Une variable aléatoire X est un résultat d’une expérience aléatoire. Ex: Résultat du tirage d’un dé à 6 faces, V a. discrète

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  • Les tests d’hypothèses


Variables aléatoires

  • Une variable aléatoire X est un résultat d’une expérience aléatoire.

  • Ex: Résultat du tirage d’un dé à 6 faces, v.a. discrète.

  • Problème : comment faire si on doit représenter le même genre d’histogramme pour une v.a. pouvant prendre n’importe quelle valeur dans [0;1] uniformément ?



Densité

  • Pour les v.a. continues, on ne peut plus caractériser la probabilité point par point, on a donc recours à une fonction nommée densité.

  • On définit pour X la probabilité d’appartenir à un intervalle [a;b]

  • Propriétés remarquables :

  • La densité d’une somme est la convolée des densités.



Loi normale

  • Densité de la loi normale de moyenne  et d’écart type  N (, )

  • Ex: loi normale N (0,1)



Table de la loi normale



Théorème Central Limit

  • Théorème :

    • Soit Xi une suite de v.a. de même loi d’espérance μ et d’écart type σ. Alors la v.a.
    • converge en loi vers une v.a. normale centrée réduite N (0,1).
    • Conséquences :
    • la moyenne des Xi converge vers une N (μ, σ/√n).
    • une proportion Fn tend vers une N (p, σ/√(p(1-p) / n)).
  • Attention : On suppose tout de même l’existence d’un écart type fini !!!



But des tests d’hypothèses:

  • Répondre à des questions de la forme :

    • Cette pièce est-elle truquée ?
    • Ces deux populations sont-elles significativement différentes ?
    • Est-il possible que ces données suivent une loi Gaussienne ?
  • En fait on cherche à trancher entre deux hypothèses dont une et une seule est vraie en ayant une idée sur les erreurs commises.

  • Soient H0 et H1 ces deux hypothèses.

  • α et β sont des probabilités



Région d’acceptation

  • α étant fixé, il faut choisir une variable de décision X dont le comportement est connu sous l’hypothèse H0.



Sur un exemple

  • On souhaite construire un test au niveau 5% permettant de détecter si une pièce est truquée ou non. On se donne pour cela 1000 tirages.

  • H0 : « la pièce est normale »

  • H1 : « la pièce est truquée »

  • Si H0 est vraie la pièce doit faire « pile » avec une probabilité ½.

  • Donc si X est le nombre de « pile » :

  • X→B(1000,1/2) ; cette loi est approximée par une N (500,250)

  • Il faut trouver une région R telle que X soit dans R avec probabilité 95%.



Exemple (2)

  • On cherche a et b tels que

  • P(X[a,b] / H0) ≥ 0.95

  • P(N (500, 250) [a,b] ) ≥ 0.95

  • P(N (0,1) [(a-500)/250,(b-500)/ 250] ) ≥ 0.95

  • Il faut trouver les valeurs des bornes de l’intervalle de confiance.



Table de la loi normale



Exemple (3)



Exemple (4)

  • Impossible de déterminer la puissance de notre test.

  • Pour capable de la minorer, il faut se fixer une tolérance sur le biais de la pièce. Par exemple on tolère les pièces dont la probabilité de faire pile est comprise entre 0.49 et 0.51.

  • 1- = P(X[469;530] / H1) > P(N (510, 249.9)  [469;530] )

        • = P(N (490, 249.9)  [469;530])
        • = P(N (0,1)  [-1.328 ; 2.530])
        • = 0.0895
  • Passage à un test unilatéral (on sait que les pièces truquées font moins de piles)

    • Au niveau 5%, le rejet à lieu si X < 474
    • La puissance est minorée (pour une tolérance de 0.01) par 0.1562


Lien entre seuil et risque



Loi du 2

  • Elle possède un paramètre : m « degré de liberté »

  • Soit (xi) une suite de v.a. indépendantes suivant une N (0,1) alors :

  • Remarque :



Test du 2

  • C’est un test d’adéquation d’une loi de probabilités à des données.

