Figura 9.13 (9.14) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială
a presiunii de contact, 128x128
Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe PEANO
Se modelează numeric contactul echivalent dintre un corp mărginit de o suprafaţă Peano şi semispaţiul elastic. Reprezentările grafice din Fig. 9.16 – 9.17, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi distribuţia spaţială a presiunii de contact. Rezultă că punctele contactului iniţial se comportă ca puternici concentratori de presiune.
 
Figura 9.16 (9.17) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială
a presiunii de contact, 128x128
CAPITOLUL 10
|
|
CONCLUZII FINALE, CONTRIBUŢII ŞI DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ
|
|
-
CONCLUZII FINALE
Din analiza tezei, se deduc, structurate pe capitole, următoarele concluzii generale.
Capitolul 1
Sinteză privind teoria generală a contactului elastic
-
Se pune în evidenţă cadrul teoretic general în care au sens şi pot fi rezolvate problemele întâlnite în mecanică, inclusiv cele legate direct de tema tezei.
-
Sunt prezentate noţiunile de bază, ipotezele şi ecuaţiile fundamentale ale teoriei Elasticităţii Liniare, reprezentări generale ale soluţiilor ecuaţiei lui Lamé, problemele clasice ale semispaţiului elastic (Boussinesq, Cerruti, Boussinesq-Cerruti, Flamant) şi principiul suprapunerii efectelor.
-
Se determină deplasările punctelor planului limitrof pe direcţie normală, generate de încărcări particulare ale semispaţiului elastic (sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi de lăţime constantă, distribuţii de sarcini pe arii eliptice şi, în particular, circulare).
-
Sunt puse în evidenţă aspecte generale ale rezolvării problemelor de contact (condiţia de deformaţie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limită ale semispaţiului elastic), metode specifice de rezolvare şi o sinteză a diverselor clasificări ale contactelor întâlnite în literatura de specialitate, funcţie de criteriile avute în vedere.
Capitolul 2
Soluţii analitice şi soluţii numerice utilizate în teoria contactului elastic
-
Sunt prezentate condiţiile definitorii ale contactului hertzian şi relaţiile analitice care exprimă elementele contactului; de asemenea, se prezintă o sinteză cronologică privind abordările analitice ale problemelor de contact.
-
Fenomenele fizice din ştiinţă şi tehnică pot fi modelate prin ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale sau integro-diferenţiale; soluţiile analitice fiind limitate la un număr redus de cazuri concrete, se apelează la metode numerice, care permit determinarea parametrilor modelului în anumite puncte prestabilite.
-
Se prezintă stadiul actual al modelării numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenţă clase de metode numerice utilizate: metode de integrare directă, metoda diferenţelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontieră, metoda împerecherii punctelor, metode parţiale, metode şi tehnici rapide.
-
Capitolul se încheie cu precizarea direcţiilor de cercetare ale tezei.
Capitolul 3
Modelarea numerică a contactului elastic normal pe baza metodei coeficienţilor de influenţă, varianta clasică
-
Se prezintă, mai întâi, modelul matematic asociat unei probleme de contact elastic normal (ecuaţia integrală a contactului, de echilibru static, condiţii de continuitate).
-
În vederea definirii modelelor numerice, se propun variante de discretizare automată a ariei estimate de contact (cu pas variabil, uniformă sau impusă).
-
Se propun două variante de modelare numerică, după cum ecuaţia de echilibru static este inclusă în sistemul presiunilor sau se află în afara acestui sistem;
-
Se evidenţiază etapele algoritmilor de rezolvare a modelelor numerice propuse.
-
Ultimul subcapitol prezintă funcţiile procedurilor automate, componente ale codului calculator scris în Matlab.
Capitolul 4
Validarea modelării numerice propuse prin rezultate analitice şi experimentale existente
-
Modelarea numerică a oricărui proces sau fenomen este acceptată numai în cazul în care rezultatele ei sunt validate prin alte abordări analitice, numerice sau experimentale.
-
Validarea modelării numerice a problemelor de contact elastic este realizată atât pe baza contactelor hertziene, cât şi a altor contacte elastice pentru care există soluţii analitice în literatura de specialitate.
-
Modelarea numerică a contactului conform circular este validată şi pe baza rezultatelor experimentale din literatura de specialitate.
Capitolul 5
Modelarea numerică a contactului elastic normal prin extinderea ariei de contact
-
Pentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă.
-
Validarea metodei şi a codului calculator asociat se realizează pe baza contactelor hertziene şi a altor contacte pentru care există soluţii analitice.
