Teskari matritsani Gauss-Jordan usulida topish

Yechish.
.
, demak, va matritsalar kommutativlanadigan matritsalalar.
Matritsalarni ko`paytirish quyidagi xossalarga ega:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   

Yuqorida 3-ma’ruzada koʻrilgan Gauss usulida yechilgan misolimizni matritsalarni koʻpaytirish yordamida izohlab chiqamiz.

Matritsa koʻrinishida ifodalaymiz

Koeffitsientlardan tuzilgan asosiy matritsasini chap tarafdan shunday matritsaga koʻpaytiramizki, nolga aylansin, bu matritsani matritsa deb ataymiz.

Hosil boʻlgan matritsani, matritsaga koʻpaytirib, elementni nolga aylantiramiz.

Bu yerda oxirgi matritsadagi 2-satr va 3-satrlarning oʻrinlarini almashtirish yordamida elementni nol qilib olish mumkin. Bu esa sistemaning 2- va 3-tenglamalarining oʻrinlari almashishini anglatadi. Xuddi shu amallarni tenglikning oʻng tarafidagi ustun matritsaga qoʻllasak, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulidagi birinchi bosqich oxiridagi natijaga kelamiz.



Ikkinchi bosqichda oxirgi noma’lumni topib, ikkinchi noma’lum, soʻngra birinchi nomaʻlumni topilar edi.
Savol: Matritsaning faqat diagonal elementlarini qoldirish mumkinmi?

2.2 Teskari matritsani Gauss-Jordan usulida toppish

Ta’rif. Agar tenglik o`rinli bo`lsa, matritsa kvadrat matrtsaning teskari matritsasi deyiladi. Bu yerda matritsa matritsa o`lchami bilan bir xil o`lchamli birlik matritsadir.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulini matritsa uchun umumiy holda koʻrib chiqamiz.
va
Gauss-Jordan usulida matritsadan elementar almashtirishlar yordamida matritsani hosil qilish. Birinchi bosqichda matritsaning diagonal ostidagi elementlarni nollarga aylantiramiz. Buning uchun avval elementni birga aylantirib olamiz, ya’ni matritsaning birinchi satrini ga boʻlamiz va yangi elementlarni , deb belgilaymiz(bu yerda birlik matritsa elementlarini ifodalaydi).

Endi va larni nolga aylantiramiz. Buning uchun , formulalardan foydalanamiz. Natijada quyidagi matritsani hosil qilamiz:

Yuqoridagi jarayonni 2-satr uchu takrorlaymiz, ya’ni ikkinchi satrni ga boʻlamiz. Hosil boʻlgan elementlarni , deb belgilaymiz
.
Soʻngra elementni nolga aylantiramiz, buning uchun , formulalardan foydalanamiz. Natijada,

hosil boʻladi. Ikkinchi bosqichda bu jarayonni 3-satrdan boshlanadi va diagonalning yuqori qismi nolga aylantiriladi.
3-misol. Gauss-Jordan usulida matritsaning teskari matritsasini toping.
Yechish. Matritsani birlik matritsaga toʻldiramiz
.
Birinchi satrni -4 ga va -9 ga koʻpaytirib, mos ravishda 2- va 3-satrlarga qoʻshamiz.

Bu yerda qulaylik uchun avval 2-satrni -3ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshib olamiz, soʻngra 2-satrni -2ga boʻlamiz:

Keyingi bosqichda diagonal yuqorisidagi elementlarni nollarga aylantirish bilan shugʻullanamiz. Buning uchun -1 ga va -3/2 ga koʻpaytirib, mos ravishda 1- va 2-satrlarga qoʻshamiz.

Hosil boʻlgan matritsaning 2-satrini -1ga koʻpaytirib 1- -satriga qoʻshamiz.

Natijada, .
Savol: Teskari matritsani har doim aniqlash mumkinmi? Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usulini oʻrganing.