Template paper varehd 12

Tabel 4.41 Rezultatele modelării numerice

	model analitic	model numeric	eroare relativă
presiunea maximă, [MPa]	1,77142	1,77411	0,1518 %
presiunea în centrul contactului, [MPa]	1,26603	1,26368	0,1859 %
semiaxa mare a elipsei (a), [m]	2,02078 e-02	2,02078 e-02	0 %
semiaxa mică a elipsei (b), [m]	1,04795 e-02	1,04795 e-02	0 %
apropierea normală, [m]	3,62432 e-07	3,62323 e-07	0,0300 %

Din analiza erorilor relative, rezultă o bună concordanţă între elementele contactului, determinate analitic şi numeric. Aşadar, se validează atât modelarea problemei de contact, cât şi codul calculator aferent. Reprezentările grafice următoare pun în evidenţă distribuţiile spaţiale, respectiv axiale, ale presiunii (numeric şi analitic).



Figura 4.62 (4.63) Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv analitic



a) b)

Figura 4.64 Distribuţii axiale ale presiunii de contact, numeric şi analitic:

a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact

4.3 VALIDARE EXPERIMENTALĂ
Recent, Glovnea, [Gl99], Glovnea şi Diaconescu, [Gl04], au propus o nouă tehnică experimentală de investigare a modelelor de contact prin profilometrie cu laser. Pentru a studia dependenţa ariei de contact de sarcină, autorii menţionaţi anterior au utilizat o rolă de rulment cu diametrul de 6,5 mm, având raza nominală de racordare de 0,4 mm. Rola a fost apăsată axial pe o placă plană de safir la cinci nivele de sarcină, şi anume: 40,15 N; 292 N; 894 N; 1154 N; 1560 N. Se analizează concordanţa dintre măsurătorile experimentale şi rezultatele modelării numerice propusă în teză. Valorile raportului supraunitar , dintre raza exterioară a domeniului de contact şi raza exterioară a porţiunii frontale plane, pentru nivelele de sarcină precizate anterior, sunt prezentate sintetic în Tab. 4.42.

Tabel 4.42 Variaţia raportului în funcţie de sarcina aplicată

Raportul b/a	Sarcina Q [N]
	0	40,15	292	894	1154	1560
experimental	1	1,00017	1,000613	1,001188	1,0017	1,0021
numeric	1	1,000175	1,000702	1,001403	1,001754	1,001930

Se constată o bună concordanţă între cele două seturi de date. Rezultatele grafice ale modelării numerice, pentru sarcina , sunt prezentate în Fig. 4.65 – 4.66, iar variaţia raportului de majorare a ariei de contact este dată în Fig. 4.68.



Figura 4.65 (4.66) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric



Figura 4.68 Variaţia raportului de majorare a ariei de contact, numeric şi experimental

CAPITOLUL 5
MODELAREA NUMERICĂ A CONTACTULUI ELASTIC NORMAL PRIN EXTINDEREA ARIEI DE CONTACT

5.1 DESCRIEREA METODEI

Pentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă (MCI_2). Deosebirea principală faţă de metoda clasică constă în aceea că aria reală de contact se construieşte din puncte aflate cu siguranţă în contact, iar extinderea ei se face treptat prin adăugarea de noi puncte care îndeplinesc anumite condiţii. În continuare sunt prezentate ideile de bază ale metodei:

• 
  datele iniţiale ale problemei de contact elastic sunt stocate pe suport magnetic sau preluate interactiv, în dialog cu utilizatorul aplicaţiei;
  
• 
  pentru validare, se determină elementele contactului elastic pe baza abordărilor analitice existente în literatura de specialitate;
  
• 
  se acceptă ca arie estimată de contact un domeniu dreptunghiular, discretizat în arii elementare (celule), pe fiecare dintre ele presiunea fiind considerată uniform distribuită; solicitarea de contact este o încărcare pur normală;
  
• 
  se pun în evidenţă reprezentările explicite ale geometriei iniţiale de contact şi matricea coeficienţilor de influenţă;
  
• 
  se asociază fiecărei celule următoarele elemente de identificare: număr, dimensiuni (lungime, lăţime), coordonatele vârfurilor şi ale centrului faţă de sistemul de coordonate ataşat;
  
• 
  în centrele celulelor, de coordonate , se calculează distanţele dintre cele două corpuri în stare nedeformată, ; elementele de arie pentru care vor constitui aria iniţială de contact;
  
• 
  separaţiile sunt sortate în ordine strict crescătoare, cu menţionarea celulelor corespunzătoare;
  
• 
  mulţimea valorilor , obţinută anterior, se descompune în clase de valori egale;
  
• 
  ecuaţia discretizată a contactului conduce la un sistem nedeterminat de ecuaţii liniare în presiuni;
  
• 
  compatibilizarea sistemului anterior se face pe baza observaţiei că valoarea apropierii normale se poate deduce din pasul anterior al algoritmului;
  
• 
  se adaugă noi puncte la aria reală de contact (cu valoarea separaţiei imediat următoare), până când suma forţelor elementare este caracterizată de o valoare care se află în imediata vecinătate superioară a sarcinii aplicate; dimensiunea sistemului creşte, pe măsură ce noi celule sunt acceptate ca aparţinând ariei reale de contact;
  