-
Din analiza numerică comparativă rezultă că varianta clasică a metodei oferă rezultate mai apropiate de cele analitice, în toate cazurile analizate; varianta extinderii ariei de contact oferă soluţii acceptate în tehnică şi poate reprezenta o alternativă în rezolvarea problemelor de contact elastic.
Capitolul 6
Analiza numerică a contactului liniar de lungime finită; Validare experimentală
-
În cazul contactului liniar de lungime finită apare fenomenul de intensificare a presiunii la capete (efect de capăt), cu diminuarea capacităţii de încărcare a contactului.
-
Se analizează efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic. Au fost modelate următoarele soluţii de atenuare a efectului de capăt: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc.
-
Validarea modelării propuse este realizată pe baza rezultatelor numerice obţinute de Hartnett, [Ha79] şi J. de Mul, [Mu86].
-
Modelarea numerică are în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact, definită pe subdomenii, cu respectarea condiţiilor de tangentă continuă în toate punctele de racordare.
-
Concordanţa între predicţiile numerice şi măsurătorile experimentale, arată că metoda de investigare experimentală prin profilometrie cu laser, (Glovnea, [Gl99], Glovnea şi Diaconescu, [Gl04]) poate fi aplicată contactului liniar de lungime finită.
Capitolul 7
Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal
-
Starea elastică din fiecare corp este o problemă de semispaţiu elastic, ambele corpuri fiind asimilate prin semispaţii elastice.
-
Pe baza algoritmului general, au fost realizate proceduri automate privind calculul componentelor tensorului tensiune, în două variante: calcul analitic al integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial; aproximarea integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial prin sumele integrale corespunzătoare.
-
În cazul contactului hertzian rezultă o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale numerică şi cele analitice.
-
În cazul contactului nehertzian studiat, din lipsa unei soluţii analitice, validarea rezultatelor s-a realizat pe cale numerică, pe baza a două coduri calculator asociate celor două modalităţi de determinare a componentelor tensorului tensiune.
-
Au fost determinate, pe cale numerică, tensiunile din corpurile în contact în următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului.
Capitolul 8
Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială
-
Se prezintă expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată după axa Ox, [Hi93], utile în validarea modelului numeric. Solicitarea tangenţială este uniform distribuită pe celulă şi direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare  .
-
Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu forţă tangenţială distribuită.
-
Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării;
Capitolul 9
CG+DC-FFT în rezolvarea problemelor de contact elastic
-
Soluţia unui sistem cu un număr mare de ecuaţii prin algoritmi convenţionali necesită un timp de lucru prohibitiv, chiar pe calculatoare moderne.
-
Algoritmul CG+DC-FFT este suficient de rapid chiar pentru discretizări fine ale domeniului estimat de contact.
-
Metoda gradientului conjugat dispune de o demonstraţie matematică riguroasă a convergenţei.
-
Validarea algoritmului şi a codului calculator aferent au fost realizate pe contactul sferă – sferă şi pentru profilul Lundberg (forma simplificată, forma integrală).
-
Tabelul comparativ al metodelor utilizate pune în evidentă superioritate tehnica CG+DC-FFT cu privire la timpul calculator necesar rezolvării problemelor de contact elastic.
-
Codul calculator aferent modelării numerice este aplicat şi altor tipuri de contacte (corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano).
-
Metoda CG+DC-FFT prezintă avantajul că poate fi utilizat un număr mare de noduri, ceea ce o face aplicabilă la contactul suprafeţelor rugoase.
-
CONTRIBUŢII
Prin elaborarea prezentei teze s-au adus o serie de contribuţii teoretice, la modelarea numerică şi cu caracter aplicativ, după cum urmează.
Contribuţii teoretice
-
Realizarea unor sinteze bibliografice privind:
-
Reprezentările generale pentru soluţia ecuaţiei vectoriale a lui Lamé;
-
Problemele la limită ale semispaţiului elastic;
-
Clasificarea contactelor;
-
Teoria clasică a contactului elastic între suprafeţe netede;
-
Metodele numerice în teoria contactului elastic;
-
Starea de tensiuni la contactul elastic normal;
-
Starea de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială;
-
Metodele şi tehnicile rapide în teoria contactului elastic.
-
Sistematizarea şi prezentarea într-o formă unitară a problemelor clasice asociate semispaţiului elastic.
-
Formularea modelului matematic general asociat unei probleme de contact elastic normal.
