact hertzian). Este evident că, simultan cu creşterea razei de racordare, se înregistrează o diminuare semnificativă a presiunii maxime atinsă în centrul ariei de contact.

2. 
   Contact conform circular
   

Contactul dintre un cilindru circular drept, cu bază plană şi semispaţiul elastic este un contact conform cu discontinuităţi de suprafaţă de ordinul zero la limita contactului. Prima soluţie a problemei a fost furnizată, în 1885 de Boussinesq, [Bo69]. Pentru un poanson rigid de secţiune circulară şi suprafaţă frontală plană, având raza , se realizează modelarea numerică, iar rezultatele obţinute sunt comparate cu cele oferite de modelul analitic.

Tabel 4.29 Rezultatele modelării

Tip rezultate	Presiunea maximă, [GPa]	Presiunea medie, [GPa]	Presiunea în centrul contactului, [GPa]	Apropierea normală, [m]
analitic numeric	inf 5,85007	1,27324 1,28302	0,64868 0,63662	8,66667 e-06 8,74863 e-06
er. relativă	------	0,76807 %	1,89397 %	0,94573 %

E
rorile relative înregistrate conduc la o bună concordanţă între modele. La limita ariei de contact, unde apar discontinuităţi de ordonată ale poansonului, modelul analitic înregistrează presiuni infinite. Rezultatele modelării sunt sugerate în reprezentarea adimensională a distribuţiei axiale de presiuni:

Figura 4.48 Distribuţia diametrală a presiunii de contact

C
ea mai simplă soluţie, pentru diminuarea concentrării de presiuni maxime la limita ariei de contact, constă în racordarea suprafeţei frontale plane a poansonului echivalent cu suprafaţa laterală prin suprafeţe care au profilul transversal format din arce de cerc, după cum se reprezintă în Fig. 4.49. Expresii analitice ale elementelor contactului conform circular racordat a oferit Shtaerman, [Sh49]. Efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni a fost studiat de Shtaerman, [Sh49] şi Ciavarella, [Ci99].

Figura 4.49 Geometria de contact: poanson echivalent – semispaţiu elastic, [Ci99]
Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului Sunt puse în evidenţă presiunea maximă, medie şi în centrul secţiunii, precum şi apropierea normală dintre corpurile în contact, (analitic şi numeric) pentru valori intermediare ale raportului . Pentru rezumatul de faţă se selectează cazul particular :

Tabel 4.35 Rezultatele modelării contactului pentru

Tip rezultate	Presiunea maximă, [GPa]	Presiunea medie, [GPa]	Presiunea în centrul contactului, [GPa]	Apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,62606 1,63923	1,27324 1,28048	0,98208 0,98141	1,06191 e-05 1,06179 e-05
er. relativă	0,80943 %	0,56844 %	0,06816 %	0,01172 %

Erorile relative, în procente, înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice. Efectul razei profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat, în unităţi adimensionale, în Fig. 4.55.


a) b) c)

Figura 4.55 Rezultatele modelării pentru

a) distribuţia de presiuni, numeric b) geometria de contact c) distribuţia de presiuni, analitic

V
aloarea presiunii din centrul contactului variază între 0.5 şi 1.5 din presiunea medie. Este evidentă tendinţa crescătoare a presiunii la frontiera ariei de contact, odată cu reducerea razei de racordare. Cazul limită corespunde unei racordări complete, iar contactul echivalent are loc între un paraboloid şi semispaţiul elastic (contact hertzian).

Figura 4.60 Distribuţii radiale de presiuni (numeric şi analitic), în funcţie de raza profilului de racordare

4.2.3 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru

Contactul echivalent are loc între un poanson cu suprafaţa descrisă de o funcţie omogenă de gradul patru şi semispaţiul elastic:

; .

(4.42)

În cadrul unei extensii a teoriei lui Hertz, Diaconescu, [Di03], determină analitic elementele contactului elastic. Constantele elastice ale materialelor care compun corpurile în contact sunt: Pa, iar sarcina aplicată este . În Tab. 4.41 se dau elementele contactului elastic (numeric şi analitic) şi concordanţa dintre cele două modele, pentru .