• 
  ecuaţia de echilibru discretizată, necuprinsă în modelul numeric, este utilizată ca o condiţie de oprire a algoritmului;
  
• 
  algoritmul se opreşte atunci când suma forţelor elementare S depăşeşte, pentru prima dată, valoarea sarcinii aplicate; diferenţa , raportată la aria reală de contact, reprezintă o cantitate elementară de presiune care va corecta distribuţia de presiuni şi deplasarea rigidă obţinute în finalul modelării;
  
• 
  modelarea numerică reţine trei seturi de rezultate: aproximarea superioară, aproximarea inferioară şi soluţia corectată..
  

În &5.2 sunt reprezentate grafic etapele de bază ale extinderii ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă.
5.3 VALIDAREA ALGORITMULUI ŞI A CODULUI CALCULATOR

ASOCIAT

Validarea se realizează atât pe baza contactelor hertziene, cât şi a contactelor nehertziene. În teză sunt prezentate modelările numerice ale următoarelor probleme: contactul sferei de rază cu sfera de rază (&5.3.1), contactul pe vârf conic ascuţit, contactul pe vârf conic racordat (&5.3.2), şi contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru (&5.3.3). În rezumatul de faţă se dau, spre exemplificare, rezultatele numerice şi grafice complete ale modelării din cazul contactului pe vârf conic racordat.

5.3.2 Contact pe vârf conic racordat,

Rezultatele modelării, pentru cele trei variante, sunt precizate în Tab. 5.3 - 5.5.

Tabel 5.3 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - aprox. inferioară)

Tip rezultate	presiunea maximă, [GPa]	suma forţelor elementare, [kN]	apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,38284 1,38040	214,449 212,797	7,8909 e-05 7,8521 e-05
er. relativă	0,1763 %	0,7706 %	0,4910 %

Tabel 5.4 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - aprox. superioară)

Tip rezultate	presiunea maximă, [GPa]	suma forţelor elementare, [kN]	apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,38284 1,38361	214,449 214,683	7,8909 e-05 7,8940 e-05
er. relativă	0,0557 %	0,1091 %	0,0040 %

Tabel 5.5 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - soluţie corectată)

Tip rezultate	presiunea maximă, [GPa]	suma forţelor elementare, [kN]	apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,38284 1,38287	214,449 214,449	7,8909 e-05 7,8876 e-05
er. relativă	0,0018 %	6,8 e-14 %	0,0042 %

Erorile relative înregistrate în ultimul tabel conduc la concluzia unei bune concordanţe între rezultatele numerice şi cele analitice, ceea ce implică validarea modelului numeric şi a codului calculator aferent. Aceeaşi concluzie se deduce şi din graficele din Fig. 5.14-5.15.


Figura 5.14 (5.15) Distribuţia diametrală a presiunii de contact - aproximaţia inferioară (numeric), aproximaţia superioară (numeric) şi soluţia analitică, respectiv distribuţia diametrală a presiunii de contact – soluţia corectată şi soluţia analitică

5.3.4 Analiză numerică comparativă

Pentru problemele de contact elastic modelate anterior, se realizează o analiză a rezultatelor obţinute pe baza metodei clasice a coeficienţilor de influenţă (MCI_1) şi a variantei de extindere a ariei de contact (MCI_2), comparativ cu cele analitice.

• 
  Contact pe vârf conic racordat
  

Pentru exemplificare, se dau în Tab. 5.10 presiunea maximă şi apropierea normală dintre corpuri, determinate analitic şi numeric, pentru un contact pe vârf conic racordat corespunzător valorii .

Tabel 5.10 Elementele contactului elastic - analiză comparativă

MCI_1	presiunea maximă, [GPa]	apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,38284 1,38359	7,8909 e-05 7,8906 e-05
er. relativă	0.0540 %	0.0039 %
MCI_2	presiunea maximă, [GPa]	apropierea normală, [m]
analitic numeric	1,38284 1,38287	7,8909 e-05 7,8876 e-05
er. relativă	0,0018 %	0,0042 %

Analizând datele cuprinse în tabel, rezultă o bună concordanţă între rezultatele oferite de cele două modelări numerice şi cele ale demersului analitic.Varianta clasică a metodei oferă rezultate mai apropiate de cele analitice, în toate cazurile analizate. Determinarea elementelor contactului elastic prin varianta extinderii ariei de contact poate fi considerată o alternativă utilă în rezolvarea problemelor de contact elastic.

CAPITOLUL 6
ANALIZA NUMERICĂ A CONTACTULUI LINIAR DE LUNGIME FINITĂ; VALIDARE EXPERIMENTALĂ

În zonele extreme ale contactului liniar de lungime finită apare fenomenul de intensificare a presiunii maxime (efect de capăt), cu consecinţe directe asupra capacităţii de încărcare a contactului. În zona centrală, tensiunile şi deformaţiile pot fi calculate pe baza teoriei lui Hertz. Modificarea profilului longitudinal al rolelor în contact reprezintă una dintre soluţiile constructive de atenuare a efectelor de capăt. O analiză numerică a soluţiilor de atenuare a efectelor de capăt este prezentată în teză.