-
Propunerea unei discretizări cu pas variabil, cu dimensiunile celulelor în progresie aritmetică descrescătoare către zone cu gradienţi mari de presiune.
-
Precizarea unor formule de dimensionare optimă a ariei estimate de contact.
-
Determinarea tuturor reprezentărilor analitice explicite ale suprafeţelor nominale care intervin în problemele de contact analizate în teză.
-
Formularea a două variante de model numeric asociate metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, după cum ecuaţia de echilibru este inclusă sau nu în sistemul liniar în presiuni.
-
Studiul sensibilităţii soluţiei sistemului în presiuni, prin analiza numărului de condiţionare ataşat.
-
Propunerea extinderii ariei de contact la rezolvarea problemelor de contact elastic, ca variantă a metodei clasice a coeficienţilor de influenţă.
-
Ridicarea unor nedeterminări, din formulele date de Hills, [Hi93], la calculul analitic al tensiunilor din interiorul semispaţiului elastic, datorate forţei tangenţiale.
Contribuţii la modelarea numerică
-
Evidenţierea fazelor importante ale unui demers numeric: analiză, programare, implementare, validare.
-
Realizarea unui program de calcul principal, asociat metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, interactiv, având în componenţă proceduri automate cu următoarele funcţii:
-
precizarea datelor iniţiale ale problemei de contact elastic: tipul suprafeţelor în contact; numărul celulelor de discretizare pe direcţii axiale; dimensiunile ariei estimate de contact; varianta de discretizare; modul de calcul al coeficienţilor de influenţă; varianta de model numeric; metoda de rezolvare a sistemului; elementele geometrice ale suprafeţelor în contact, constantele elastice ale materialelor componente şi sarcina normală aplicată;
-
discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniform sau impus (elementele de arie au dimensiuni prestabilite);
-
stocarea în fişiere pe disc a rezultatelor analitice, numerice sau experimentale din literatura de specialitate, în scopul validării modelării numerice propuse;
-
precizarea geometriei iniţiale a suprafeţelor în contact; se calculează cotele punctelor de pe suprafeţe ale căror proiecţii pe planul limitrof sunt centrele de greutate ale celulelor de discretizare; după caz, se generează suprafeţele cilindrice, conice sau de rotaţie corespunzătoare, având în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact;
-
calculul coeficienţilor de influenţă, în variantele: analitic (Love) şi combinat (analitic pe diagonala principală şi aproximativ, în rest);
-
definirea matricei iniţiale a sistemului în presiuni, în raport cu varianta de modelare numerică dorită;
-
analiza condiţionării sistemului în presiuni şi, după caz, aplicarea procedeului numeric de scalare;
-
rezolvarea sistemului liniar în presiuni prin metode clasice: directe (Gauss, Onicescu, Choleski), iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxare), respectiv, metode de tip gradient;
-
redimensionarea automată a sistemelor de ecuaţii liniare funcţie de numărul celulelor eliminate din aria estimată de contact (metoda coeficienţilor de influenţă – varianta clasică) sau incluse în aria reală de contact (metoda coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact);
-
rezolvarea ecuaţiilor transcendente pentru determinarea excentricităţii elipsei de contact, la contactele hertziene eliptice şi la contactul nehertzian dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, prin aplicarea metodei aproximaţiilor succesive;
-
Elaborarea unui program principal de calcul asociat metodei coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact, interactiv, care, pe lângă subrutinele proprii, apelează şi o parte din procedurile proiectate la varianta clasică.
-
Pentru determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal, au fost realizate proceduri automate, având următoarele funcţii:
-
implementarea formulelor cardanice de rezolvare exactă a ecuaţiilor algebrice de gradul trei şi calculul numeric al integralelor eliptice incomplete, necesare determinării stării de tensiuni la contactul hertzian punctual;
-
calculul analitic al componentelor tensorului tensiune;
-
determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta I (calcul analitic al integralelor care intervin în expresiile funcţiilor de potenţial, [Lo29]);
-
determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta II (aproximarea integralelor care intervin prin sumele integrale corespunzătoare);
-
determinarea, pe cale numerică, a tensiunilor din corpurile în contact, în următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic, şi pe axa centrală a contactului.
-
Pentru determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială, au fost realizate proceduri automate, având următoarele funcţii:
-
calculul analitic al componentelor tensorului tensiune, conform formulelor date de Hamilton, reluate în [Hi93]);
-
determinarea numerică a stării de tensiuni, utilizând principiul suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcările normală şi tangenţială;
-
calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului;
-
determinarea stării de tensiuni datorată sarcinii normale, tangenţiale pe direcţia x şi cumulate.
