O‘z-o‘ziga qo‘shma, unitar va normal chiziqli almashtirishlar O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar. Biz avvalgi mavzuda qo‘shma chiziqli almashtirish tushunchasini kiritib, A chiziqli almashtirishga qo‘shma almashtirishni A* kabi belgiladik. Chiziqli almashtirishni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi * operatsiyasi, ma’lum darajada berilgan kompleks sonni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi operatsiyasiga o‘xshashdir.
Bu o‘xshashlik tasodifiy bo‘lmasdan, kompleks sonlar maydonida birinchi tartibli matritsalar uchun, ya’ni kompleks sonlar uchun * operatsiyasi berilgan sonni qo‘shma kompleks son bilan almashtirishning xuddi o‘zidan iborat.
Barcha kompleks sonlar orasida haqiqiy sonlar xossa
bilan xarakterlangani kabi, chiziqli almashtirishlar uchun ham shunga o‘xshash tushunchani aniqlash mumkin.
1-ta’rif.Agar A chiziqli almashtirish uchun A* = A shart bajarilsa, u holda A o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish deyiladi.
1.-tasdiq. A chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun, A(x, y) = (Ax, y)bichiziqli forma uchun A(x, y) = A(y, x) bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Haqiqatan, ham (Ax, y) = A(x, y) = A(y, x) = (Ay, x) = (x, Ay). Ma’lumki ixtiyoriy kompleks sonni ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Shunga o‘xshab, ixtiyoriy A chiziqli almashtirishni o‘z-o‘ziga qo‘shma A va A almashtirishlar orqali
A = A + iA ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Buning uchun
deb olib, kabi belgilasak, almashtirishlar o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘ladi. Haqiqatan ham, va
Shunday qilib, haqiqiy sonlar maydoni kompleks sonlar orasida qanday rol o‘ynaydigan bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar ham barcha chiziqli almashtirishlar orasida xuddi shunday rol o‘ynashini ko‘rsatdik.
Ammo, kompleks sonlar maydonidagi xossalarga o‘xshash hamma xossalar xam o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar uchun o‘rinli bo‘lavermaydi. Masalan, ikkita o‘z-o‘ziga qo‘shma
chiziqli almashtirishlarning ko‘paytmasi xar doim ham o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish emas. Quyidagi teoremada bu savolga to‘liq javob beramiz.