6.1 BOMBARE COMPLETĂ

Bombarea completă presupune înlocuirea generatoarei iniţial rectilinie a unuia dintre cilindrii în contact printr-un arc de cerc cu rază mare de curbură şi centrul în planul median al rolei. Pentru validarea rezultatelor modelării, se are în vedere problema de contact propusă de Hartnett, [Ha79]. La sarcini mici, contactul este hertzian punctual şi ocupă parţial lungimea rolei. La sarcina prescrisă, kN, axa mare a elipsei de contact devine egală cu lungimea activă a rolei. Pentru sarcini mai mari, încep să se manifeste efecte de capăt, simultan cu majorarea presiunii maxime din centrul contactului. La sarcina nominală kN şi raza de curbură a arcului generator mm, dacă rola nu ar fi întreruptă de plane frontale, rezultă condiţia , unde a este semiaxa mare a elipsei de contact, iar Lc1 lungimea activă a rolei, [Lu52]. În plus, presiunile din zona de capăt egalează presiunea centrală. Aceste concluzii se deduc pe baza modelării numerice realizată în teză şi sunt în concordanţă cu rezultatele din literatura de specialitate.
În continuare, se prezintă modelarea numerică corespunzătoare bombării printr-un singur arc de cerc, ( kN). Deoarece contactul analizat este de tip hertzian punctual, pe baza valorilor teoretice ale semiaxelor elipsei de contact, se pot restrânge dimensiunile ariei estimate de contact, conform relaţiei propuse în &3.2. S-a utilizat o discretizare uniformă a domeniului estimat de contact în elemente dreptunghiulare. Se pun în evidenţă ecuaţiile poansonului în aproximare hertziană (în zona contactului, suprafeţele sunt aproximate prin cuadrice, caracterizate complet prin razele principale de curbură calculate în punctul iniţial de contact), respectiv formă geometrică nominală. În teză se propun patru variante de modelare, în funcţie de geometria contactului şi dimensionarea ariei estimate de contact. Se constată o bună concordanţă a rezultatelor numerice cu cele prognozate de Hertz, oricare ar fi varianta de modelare aleasă. Cea mai bună concordanţă, în privinţa presiunii maxime de contact este oferită de varianta în care geometria iniţială de contact este dată de aproximarea hertziană, iar aria estimată de contact este dimensionată conform relaţiilor propuse în teză. Sunt prezentate, selectiv, rezultatele grafice ale modelării.



a) b) c)

Figura 6.4 Distribuţii spaţiale ale presiunii de contact

1. 
   model numeric b) model numeric, Hartnett, [Ha79] c) model analitic (Hertz)
   

a) b)

Figura 6.5 Distribuţii axiale ale presiunii

a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact
6.2 BOMBARE PARŢIALĂ
O altă soluţie constructivă de atenuare a efectului de capăt la contactul liniar de lungime finită este racordarea la capăt sau bombarea parţială. Acest procedeu presupune ca, în zona centrală, generatoarea rolei să rămână rectilinie, într-o anumită proporţie din lungimea ei activă, iar la extremităţile contactului să se realizeze racordarea prin arce de cerc. Modelarea problemei de contact elastic se realizează în două variante, după cum se consideră forma geometrică nominală a suprafeţelor în contact, (varianta I), sau aproximarea hertziană a acestora , (varianta II). Se impune condiţia de tangentă continuă în punctele de racordare. În Fig. 6.10 este reprezentată grafic geometria contactului echivalent. Concordanţa grafică a distribuţiilor spaţiale ale presiunii de contact determinate numeric, în cele două variante, comparativ cu cea obţinută numeric de Hartnett, [Ha79], este sugerată în Fig. 6.11.



Figura 6.10 Geometria contactului echivalent, bombare parţială






a)

a) b) c)

Figura 6.11 Distribuţii spaţiale ale presiunii de contact

a) numeric, varianta I b) numeric, Hartnett, [Ha79] c) numeric, varianta II

Din datele iniţiale ale problemei de contact rezultă că rola are generatoarea rectilinie, în zona centrală, pe o porţiune de aproximativ 53 %. Lungimea şi lăţimea centrală a ariei de contact, determinate numeric, sunt: mm, mm (identice în cele două variante). Presiunea din centrul contactului este 2090 MPa, comparativ cu 2138 MPa. Distribuţia de presiuni pe direcţie transversală este conformă cu teoria hertziană a contactului elastic, [Di93]. Fenomenul de concentrare a presiunii apare, în lungul axei de contact x, în zona de racordare. Graficul liniilor de nivel constant pune în evidenţă, în aceeaşi zonă, o uşoară creştere a lăţimii ariei de contact. Comparativ cu soluţia de bombare completă, unde presiunea maximă are valoarea 2777 MPa, bombarea parţială conduce la atenuarea efectului de capăt, presiunea maximă, înregistrată în zona de racordare, fiind 2138 MPa.