-
Realizarea unui cod calculator pentru determinarea numerică a elementelor contactului elastic prin metoda CG+DC-FFT, avându-se în vedere:
-
valorificarea unor subrutine deja realizate;
-
rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda gradientului conjugat;
-
calculul deplasărilor după direcţia z pe baza transformatei Fourier rapidă.
-
Validarea modelărilor numerice propuse în teză prin rezultate analitice, numerice şi experimentale din literatura de specialitate.
Validare prin rezultate analitice
-
Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la tipuri clasice de contacte hertziene, modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, simultan cu studiul influenţei unor factori, după cum urmează:
− contactul între doi paraboloizi eliptici: efectul dimensionării ariei estimate de contact, condiţionarea şi scalarea matricei sistemului în presiuni;
− contactul între două sfere: modul de calcul al coeficienţilor de influenţă;
− contactul elipsoid / semispaţiu elastic: varianta de modelare numerică utilizată;
− contactul între doi cilindri de raze diferite, având axele perpendiculare: metoda de rezolvare a sistemului în presiuni;
− contactul între corpuri mărginite de suprafeţe toroidale: utilizarea metodelor de rezolvare de tip gradient.
-
Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la tipuri de contacte nehertziene, modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, după cum urmează:
− contact pe vârf conic ascuţit;
− contact pe vârf conic racordat prin arce de cerc;
− contact conform circular cu faţă frontală plană cu muchie;
− contact conform circular cu faţă frontală plană cu racordare prin arce de cerc;
− contact între corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru.
-
Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la contacte modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact, după cum urmează:
− contactul între două sfere;
− contact pe vârf conic ascuţit;
− contact pe vârf conic racordat prin arce de cerc;
− contact între corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru.
-
Studiul concordanţei rezultatelor privind starea de tensiuni la contactul elastic normal, având în vedere:
− contactul între două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale;
− componentele tensorului tensiune pe aria eliptică de contact, la o anumită adâncime în interiorul semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului.
-
Studiul concordanţei rezultatelor privind starea de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială, având în vedere:
− contactul sferic cu alunecare;
− componentele tensorului tensiune pe aria eliptică de contact, la o anumită adâncime în interiorul semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului;
− starea de tensiuni datorată sarcinii normale, tangenţiale orientată pe direcţia x şi cumulate.
-
Concordanţa rezultatelor privind elementele contactului elastic la contacte modelate pe baza metodei CG+DC-FFT, după cum urmează:
− contactul între două sfere;
− contactul cvasihertzian de lungime finită cu profil Lundberg în formă integrală,
respectiv, simplificată.
Validare prin rezultate numerice
-
Analiza concordanţei rezultatelor privind efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic, pe baza abordărilor din literatura de specialitate, cu privire la următoarele soluţii: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc.
-
Starea de tensiuni la contactul elastic nehertzian între două corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, prin două variante numerice de calcul.
Validare prin rezultate experimentale
-
Analiza concordanţei dintre rezultatele numerice şi cele experimentale, obţinute prin profilometrie cu laser, [Gl99], [Gl04], în cazul contactului conform circular cu faţă frontală plană cu muchie racordată, privind diametrul ariei de contact.
-
Analiza concordanţei dintre rezultatele numerice şi cele experimentale obţinute prin profilometrie cu laser, [Gl99], [Gl04], în cazul contactului cvasihertzian de lungime finită, avându-se în vedere variaţia raportului supraunitar dintre lăţimea maximă a ariei de contact şi lăţimea centrală, în funcţie de sarcina aplicată.
Analize numerice comparative
-
Compararea elementelor contactului elastic obţinute pe baza celor două variante ale metodei coeficienţilor de influenţă.
-
Realizarea unui studiu comparativ al metodelor utilizate în teză, care relevă superioritatea tehnicii CG+DC-FFT cu privire la timpul calculator.
-
Concordanţe grafice ale modelării.
Contribuţii cu caracter aplicativ
-
Elaborarea unor noi programe de calcul pentru rezolvarea problemelor de contact elastic.
-
Aplicabilitatea programelor elaborate la proiectarea unor organe de maşini care funcţionează cu contact liniar de lungime finită sau cu alte noi tipuri de contacte.
-
Extinderea programelor de calcul la noi tipuri de contacte elastice (corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano).
-
Dostları ilə paylaş: |