  • Soit {x1,…,xn} un échantillon de n réalisations indépendantes de la v.a. X

  • Soit f(x) la densité réelle de X

  • Soit f* notre hypothèse sur la densité de X

    • (les paramètres de f* sont soit connus soit estimés à partir des données)
    • H0 : f(x) = f*(x)
    • H1 : f(x) ≠ f*(x)
  • A partir de l’échantillon on construit un histogramme pour X de k classes Ci .

  • Soit Oi le nombre d’observations dans la classe Ci

  • Les classes sont déterminées à partir des valeurs prises dans l’échantillon au bon vouloir de l’utilisateur.



  • On construit ensuite le tableau suivant :

  • suit une 2 à  degrés de libertés

  •  = k – nombre de relations entre effectifs théoriques sous H0 et effectifs observés.

  • En fait I mesure une « distance » entre la distribution attendue et la distribution observée

  • Pour construire un test au niveau  de H0 contre H1, il suffit de choisir un seuil s tel que P(I>s/H0)<, ce qui est facile car sous H0 I suit un 2 dont les valeurs sont tabulées.



Expérience de Mendel

  • Chez les pois, le caractère couleur est codé par un gène présentant deux formes allèles C et c, correspondant aux couleurs jaune et vert. Le jaune est dominant, le vert récessif. La forme, rond ou ridé, est portée par un autre gène à deux allèles R (dominant) et r (récessif). On croise deux individus dont le génotype est CcRr.

  • Dans ses expériences, Mendel a obtenu les résultats suivants.

  • I=0.47 à comparer avec la valeur d’un 2 à 3 ddl (au niveau 5% on rejette H0 dessus de 7.815).

  • En réalité sous H0 on avait seulement 8% de chances d’avoir des résultats aussi proches de la théorie…



2 de contingence

  • Utilisé pour tester l’indépendance de deux caractères A et B dans une même population. Chacun des deux caractères possède plusieurs classes.

  • H0 : « Algo 1 » et « Algo 2 » ont des performances équivalentes.

  • H1 : « Algo 1 » et « Algo 2 » ont des performances différentes.

  • Effectifs observés Effectifs attendus sous H0



2 de contingence (2)

  • Différence entre observation Carré des différences divisé par

  • et effectifs attendus l’effectif attendu

  • En fait on observe la statistique

  • Avec h nb de lignes, k nb de colonnes

  • O(i,j) effectif observé en (i,j)

  • E(i,j) effectif attendu en (i,j)

  • Sous H0 I suit un 2 à (h-1)(k-1)=1 degré de liberté

  • Donc pour un test au niveau 1% on rejette H0 (le seuil est de 6.635)



Remarques

  • Pour un tableau 2x2 c’est mal de faire un 2 car il est équivalent à un t-test sur les proportions qui possède deux avantages :

    • Possibilité de calculer la puissance pour le t-test;
    • On peut créer un test unilatéral alors que 2 est toujours bilatéral ce qui signifie que l’on obtient que des informations du type « algo 1 et algo 2 sont différents » mais pas davantage.
  • On peut citer de nombreux autres tests :

    • Tests du maximum de vraisemblance
    • Test de Fisher (variances) ; Student (moyennes) ; Kolmogorov-Smirnov, Cramer (tests sur fonction répartition) ; Spearman (indépendance des réalisations) …
    • ANOVA (analyse of variance).


Documents utiles

  • Jean-Michel JOLION :

    • http://rvf.insa-lyon.fr/~jolion/STAT/poly.html
  • Stephan MORGENTHALER

    • « Introduction à la statistique », Presses Polytechniques et Universitaires Romandes
  • SMEL

    • Projet de l’INRIA sur les statistiques en médecine.


Densité




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